分形理论在农业物料力学特性研究中的运用-应用数学论文-数学论文

分形理论在农业物料力学特性研究中的运用-应用数学论文-数学论文
——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——
0、引言
农业物料物理特性是以与农业工程直接相关的各种农产物料(包括植物和动物物料以及以它们为原料加工的半成品和成品) 为对象的农业物料的基本物理参数及力学、光学、电学等特性。

农业物料物理特性的研究对其机械化生产、加工、运输、储藏过程以及产品质量评定等方面都具有重要的意义。

其中，农业物料的力学特性与农作物的种植、收获、运输、加工等过程更是紧密相关，在农作物机械化设备设计与改进的过程中，其力学特性是需要参考的重要依据之一。

分形是一种新的数学理论，分形理论以其处理复杂不规则图
形、图像的优势被广泛应用。

随着分形理论研究的深入和应用领域的扩展，分形理论为农业物料物理特性的研究提供了新思路和新方法，在农业物料的表面形貌特征的表征、孔隙率、流动性、应力应变特性等方面均有研究，在农业物料物理特性研究中有着广阔的研究和应用前景。

1、分形与分形维数
分形的概念是由Mandelbrot 于20 世纪70 年代提出的，研究对象为自然界的各种不规则现象。

一个分形对象就是一个粗糙的或的几何形状，它可以被分成若干部分，且每一部分都(至少近似地) 是整体形状的一个缩小尺寸的复制品。

相对于传统的欧几里得几何，分形几何更能展现出几何图形的复杂性。

例如，在欧几里得几何中，直线和曲线的维数均为1;在分形几何中，直线的分形维数为1，而曲线的维数则根据曲线的复杂程度，其分维值则在1 ～2 之间。

由此可以看出，分形为认识和分析复杂不规则现象提供了一种行之有效的方法，因此被广泛应用于自然科学和社会科学的众多领域。

分形被认为是20 世纪数学科学的重要发现
之一。

判断一个对象是否具有分形形态的重要依据是该对象是否具有无标度性、自相似性或者自仿射性的特征。

即在不同的尺度上，将该对象的任何一个局部区域进行放大或者缩小，其形态和复杂程度等不发生变化。

物理过程或是自然现象中的分形特征往往是近似自相似或统计自相似的。

与精确自相似不同，其分形特征仅存在于一定的尺度范围内。

因此，在分形应用于实际的过程中，往往要特别注意其尺度范围，通过一定的方式来检测所用尺度是否在其尺度范围之内。

描述分形特征的一个重要参数是分形维数，简称分维，它是描述不规则物体或分形体的主要指标。

分维不同，物体的复杂程度或它的动态演化过程也就不同。

与经典几何中的整数维相比较，分形维数的优势在于它能描述图形图像对空间的填充程度。

分形维数又可分为相似维数、容量维数、盒子维数、信息维数、关联维数和广义维数等，每一种分形维数都有其适用范围。

目前，常用的分形维数的基本测量方法主要有以下几种: 改变粗视化程度求维数的方法、根据关联函数求维数的方法、根据测度关系求维数的方法、根据波谱求维数的方法和分布函数求维数的方法。

2、在农业物料力学特性研究中的应用
材料的力学特性是由材料内部微观结构决定的，在一定作用力下的应变、裂纹、断面等是其力学特性的宏观表现，采用分形几何的方法对农业物料在力的作用下产生的应变、裂纹、断面等进行研究是力学特性研究的一个新领域。

2．1 在农业物料应力裂纹和应力断面研究中的应用
应力裂纹是材料在内部应力或外部应力作用下产生的裂隙，其形态复杂，在一定的尺度范围内，往往具有近似的自相似性，这是利用分形理论来研究应力裂纹和应力断面的前提。

自分形理论兴起之初，国内外学者已开始对应力裂纹分形特征进行了探索。

早在1986 年，Xie H．等即对具有分形特征的裂纹尖端的运动进行了跟踪分析，指出分形维数是显著影响动态应力强度因子和裂纹速度的因素之一; 随后，Chiaia B．等人于1998 年对4 种不同成分的混凝土裂纹扩展模式进行了显微观察和分形分析，指出裂纹的分形维数一定程度上受混凝土材质的影响。

这些研究表明，分形维数与应力裂纹之间存在某
种关系，而这种相关性与物料的微观构造密不可分。

在此基础之上，2002年，Carpinteri A．等人引入分形的理念创建了准脆性材料的粘聚裂纹模型。

同应力裂纹类似，应力断面表面往往具有粗糙复杂的表面。

1990 年，卢春生等人对材料损伤断裂中的分形行为进行了综述和分析，指出断裂表面的粗糙程度从某种意义上反映了材料的力学性能和断裂机理。

而这种复杂的断裂表面可以通过分形几何的方法进行表征，从而为进一步深入了解材料的力学性能和断裂机理提供了可行性的方法。

随着分形理论研究的深入和分形应用领域的扩展，对农业物料应力裂纹、应力断面的探究也逐渐引入分形分析的方法。

在国外，对农业物料应力裂纹的分形研究主要对象集中于土壤。

例如，1997 年Preston S．等采用了质量分形维数和谱维数对 4 种不同粘土含量(6．1%～24．3% ) 的土壤开裂裂纹进行了分形分析。

结果表明，不同粘土含量的土壤其裂纹的分形维数亦不同，呈显著的线性关系。

此外，土壤的结构稳定性指数也与土壤裂纹的分形维数存在显著的关系，当增大土壤的结构稳定性指数时，裂纹的分形维数亦增大。

2009年，Baer J．U．等人采用图像处理和分形几何的方法，对土壤的干缩裂纹进行了研究，得到土壤表面裂纹的分形维数
和裂缝边缘的分形维数，通过两个样点的分析和比较指出图像处理技术和分形方法的结合具有用于描述土壤裂纹的可能性。

在国内，对农作物应力裂纹分形研究的对象则主要集中于农作物种子上，稻谷、玉米等农作物种子在收获、储存、加工等过程中因机械作用力或内部水分等的变化都会产生应力裂纹。

1997 年，朱文学等人对玉米应力裂纹进行了研究，指出玉米应力裂纹是沿着一条不规则的曲折路径扩展的，断裂表面粗糙不平，裂纹线也是曲折的，在一定的尺度范围内具有分形特征，可以用分形理论来分析。

其根据显微图像分析将分形裂纹的扩展分为 4 种机制，即沿晶扩展、穿晶扩展、沿晶和穿晶偶合扩展及分叉扩展，建立了应力裂纹的分形模型，并对玉米应力裂纹进行了分形模拟，以直观看出裂纹的生成和扩展过程。

2003 年，李栋等人利用分形理论对稻谷产生的应力裂纹进行了分析研究，利用扫描电子显微镜的观察结果指出稻谷产生的应力裂纹具有分形特征，建立了稻谷应力裂纹的沿晶脆断、穿晶脆断、沿晶和穿晶偶合脆断3种弯折扩展分形模型和分叉扩展分形模型。

2011 年，杨国锋等人将稻谷裂纹的生成看作籽粒内微缺陷扩展而成，建立了裂纹扩展分形模型，给出了分形模型背景下裂纹扩展的判据，推导出吸湿情况下断裂面的表面能，分析了分形模型的动力学特性。

结果表明: 吸湿性裂纹扩展路径通过淀粉颗粒，且宏观扩展方向受分形效应影响，分形效应降低了微裂纹扩展不规则程度。

在吸湿膨胀情况下，淀粉对
稻谷抗裂能力影响的本质是淀粉平均相对分子质量存在差异，由于淀粉颗粒的平均相对分子质量与直链淀粉含量的非线性关系的存在，使得裂纹率与直链淀粉的线性相关性并不显著。

以上研究对利用分形理论研究农业物料应力裂纹、裂纹断面进行了初步探索，研究结果显示了分形理论应用于农业物料应力裂纹、应力断面研究的可行性，同时表明分形理论具有将应力裂纹、应力断面这种宏观的物理现象与农业物料微观的内部结构联系起的特殊优势，为后续的研究提供了一种思路。

2．2 分形与应力应变特性曲线
应力应变特性是描述荷载作用下物料的变形特性的基础，应力应变曲线、应力变性曲线描述了研究对象在应力作用下的应力、应变或变形之间的对应关系，反映了材料的力学特性，从中可以得到应力作用下材料的一些应变性能的若干特征参数。

1993 年，Micha P．等人对两种易碎微粒的力－变形曲线
进行了分形分析，结果指出单独试样的力－变性曲线是不可复制的，但是其分形维数具有一定的恒定性。

2001 年，Balankin A．S．等对薄纤维网络的应力应变特征进行了研究，以厕纸为试样，进一步表明薄纤维网络材料的应力应变曲线具有自仿射的标注不变性。

这些研究都表明，应力应变曲线具有复杂不规则性，这是分形理论应用于应力应变曲线研究的基础，应力应变曲线的分形维数可能反映以前未曾捕捉到的材料质构相关的某些信息，因此应力应变曲线的分形研究具有一定的价值。

农业物料的应力应变曲线的分形研究也已有一定的历史，早在1992 年，Barrett 等人即对农业物料的应力应变曲线的分形特征进行了研究。

他们选择玉米粉和玉米稻谷混合粉为试验材料，在一定的挤压膨化条件下分别制成了两种不同孔隙率的挤压膨化物，对这两类挤压膨化物在不同含水量条件下测取的应力应变曲线并进行了定量分析和研究。

结果表明，这两类物质具有分形的特征，利用分形维数可表征其不规则程度，挤压膨化物越干燥，应力应变曲线越复杂，分形维数值越高，将挤压膨化物含水率与应力应变曲线以及分形维数三者联系了起来。

1995 年，邱白晶和赵杰文提出分形几何在农业物料应力应变关系研究中的应用的可行性，指出分行维数可以作为应力应变曲线的不规则程度定量描述的有效手段。

2001 年，Meng Yang 等人对挤压膨化大米的应力应变曲线进行了研究，并指出: 挤压膨化大米的应力应变曲线是分形曲线，该曲线的分形维数与面积挤压膨化度相比能反映更多的结构信息，有望成为评价挤压膨化产品的客观指标。

以上研究表明，与农业物料的应力裂纹、裂纹断面类似，其应力应变曲线或应力变形曲线的分形维数与农业物料本身的质构特性有较大的关联性，其实用意义有待进一步的探索。

3、发展趋势
农业物料往往具有复杂的表面形貌和内部结构，在力学特性也表现出一定的复杂性。

分形作为处理复杂图形图像的一种数学方法，在农业物料的力学特性研究方面具有广阔的研究和应用空间。

到目前为止，分形理论在农业物料力学特性的研究甚至是在农业工程中的研究方面仍然处于起步、探索的阶段。

综合国内外农业物料力学特性分形分析的研究方法和研究成果，分形在农业物料力学特性研究中的探索可从以下几个方面继续深入:
1) 分形理论的适用性方面有待进一步的探索。

无论是应力裂纹、裂纹断面还是应力应变或应力变形曲线，其自相似性一般是统计自相似或局部自相似，也就是说分形维数的计算必须控制在一定的尺度范围内，在计算过程中怎样设计和选择合适的步长是一个值得探讨的问题。

2) 在农业物料力学特性分形研究对象上有待扩展。

由于分形在农业物料力学特性研究中的应用还处于探索阶段，研究对象相对较少，研究对象范围的拓宽有助于不同类型农业物料力学特性相关分形维数的差异性。

3) 加强农业物料质构特征、力学特性、分形维数之间关联性的研究，以深入的探索分形维数差异性的根源，并将其应用于农业物料的防损、破壳及粉碎等。

参考文献:
［1］姜瑞涉，王俊．农业物料物理特性及其应用［J］．粮食加工与食品机械，2002(1) : 35 －37．
［2］朱华，姬翠翠．分形理论及其应用［M］．: 科学出版社，2011: 1 －17．
［3］李水根．分形［M］．: 高等教育出版社，2004: 1 －11．
［4］路琴，杨明，何春霞．分形理论及其在农业科学与工程中的应用［J］．土壤通报，2009，40(3) : 216 －720．
［5］孙博玲．分形维数(Fractal dimension) 及其测量方法［J］．东北林业大学学报，2004，32(3) : 116 －119．。