2013年高考文科数学北京卷(含详细答案)

绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120
分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x ≤＜
=-，则A B = ( )
A .{0}
B .{1,0}-
C .{0,1}
D .{1,0,1}- 2.设a ，b ，c R ∈，且a b >，则
( )
A .ac bc >
B .11a b
< C .22a b >
D .33a b >
3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是
( )
A .1y x
=
B .x
y e -=
C .2
1y x =-+ D .lg||y x = 4.在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于
( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
5.在ABC △中，3a =，5b =，1
sin 3
A =
，则sin B =
( )
A .1
5
B .
59 C
D .1
6.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )
A .1
B .
2
3
C .
1321
D .
610
987
7.双曲线2
2
1y x m
-=
( )
A .12
m ＞ B .1m ≥ C .1m ＞
D .2m ＞
8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有
( )
A .3个
B .4个
C .5个
D .6个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.
9.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 . 10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .
11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和
n S = .
12.设D 为不等式组02030x x y x y ≥，≤，≤，⎧⎪
-⎨⎪+-⎩
表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的
最小值为 .
13.函数12
log ,1()2,1x x x f x x ≥
＜
⎧⎪=⎨⎪ ⎩的值域为 .
14.已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12≤≤λ，
01≤≤μ）的点P 组成，则D 的面积为 .
--------在
--------------------此--------------------
卷--------------------上
--------------------
答--------------------
题--------------------
无------------------------------------
姓名________________ 准考证号_____________
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）
已知函数21
()(2cos 1)sin 2cos42
f x x x x =-+.
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若π(,π)2α∈
，且()f α=α的值.
16.（本小题满分13分）
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.
（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；
（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；
（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BE ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD .
18.（本小题满分13分）
已知函数2()sin cos f x x x x x =++.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.
19.（本小题满分14分）
直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2
214
x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.
（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形.
20.（本小题满分13分）
给定数列1a ，2a ，，n a .对1,2,
,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i
-项1i a +，2i a +，
，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.
（Ⅰ）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （Ⅱ）设1a ，2a ，
，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：1d ，2d ，
，1n d -是等比数列； （Ⅲ）设1d ，2d ，
，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d ＞.证明：1a ，2a ，
，
1n a -是等差数列.
【解析】设正方体的棱长为a
则11()()(00000D D a C ，
，，，，，则222111999PB a a a =
++=222
441999
PD a a a =
++=1499PD =
14PC PA ==
==
PC PA 49a 2119PB a =
+故共有4个不同取值，故选
根据数形结合知(1)0，到D 的距离最小值为13．【答案】(2)∞－，
【解析】当1x ≥时，12
log log x ≤【答案】3
【解析】AP AB AC μλ=+，2()1AB =，，1()2AC =，，则(x AP =－，,,μμ 得2--3,x y λ⎧
=⎪⎪⎨0-23,
x y ≤≤⎩
可得111304()()(3)26A B C ，，
，，，11A B ＝22(4-3)+2=5，
两直线距离2|9-6|3
5
21
d =
=
+∴113S A B d ⋅＝＝． 三、解答题
15．【答案】（1）()f x 的最小正周期为（2）9π
16
α=
【解析】（1）因为()2cos (f x ＝1
AB CD CD ，＝
＝
所以BE DE，且AB DE
所以ABCD为平行四边形。

所以BE AD.
⊄平面，AD
又因为BE PAD
所以BE∥平面BAD.
⊥，而且ABCD （3）因为AB AD
PD EF。

所以
⊥平面
BEF
平面平面
BEF⊥。