滨州市无棣县八级上期末数学试卷含答案解析

2015-2016学年山东省滨州市无棣县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错不选或选出的答案，超过一个均记零分）
1．在生活中，我们要把安全时时刻刻记在心间，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
3．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是（）
A．x2﹣1 B．x2﹣2x+1 C．x（x﹣2）+（x+2）D．x2+2x+1
5．下列运算正确的是（）
A．6ab﹣b=6a B． +=C．a8÷a2=a4D．（a2b）3=a6b3
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）
A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α
7．化简可得（）
A．B．﹣C．D．
8．若点P（a，2015）与点Q（2016，b）关于x轴对称，则（a+b）2016的值是（）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．40312016
9．一个长方形的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，则这个长方形的宽为（）
A．x﹣2y2+B．x﹣y3+C．x﹣2y+3 D．xy﹣2y+
10．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）
A． B．C．D．
二、填空题（本题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．近来雾霾天气严重影响了我们的生活秩序，为此，我县中小学还停止了正常上课来应对，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5（空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的“元凶”，已知1微米相当于1米的一百万分之一，那么2.5微米用科学记数法可表示为米．12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为（度）．
13．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长x的范围是．
14．如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是．
15．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为．
16．已知x﹣2y=0（xy≠0），则÷的值等于．
三、解答题（本题共8个小题，满分66分.解答时请写出必要的演推过程）
17．（1）若x m=2，x n=3，试求x3m+2n的值．
（2）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣2．
18．（1）化简：（﹣）•
（2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
19．解方程： =0．
20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
22．马小虎的家距离学校2000米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的教学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校400米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．23．仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
24．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
2015-2016学年山东省滨州市无棣县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得3分，选错不选或选出的答案，超过一个均记零分）
1．在生活中，我们要把安全时时刻刻记在心间，图中的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（）
A． B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【考点】多边形内角与外角．
【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，由题意得
（n﹣2）•180°=360°×2
解得n=6．
则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为（n﹣2）•180°．
3．如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）
A．AC∥DF B．∠A=∠D C．AC=DF D．∠ACB=∠F
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定定理，即可得出答．
【解答】解：∵AB=DE，∠B=∠DEF，
∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明△ABC≌△DEF，故A、D都正确；
当添加∠A=∠D时，根据ASA，也可证明△ABC≌△DEF，故B正确；
但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明△ABC≌△DEF，故C不正确；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，证明三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，还有直角三角形的HL定理．
4．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是（）
A．x2﹣1 B．x2﹣2x+1 C．x（x﹣2）+（x+2）D．x2+2x+1
【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．
【分析】直接利用平方差公式以及完全平方公式和十字相乘法分解因式，进而得出答案．
【解答】解：A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故此选项不合题意；
B、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故此选项符合题意；
C、x（x﹣2）+（x+2）=x2﹣x+2=（x+1）（x﹣2），故此选项不合题意；
D、x2+2x+1=（x+1）2，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
5．下列运算正确的是（）
A．6ab﹣b=6a B． +=C．a8÷a2=a4D．（a2b）3=a6b3
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；分式的加减法．
【分析】直接利用合并同类项法则，分式的加减运算法则，同底数幂的除法以及积的乘方与幂的乘方的性质求解即可求得答案．
【解答】解：A、6ab﹣b≠6a，不能合并；故本选项错误；
B、+=，故本选项错误；
C、a8÷a2=a6，故本选项错误；
D、（a2b）3=a6b3，故本选项正确．
故选D．
【点评】此题考查了合并同类项法则，分式的加减运算法则，同底数幂的除法以及积的乘方与幂的乘方．注意掌握指数的变化是解此题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P=（）
A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣α）=180°﹣α，
则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣α）=α．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题．
7．化简可得（）
A．B．﹣C．D．
【考点】分式的加减法．
【分析】先把原式通分，再把分子相减即可．
【解答】解：原式=
=
=﹣．
故选B．
【点评】本题考查的是分式的加减法，在解答此类题目时要注意异分母分式的加减要转化为同分母分式的加减．
8．若点P（a，2015）与点Q（2016，b）关于x轴对称，则（a+b）2016的值是（）
A．1 B．﹣1 C．2016 D．40312016
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出a，b的值，进而利用有理数的乘方运算法则求出答案．
【解答】解：∵点P（a，2015）与点Q（2016，b）关于x轴对称，
∴a=2016，b=﹣2015，
则（a+b）2016=（2016﹣2015）2016=1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
9．一个长方形的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，则这个长方形的宽为（）
A．x﹣2y2+B．x﹣y3+C．x﹣2y+3 D．xy﹣2y+
【考点】整式的除法．
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，从而可以解答本题．
【解答】解：∵长方形的面积为2x2y﹣4xy3+3xy，长为2xy，
∴宽为：（2x2y﹣4xy3+3xy）÷2xy=x﹣2y2+，
故选A．
【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是明确长方形的面积公式和整式的除法的解答方法．
10．如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）
A． B．C．D．
【考点】轴对称-最短路线问题．
【专题】应用题．
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【解答】解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．
故选D．
【点评】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
二、填空题（本题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）
11．近来雾霾天气严重影响了我们的生活秩序，为此，我县中小学还停止了正常上课来应对，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5（空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的“元凶”，已知1微米相当于1米的一百万分之一，那么2.5微米用科学记数法可表示为 2.5×10﹣6米．【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：∵1微米=0.000001米=1×10﹣6米
∴2.5微米=2.5×1×10﹣6米=2.5×10﹣6米
故答案为：2.5×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为45 （度）．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】几何图形问题．
【分析】设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
【解答】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°﹣∠ACE=90°﹣x﹣y．
∵AE=AC，
∴∠ACE=∠AEC=x+y，
∵BD=BC，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°﹣x﹣y+x=90°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，
∴x+（90°﹣y）+（x+y）=180°，
解得x=45°，
∴∠DCE=45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
13．已知三角形的两边长分别为5和7，则第三边长x的范围是2＜x＜12 ．
【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案．
【解答】解：根据三角形的三边关系：7﹣5＜x＜7+5，
解得：2＜x＜12．
故答案为：2＜x＜12．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，题目比较基础，只要掌握三角形的三边关系定理即可．
14．如果4x2+kxy+25y2是一个完全平方公式，那么k的值是±20 ．
【考点】完全平方式．
【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．
【解答】解：∵4x2+kxy+25y2=（2x）2+kxy+（5y）2，
∴kxy=±2×2x×5y，
解得k=±20．
故答案为：±20．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
15．如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为65°．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】几何图形问题．
【分析】首先求得∠AEA′，根据折叠的性质可得∠A′ED=∠AED=∠AEA′，在△A′DE中利用三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵∠AEA′=180°﹣∠A′EC=180°﹣70°=110°，
又∵∠A′ED=∠AED=∠AEA′=55°，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠A′DE=180°﹣∠A′ED﹣∠DA′E=180°﹣55°﹣60°=65°．
故答案为：65°．
【点评】本题考查了折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．
16．已知x﹣2y=0（xy≠0），则÷的值等于．
【考点】分式的化简求值．
【专题】推理填空题．
【分析】根据x﹣2y=0（xy≠0），可以对÷化简并求得化简后式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵x﹣2y=0（xy≠0），÷
∴x=2y，
∴÷
=
=
=
=，
故答案为：．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是建立所求式子与已知式子之间的关系．
三、解答题（本题共8个小题，满分66分.解答时请写出必要的演推过程）
17．（1）若x m=2，x n=3，试求x3m+2n的值．
（2）先化简，再求值：（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，其中x=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则化简，进而将已知代入求出答案；（2）直接利用多项式乘法运算法则化简求出答案．
【解答】解：（1）∵x m=2，x n=3，
∴x3m+2n=（x m）3•（x n）2=23×32=72；
（2）（x+5）（x﹣1）+（x﹣2）2，
=x2+4x﹣5+x2﹣4x+4
=2x2﹣1，
将x=﹣2代入上式得：
原式=2×（﹣2）2﹣1=7．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
18．（1）化简：（﹣）•
（2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．
【考点】分式的混合运算；因式分解-运用公式法．
【专题】探究型．
【分析】（1）先化简括号内的式子，再根据分式的乘法可以化简本题；
（2）先将原式展开，然后根据完全平方公式可以对式子分解因式．
【解答】解：（1）（﹣）•
=
=
=；
（2）（x﹣1）（x﹣3）+1
=x2﹣4x+3+1
=x2﹣4x+4
=（x﹣2）2．
【点评】本题考查分式的混合运算、因式分解﹣运用公式法，解题的关键是明确分式的混合运算的计算方法、会用公式法分解因式．
19．解方程： =0．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1﹣3=0，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．20．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．
【解答】证明：连接AD，
在△ACD和△ABD中，
，
∴△ACD≌△ABD（SSS），
∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，
∵DE⊥AE，DF⊥AF，
∴DE=DF．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，AD+EC=AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE=EF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）由等腰△ABC的性质求得∠B=∠C=（180°﹣40°）=70°，所以根据三角形内角和定理推知∠BDE+∠DEB=110°；再结合△DBE≌△ECF的对应角相等：
∠BDE=∠FEC，故∠FEC+∠DEB=110°，易求∠DEF=70°．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，
∴BD=EC．
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF（SAS）
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=（180°﹣40°）=70°，
∴∠BDE+∠DEB=110°．
又∵△DBE≌△ECF，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠FEC+∠DEB=110°，
∴∠DEF=70°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
22．马小虎的家距离学校2000米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的教学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校400米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．【考点】分式方程的应用．
【分析】设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度为2x米/分，根据题意可得，小马虎和爸爸同时走1600米，爸爸少用10分钟，据此列方程求解．
【解答】解：设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度为2x米/分，
由题意得，﹣=10，
解得：x=80，
经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意．
答：马小虎的速度为80米/分．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．
23．仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
【考点】因式分解-十字相乘法等．
【分析】首先设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），继而可得方程组，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2．
【点评】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意理解题意，结合题意求解是关键．
24．如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD=AE；
（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】（1）由等边三角形的性质，可证明△DCB≌△ACE，可得到BD=AE；
（2）结合（1）中△DCB≌△ACE，可证明△ACM≌△BCN，进一步可得到∠MCN=60°且CM=CN，可判断△CMN为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵△ABC、△DCE均是等边三角形，
∴AC=BC，DC=DE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△DCB和△ACE中，
，
∴△DCB≌△ACE（SAS），
∴BD=AE；
（2）△CMN为等边三角形，理由如下：
由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CBN，
∵AC=BC，AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
，
∴△ACM≌△BCN（SAS），
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
∵∠ACB=60°即∠BCN+∠ACN=60°，
∴∠ACM+∠ACN=60°即∠MCN=60°，
∴△CMN为等边三角形．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即可以利用全等来证明线段相等，也可以找角相等的条件．。