三角形内角和2
七年级下册数学三角形的内角和
七年级下册数学三角形的内角和一、三角形内角和定理。
1. 定理内容。
- 三角形的内角和等于180°。
2. 证明方法。
- 方法一：测量法（不完全严谨，但可作为初步感知）- 用量角器分别测量三角形的三个内角，然后将三个角的度数相加，会发现其和接近180°。
由于测量存在误差，所以这只能是一种初步验证的方法。
- 方法二：剪拼法。
- 把三角形的三个角剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，可以发现这三个角能拼成一个平角，从而直观地说明三角形内角和为180°。
- 方法三：推理证明（以平行线的性质为基础）- 已知：△ABC。
- 求证：∠A + ∠B+∠C = 180°。
- 证明：过点A作直线EF∥BC。
- 因为EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等，所以∠B = ∠FAB，∠C = ∠EAC。
- 又因为∠FAB+∠BAC + ∠EAC=180°（平角的定义），所以∠B+∠BAC+∠C = 180°，即三角形内角和为180°。
二、三角形内角和定理的应用。
1. 在求三角形内角的度数中的应用。
- 例1：在△ABC中，∠A = 50°，∠B = 60°，求∠C的度数。
- 解：根据三角形内角和定理，∠C = 180° - ∠A - ∠B。
- 已知∠A = 50°，∠B = 60°，则∠C = 180° - 50° - 60° = 70°。
2. 在判断三角形的类型中的应用。
- 例2：一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3，判断这个三角形是什么类型的三角形。
- 解：设三角形的三个内角分别为x，2x，3x。
- 根据三角形内角和定理可得：x + 2x+3x = 180°。
- 合并同类项得6x = 180°，解得x = 30°。
- 那么三个角的度数分别为30°，2×30° = 60°，3×30° = 90°。
人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案(精推3篇)
人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案（精推３篇）〖人教版数学四年级下册三角形的内角和优秀教案第【1】篇〗《三角形内角和》教学设计教材分析：《三角形内角和》一课是人教版义务教育课程标准实验教材四年级下册第五单元的内容，是学生在学习了上册《平行与垂直》中的《角的认识》和本册本单元《三角形的特性》以及《三角形三边关系》、《三角形的分类》等知识之后进行的，它是三角形的一个重要特征，也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础，因此，学习、掌握“三角形的内角和是 180°”这一规律具有重要意义。
首先，教师应使学生明确“内角”的意义，然后引导学生探索三角形内角和等于多少。
三角形的内角和是否正好等于180°呢？教材中安排了两个活动：一是把三角形三个内角撕下来，再拼在一起，组成一个平角，因此三角形内角和是 180 度。
二是把三个内角折叠在一起，发现也能组成一个平角。
每个活动都要使学生动手试一试，加深对三角形内角和的认识，体验三角形内角和性质的探索过程。
另外，教材还从两个方面引导学生应用三角形的内角和：一是根据三角形中已知的两个角的度数，求另一个角的度数；二是直角三角形里的两个锐角和等于 90 度，钝角三角形里的两个锐角和小于90 度。
本节课的教学重点是让学生经历“三角形内角和是180°”这一知识的形成、发展和应用的全过程。
而教学难点则放在对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活运用。
学情分析：四年级的学生已初步具备了动手操作的意识和能力，并能够在探究问题的过程中，运用已有的知识和经验，通过交流、比较、评价等寻找解决问题的途径和策略。
“三角形的内角和是 180°”这一结论，大多数学生在四年级上册“角的度量”也有接触，但不一定清楚道理，所以本课的重点不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的全过程。
学生在本课学习前已经认识了三角形的基本特征及分类，学生课上对数学知识、能力和思考问题的角度有一定的差异，因此比较容易出现解决问题的策略多样化。
7.5三角形内角和(2)教学案
7.5三角形的内角和（2）班级姓名学号等第学习目标1、了解多边形及有关概念；2、理解并掌握多边形内角和公式与外角和公式；3、会用多边形的内角和及外角和公式进行计算。
学习重点多边形的内角和与外角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算学习难点多边形的内角和定理的推导是难点学习过程一、探索新知1、多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
（2）多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角.如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。
（3）多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
（4）连结多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.。
从n边形的一个顶点可以引_______条对角线，从一个顶点出发引出的对角线将多边形分成_______•个三角形．从n边形一个顶点可引9条对角线，则此n边形的边数是_______．（5）如上图，两个多边形有什么不同？在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）多边形不都在直线BD一侧，我们称它为凹多边形。
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．（6）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
2、探索多边形的内角和问题1：想一想：四边形的内角和是多少？能否利用三角形内角和等于180°得出这个结论？问题2：根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？学生可能有以上几种方法，五边形的内角和等于180°×3=540°问题3：我们不妨选择方法1求六边形、七边形、八边形……n边形的内角和，并完成下表：n边形的内角和为：（n-2）×180°3、探索多边形的外角和如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？六边形形的外角和为36001234ABCDEF56如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：n边形的外角和等于360°。
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】
《三角形内角和》数学教案【优秀6篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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三角形的内角和是什么
三角形的三个内角相加起来的和叫三角形内角和。
三角形的内角和等于180度，三角
形的两边之和大于第三边。
三角形的一个外角等于两个不相邻的内角的和；三角形的一个
外角大于其他两内角的任一个角。
三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭
图形，在数学、建筑学有应用。
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不
等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，
n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是：θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，......。
北师版小学四年级数学下册《认识三角形和四边形》第4课时 探索与发现：三角形的内角和(2)
二、新知探究1.出示回题1:猜一猜，可能是什么三角形?引导学生读题，理解题意。
师:谁来说说图意?生:图中有一个三角形，已知其中的两个角分别是60°和40°，让我们猜猜是什么三角形，要根据三个角的情况来判断。
师:请同学们自由猜一猜，在小组里说一说自己的理由。
教师巡视指导，收集学生的想法。
师:只知道两个角的度数，能不能判断是什么三角形?学生小组讨论，发表自己的见解。
生:必须知道三角形中最大的角是什么角。
师:已知这个三角形的两个角分别是60°和40°，求第三个角的度数如何计算?预设生:180°-60°-40=80°。
(板书)师:这是个什么三角形?你是怎么判断的?生:这个三角形中的最大的角是80，是锐角，这是一个锐角三角形。
(板书)2.出示问题2:你还能猜出是什么三角形吗?师:你能根据情境图中的信息，猜出是什么三角形吗?说说你的想法。
独立思考后，全班交流。
预设：180°－60°＝120°可能是钝角三角形，也有可能是锐角三角形或直角三角形，还有可能是等边三角形。
[设计意图]通过学生自主探究解决问题的方法，展示研究结果，和其他学生形成成果共享，有利于突出教学重点，突破难点，让学生亲历知识的形成过程，最终形成数学结论，能更好地理解和掌握知识，同时通过交流数学知识藴藏的规律，用到的数学思想，增强学生学习数学的兴趣。
三、巩固练习1.出示随堂练习第1题。
学生独立完成，同桌互说。
2.出示填出下面各角的度数。
看谁算得准，全班交流思考过程。
3.挑战自我：探索四边形内角和。
四、课堂总结师:这节课你们学了什么知识?有什么收获?。
人教版八年级上册 三角形的内角第二课时课件
C
=180°-45°-90°=45°
Hale Waihona Puke ∴∠ACB=∠ACD-∠BCD
=60°- 45° =15°
A
B
D
三、研学教材 知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
1、直角三角形可以用符号__R_t_△__ 表 示，直角三角形ABC可以写成 _R_t_△__A_B_C___.
三、研学教材
知识点二 直角三角形的两个锐角的关系
三、研学教材
认真阅读课本第12页到第14页 的内容，完成下面练习并体验 知识点的形成过程。
三、研学教材
知识点一 三角形内角和定理的应用 例2 如右下图，C岛在A岛的北偏东50°方 向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B 岛的北偏西40°方向.从B岛看A、C两岛的 视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的 视角是多少度？
三、研学教材
2、已知：如图，△ABC中，∠A+∠B=90°. A 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵∠A+∠B+∠C=__1_8_0__°
（ 三角形内角和定理 ） 又∵∠A+∠B=90°
B
C
∴∠C=180°-___9_0__°=___9_0__°
∴△ABC是__直__角___三角形
结论: 有两个角互余的三角形是__直__角__三角形
=180°- 60°- 30°=90° ：
答：从B岛看A、C两岛的视角∠ABC是60°， 从C岛看A、B两岛的视角是90°.
三、研学教材 知识点一 三角形内角和定理的应用
解：过点C画CF//AD ∠CAD=50°∠CBE=40° ∴∠1=∠CAD=50° ∵CF//AD, AD//BE ∴CF//BE ∴∠2=∠CBE=40° ∴∠ACB=∠1+∠2=50°+40°=90°
三角形内角规律及关系
三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。
2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。
3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。
2022年北师七下《三角形的内角和2》同步练习(附答案)
1.几位同学用三根木棒拼成的图形如下图,那么其中符合三角形定义的是()2.如图,过A,B,C,D,E五个点中任意三点画三角形.(1)其中以AB为一边可以画出____________个三角形;(2)其中以C为顶点可以画出____________个三角形.3.如图,以CD为公共边的三角形是____________;∠EFB是____________的内角;在△BCE中,BE所对的角是____________,∠CBE 所对的边是____________;以∠A为公共角的三角形是____________.△ABC中,假设∠A=95°,∠B=40°,那么∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,那么∠C等于()A.45°B.60°C.75°D.90°6.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是三条边上的点,EF∥AC,DF∥AB,∠B=45°,∠C=60°,那么∠EFD等于()A.80°B.75°C.70°D.65°7.在一个直角三角形中,有一个锐角等于60°,那么另一个锐角的度数是()A.120°B.90°C.60°D.30°8.(如图,直线a∥b,直线l与a,b分别相交于A,B两点,过点A作直线l 的垂线交直线b于点C,假设∠1=58°,那么∠2的度数为()A.58°B.42°C.32°D.28°9.如图,将一块含有30°角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上,如果∠2=60°,那么∠1的度数为()A.60°B.50°C.40°D.30°△ABC中,∠A=20°,∠B=60°,那么△ABC的形状是() 11.如下图的三角形被木板遮住了一局部,这个三角形是()12.根据以下条件,判断△ABC的形状.(1)∠A=40°,∠B=80°;(2)∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7.提升训练13.如图,在△ABC中,D,E是BC,AC上的点,连接BE,AD,交于点F,问:(1)图中有多少个三角形并把它们表示出来.(2)△BDF的三个顶点是什么三条边是什么(3)以AB为边的三角形有哪些(4)以F为顶点的三角形有哪些14.如图,请猜测∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数,并说明你的理由.15.如图,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形.16.(1)如图①,CD是直角三角形ABC斜边AB上的高,图中有与∠A相等的角吗为什么(2)如图②,把图①中的CD平移到ED处,图中还有与∠A相等的角吗为什么(3)如图③,把图①中的CD平移到ED处,交BC的延长线于点E,图中还有与∠A相等的角吗为什么参考答案1.【答案】D2.【答案】(1)3(2)6解：(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形,分别为△ABE,△ABD,△ABC;(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形,分别为△ABC,△BCD,△BCE,△ADC,△DEC,△ACE.3.【答案】△CDF与△BCD;△BEF;∠BCE;CE;△ABD,△ACE和△ABC4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】C9.【答案】D10.【答案】B11.【答案】D12.解:(1)∠C=180°-∠A-∠B=60°,因为40°<60°<80°<90°,所以△ABC是锐角三角形.(2)设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,那么2x+3x+7x=180°,解得x=15°.所以∠C=7×15°=105°.所以△ABC是钝角三角形.13.解:(1)8个:△ABC,△ABF,△ABE,△ABD,△BDF,△AEF,△ACD,△BCE(2)三个顶点:B,D,F三条边:BD,BF,DF(3)△ABC,△ABF,△ABD,△ABE(4)△ABF,△BDF,△AEF14.解:猜测:∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.理由:因为∠A+∠B+∠AMB=180°,∠AMB+∠BMP=180°,所以∠BMP=∠A+∠∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠∠BMP+∠ENM+∠MPC=(180°-∠NMP)+(180°-∠MNP)+(180°-∠MPN)=540°-(∠NMP+∠MNP+∠MPN)=360°,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.分析：此题不能直接求出每个角的度数,但可将这些角放置在不同三角形中,根据三角形内角和等于180°和补角的定义,得出∠BMP=∠A+∠B,∠ENM=∠E+∠F,∠MPC=∠C+∠D,然后运用这些条件并结合三角形内角和等于180°和补角求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠转化思想和整体思想.15.解:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.又因为EP平分∠BEF,FP平分∠DFE,所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE.所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°. 又因为∠PEF+∠PFE+∠P=180°,所以∠P=90°.所以△PEF是直角三角形.16.解:(1)有.理由:因为CD⊥AB,所以∠B+∠BCD=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BCD=∠A.(2)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠BED=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠BED=∠A.(3)有.理由:因为ED⊥AB,所以∠B+∠E=90°.因为∠ACB=90°,所以∠B+∠A=90°.所以∠E=∠A.第四章三角形一、选择题1.以下长度的三条线段能组成三角形的是〔〕A. 5cm 2cm 3cmB. 5cm 2cm 2cmC. 5cm 2cm 4cmD. 5cm 12cm 6cm2.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是〔〕A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. ①②③都带去3.不能判定两个三角形全等的条件是〔〕A. 三条边对应相等B. 两角及一边对应相等C. 两边及夹角对应相等D. 两边及一边的对角相等4.一个角的平分线的尺规作图的理论依据是〔〕A. SASB. SSSC. ASAD. A AS5.三角形两条边分别为3和7，那么第三边可以为〔〕A. 2B. 3C. 9D. 1 06.以下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定。
《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学课件【北师大数学八年级上册】
归纳
三角形的外角应具备的条件：
(1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线.
要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C (已知)， ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
2．如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) A.26° B.63°C.37° D.60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.
解：
F
A
C
D
E
B
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. 注意：每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教科书 第183页习题7.7 第2、3题
三角形内角和定理第2课时
准备好了吗？一起去探索吧！
三角形内角和定理
1.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.
初中数学人教版八年级上册11三角形的内角和(2课时) 教案
11．2与三角形有关的角三角形的内角第1课时三角形的内角和一、教学目标1．探索并掌握三角形内角和定理．2．学会运用三角形内角和定理．二、教学重难点1.三角形内角和定理．2.三角形内角和定理的推导过程．三、教学设计◆活动1新课导入1．问题：三角形的内角和是多少度？2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__．3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__．本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．◆活动2探究新知1．现在有一副三角板．提出问题：(1)每个三角板的每个角各是多少度？(2)每个三角板三个内角的和各是多少度？(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？学生完成并交流展示．2．教材P11探究．提出问题：(1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？(2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？(3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？(4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳三角形的内角和定理：__三角形三个内角的和等于180°__．◆活动4例题与练习例1教材P12例1.例2教材P12例2.例3若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的23，也是第三个内角∠C的45，求△ABC三个内角的度数．解：依题意，得∠A＝23∠B，∠A＝45∠C，∴∠B＝32∠A，∠C＝54∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋32∠A＋54∠A＝180°，∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.例4如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C，即∠1＋∠2＝2∠C.练习1．教材P13练习第1，2题．2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C) A．80° B．70° C．60° D．50°(第2题图)(第3题图) 3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(A)A．40° B．35° C．50° D．45°4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC 的度数．解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP，∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结三角形的内角和定理．四、作业和反思1．作业布置(1)教材P16习题11.2第3，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思第2课时直角三角形的两个锐角互余一、教学目标1．了解直角三角形两个锐角的关系．2．掌握直角三角形的判定．二、教学重难点1.了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定．2.掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算．三、教学设计◆活动1新课导入三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．◆活动2探究新知1．教材P13练习下面的内容．提出问题．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？(2)你能证明吗？如何证明？学生完成并交流展示．2．在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形．◆活动4例题与练习例1教材P14例3.例2如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么．解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形，∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．例3(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.练习1．教材P14练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(B)A．15° B．20° C．25° D．30°(第2题图)(第3题图) 3．如图，将有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__．4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线，∴∠PEF＝12∠BEF，∠PFE＝12∠DFE，∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠BEF＋∠DFE)＝90°，∴△EPF为直角三角形．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．直角三角形的性质——两锐角互余．2．直角三角形的判定——有两角互余的三角形是直角三角形．四、作业与反思1．作业布置(1)教材P16习题11.2第4，10题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思。
三 角 形 的 内 角 和 ( 2 0 2 0 )
数学三角形的所有定理!所有!等腰三角形：定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形.在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.性质：1.等腰三角形的两条腰相等；2.等腰三角形的两个底角相等；3.等腰三角形是轴对称图形；4.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合,它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴.判定：1.有两条边相等的三角形是等腰三角形；2.如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.等边三角形：定义：三边都相等的三角形是等边三角形,也叫正三角形.性质：1.等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴,任意边的垂直平分线都是它的对称轴；2.等边三角形的三个角都相等,每个角都是60°.判定：1.三条边都相等的三角形是等边三角形；2.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；3.有两个角是60°的三角形是等边三角形.直角三角形：定义：有一个内角是直角的三角形叫做直角三角形.其中,构成直角的两边叫做直角边,直角边所对的边叫做斜边.性质：1.直角三角形的两个余角互余；2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；4.勾股定理.判定：1.有一个角是直角的三角形是直角三角形；2.有两个角互余的三角形是直角三角形；3.如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的的一半,那么这个三角形是直角三角形；4.如果三角形的三边长a、b、c满足于a^2+b^2=c^2,那么这个三角形是直角三角形.15 定理三角形两边的和大于第三边?16 推论三角形两边的差小于第三边?17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°?18 推论1 直角三角形的两个锐角互余?19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和?20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角?21 全等三角形的对应边、对应角相等?22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等?23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等?24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等?25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等?26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等?27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等?28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上?29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合?30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）?31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边?32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合?33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°?34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）?35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形?36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形?37 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半?38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半?39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等?40 逆定理和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上?41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合?42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形?43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线?44定理3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上?45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称?46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方,即a^2+b^2=c^2?47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形?48定理四边形的内角和等于360°?49四边形的外角和等于360°?50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°?51推论任意多边的外角和等于360°?52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等?53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等?54推论夹在两条平行线间的平行线段相等?55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分?56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形?57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形?58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形?59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形?60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角?61矩形性质定理2 矩形的对角线相等?62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形?63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形?64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等?65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角?66菱形面积=对角线乘积的一半,即S=（a×b）÷2?67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形?68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形?69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等?70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角?71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的?72定理2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分?73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一?点平分,那么这两个图形关于这一点对称?74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等?75等腰梯形的两条对角线相等?76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形?77对角线相等的梯形是等腰梯形?78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段?相等,那么在其他直线上截得的线段也相等?79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰?80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边?81 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半?82 梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h?83 (1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc?如果ad=bc,那么a:b=c:d?84 (2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d?85 (3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么?(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b?86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例?87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）,所得的对应线段成比例?88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边?89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例?90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似?91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA）?92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似?93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS）?94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS）?95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三?角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似?96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平?分线的比都等于相似比?97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比?98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方?99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等?于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值?101圆是定点的距离等于定长的点的集合?102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合?103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合?104同圆或等圆的半径相等?105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线?107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线?108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线?109定理不在同一直线上的三点确定一个圆.?110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧?111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧?②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧?③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧?112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等?113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形?114定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等?115推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两?弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等?116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半?117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等?118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所有的弦是直径?119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形?120定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角?121①直线L和⊙O相交 d＜r?②直线L和⊙O相切d=r?③直线L 和⊙O相离 d＞r?122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线?123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径?124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点?125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心?126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,?圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角?127圆的外切四边形的两组对边的和相等?128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角?129推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等?130相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等?131推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的?两条线段的比例中项?132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割?线与圆交点的两条线段长的比例中项?133推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等?134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上?135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切d=R+r?③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)?④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)?136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦?137定理把圆分成n(n≥3):?⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形?⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形?138定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆?139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n?140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形?141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长?142正三角形面积√3a／4 a表示边长?143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为?360°,因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4?144弧长计算公式：L=n兀R／180?145扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2?146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r) 三角函数公式?两角和公式?sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB?sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA?co s(A+B)=cosAcosB-sinAsinB?cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB?tan(A+B )=(tanA+tanB)-(1-tanAtanB)?tan(A-B)=(tanA-tanB)-(1+tanAtanB )?ctg(A+B)=(ctgActgB-1)-(ctgB+ctgA)?ctg(A-B)=(ctgActgB+1)-( ctgB-ctgA)?倍角公式?tan2A=2tanA-(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)-2ctga?cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a?半角公式?sin(A-2)=√((1-cosA)-2)?sin(A-2)=-√((1-cosA)-2)?cos(A-2 )=√((1+cosA)-2)?cos(A-2)=-√((1+cosA)-2)?tan(A-2)=√((1-co sA)-((1+cosA))?tan(A-2)=-√((1-cosA)-((1+cosA))?ctg(A-2)=√((1+cosA)-((1-cosA))?ctg(A-2)=-√((1+cosA)-((1-cosA))?积化和差?2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)?2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)? 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)?-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)?和差化积sinA+sinB=2sin((A+B)-2)cos((A-B)-2?cosA+cosB=2cos((A+B)-2)s in((A-B)-2)?tanA+tanB=sin(A+B)-cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)-cosAcosB?ctgA+ctgBsin(A+B)-sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)-sinAsinB?正弦定理a-sinA=b-sinB=c-sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径?余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角?诱导公式?sin(-a)=-sin(a)?cos(-a)=cos(a)?sin(pi-2-a)=cos(a)?cos(pi -2-a)=sin(a)?sin(pi-2+a)=cos(a)?cos(pi-2+a)=-sin(a)?sin(pi-a)=sin(a)?cos(pi-a)=-cos(a)?sin(pi+a)=-sin(a)?cos(pi+a)=-co s(a)?tgA=tanA=sinA-cosA?万能公式?sin(a)= (2tan(a-2))-(1+tan^2(a-2))?cos(a)=(1-tan^2(a-2))-(1+tan^2(a-2))?tan(a)=(2tan(a-2))-(1-tan^2(a-2))?其它公式?a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中,tan(c)=b-a]?a*sin(a)-b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)cos(a-c) [其中,tan(c)=a-b]?1+sin(a)=(sin(a-2)+cos(a-2))^2?1-sin(a)=(sin (a-2)-cos(a-2))^2?其他非重点三角函数?csc(a)=1-sin(a)?sec(a)=1-cos(a)当三角【现场实战追-女孩教-学】形由一般的三角形变化为特殊的三角形时，其几个心的位置关系会发生相应的变化。
七年级数学三角形的内角和江苏科技版知识精讲
数学三角形的内角和某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形的内角和二. 教学目标：1. 掌握三角形内角和定理及外角有关性质。
2. 掌握多边形内角和的计算公式及其应用。
3. 三角形外角和的规律及其简单应用。
三. 重、难点：1. 三角形内角和与三角形外角的有关性质的应用。
2. 多边形内角和的计算公式及其应用。
3. 三角形外角和的特点及其应用。
四. 知识要点1. 三角形的内角：（1）三角形的三个内角的和等于180°。
（2）推论：直角三角形的两个锐角互余。
2. 三角形的外角：（1）三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角。
图中的∠CBD称为△ABC的一个外角注意：“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角。
对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角（2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的外角和等于360°。
3. 多边形的外角：（1）多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
（2）任意多边形的外角和等于360°。
4. 多边形的内角：n 边形的内角和等于（n －2）·180°【典型例题】例1. （1）已知四边形4个内角的度数比是1︰2︰3︰4，那么这个四边形中最大角的度数是。
（2）一个五边形的三个内角是直角，另两个内角都是n °，则n ＝。
（3）六角螺母的面是六边形，它的内角都相等，则这个六边形的每个内角是多少？（4）在四边形ABCD 中，∠A 与∠C 互补，那么∠B 与∠D 有什么关系呢？为什么？ 分析：本题考察的是多边形内角和为（n －2）·180°解：（1）四边形的内角和为360°，所以四边形中最大角为︒=+++⨯︒14443214360 （2）五边形的内角和为540°，所以︒=︒⨯+︒⨯5402903n ，解得：︒=︒135n ，即135=n（3）六边形的内角和为720°，所以其每个内角都＝︒=︒1206720 （4）四边形的内角和为360°，因为∠A 与∠C 互补，所以∠A ＋∠C ＝180°， 所以∠B ＋∠D ＝360°－180°＝180°，即∠B 与∠D 互补。
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
PC平分ACD， 1 2＝ ACD 2 2是 BPC外角
2＝1 BPC
1
2
ACD是 ABC外角
ACD A ABC
BPC＝2 1 1 ACD ABC 2
1 BPC A ABC ABC 2 1 A 2
∴ ∠AGF＝ ∠C+∠E 又∵∠AGF+ ∠AFG+ ∠A＝ 180 ˚ ，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ 180 ˚
小结：怎样计算类似图形的角度的和？
利用三角形的内角和与外角的知识，将其中 几个角转化为某个三角形（图形）内部，再 利用内角和知识来解答。
变式
如下几个图形是五角星和它的变形． （2）图（2）中的点A向下移到BE上时，五个角的和（即 ∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E）有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点C向上移到BD上时（1）如图（3）所示，五 个角的和（即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E）有无变化说明你的 结论的正确性．
解：
BP平分ABC， 1 1＝ ABC 2
BPC 1800
1
2
PC平分ACB， 1 2＝ ACB 2 BPC中, 1 2 BPC 1800
BPC 1800 1 2 1 1 0 180 ABC ACB 2 2
1 ABC ACB 2 1 1800 A 2
F
O
B
C
如图， ∠A＝ 51 ，∠B＝ 20 ，∠C＝ 30 ， A 计算∠BOC
完整版三角形的内角和与外角和关系基础知识讲解
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解【学习目标】1理解三角形内角和定理的证明方法；2•掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3•能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题【要点梳理】要点一、三角形的内角和1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180° •2. 结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1 •定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角•如图，/ ACD是△ ABC的一个外角.L L)要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线.(2 )三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角.2. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据•另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质.3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360° .要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180° ,可推出三角形的三个外角和是360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1 .证明：三角形的内角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180° .••• AB // CD （已作），••• /仁/A （两直线平行，内错角相等）/ B=/ 2 （两直线平行，同位角相等） 又•••/ ACB+/ 1 + / 2=180°（平角定义）， •••/ ACB+/ A+/ B=180。
9.1.2三角形的内角和与外角和(2)
呆鹰岭中学 七年级数学导学案 主备人 唐雪林 课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号9-04第4课时 三角形的外角和（2）课型 ：预+展 班级 小组 小主人姓名 编号9-04 【抽 测】【目标要求】1、复习巩固三角形的外角的性质、三角形的外角和定理；2、能熟练地运用三角形外角的性质、三角形的外角和进行计算和说理. 【重 点】：三角形外角的性质、三角形外角和定理的应用； 【难 点】：灵活运用三角形的外角性质和外角和定理. 【自主探究】自学教材第78页知识点一：三角形的外角和的推导 1．如图示填空：（1）B A ACD ∠+∠∠____（2）A ACD ∠∠______，B ACD ∠∠_______ (3) =∠+∠+∠B A ACB2、想一想, △ＡＢＣ的外角共有几个呢? 二、探究合作、展示1、如图示：思考∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?∵∠1＋______________=180°, ∠2+_______________=180°, ∠3+_______________=180°.三式相加可以得到∴∠1＋∠2＋∠3＋______+______+______=_______,（1 ）又∵ ∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝180°， （2） ∴∠1＋∠2＋∠3＝ °结论：三角形的外角和是 知识点二：三角形的外角和的应用例1、如图9.1.11，D 是△ABC 的BC 边上一点，∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝80°，∠BAC =70°.求：（1）∠B 的度数；（2）∠C 的度数.解 （1）∵∠ADC 是△ABD 的外角（已知），∴∠ADC ＝∠B ＋∠ ＝80°又 ∠B ＝∠BAD （已知）， ∴ ∠ ＝80°×21＝40°（等量代换）.（2）在△ABC 中，∵∠B ＋∠ ＋∠C ＝180°（三角形的内角和等于180°）， ∴ ∠C ＝180°－∠ －∠ （等式的性质）＝180°－40°－70°＝70°例2、如图所示,在△ABC 中,∠A=70°,BO,CO 分别平分∠ABC 和∠ACB, 求∠BOC 的度数.例3、如图，△ABC 中，∠A=500,∠ABC 的平分线与∠C 的外角∠ACE 平分线交于D ，求∠D 的度数。
三角形内角和2
55°
115°
学以致用
1.判断。
（1）三角形越大，内角和就越大。（ ）
（2）等边三角形一定是锐角三角形。（ ）
√
×
（3）一个底角是40°的等腰三角形一定是钝角三角形 。（ ）
√
（4）直角三角形的两个锐角和是90°。（ ）
√
学以致用
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
复习导入
三角形按边分类可分为什么？
不等边三角形
等腰三角形
探索新知
探索新知
小组活动：每人准备一个三角形，量一量，填一填。
小组活动记录表
小组成员姓名
三角形的形状
每个内角的度数
三个内角的和
第 组
探索新知
有什么方法能验证你们的想法？说一说，做一做。
探索新知
（1）∠ 1=50 ° ， ∠ 2=70 ° ， ∠3 =（ ） °，是（ ）三角形。
2.求下面各三角形中∠3的度数。
（2）∠ 1=38 ° ， ∠ 2=42° ， ∠3 =（ ） °，是（ ）三角形。
（3）∠ 1= ∠ 2=45° ， ∠3 =（ ） °，是（ ）三角形。
60
锐角
100
钝角
90
直角
学以致用
3. 探索发现。
四边形的内角和是（ ）度。
五边形的内角和是（ ）度。
360
5Hale Waihona Puke 0学习目标1.通过测量、撕拼、折叠等方法,探索发现并验证三角形内角和等于180°,并能应用这一知识解决一些简单的问题。2.通过把三角形的内角和转化为平角进行探究实验,渗透“转化”的数学思想。3.通过数学活动使学生获得成功的体验,增强自信心。培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
三角形的内角和说课稿
三角形的内角和说课稿各位评委：我说课的主题是“角色扮演，引导学生猜想验证”，说课的内容是《三角形的内角和》。
一、说说我对教材与学情的分析《三角形的内角和》是北师大版四年级下册第二单元的教学内容，是在学生学习了三角形的概念及特征、分类之后进行的，它是三角形的一个重要特征，也是掌握多边形内角和及解决其他实际问题的基础。
教材的小标题为“探索与发现”，强调说明这一部分的内容要求学生通过自主探索来发现有关三角形的性质。
学生已经掌握三角形特性和分类，熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识，大多数学生已经在课前通过不同的途径知道“三角形的内角和是180度”的结论，但不一定清楚道理，所以本课的设计意不在于了解，而在于验证，让学生在课堂上经历研究问题的过程是本节课的重点。
二、聊聊我对教学目标及重难点的确定以建构主义理论以及有效教学的理念为指导，结合对教材和学情的分析，我将本节课的教学目标定为下列几点：1、通过量、剪、拼等活动发现、验证三角形的内角和是180°，并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。
2、经历亲自动手实践、探索三角形内角和的过程，体会运用“量一量”、“算一算”、“拼一拼”、“折一折”进行验证的数学思想方法。
3、在探究中体验成功的喜悦，激发主动学习数学的兴趣。
教学重点：经历“三角形的内角和是180°”的形成、发展和应用的全过程。
教学难点：验证“三角形的内角和是180°”以及对这一规律的灵活运用。
学具准备：量角器、三角尺、剪刀和准备一个喜欢的三角形。
三、谈谈我的主要教学流程本节课我设计采用支架式教学方法，以猜想→验证→应用→评价四个活动环节为主线，引导学生通过自主探究学习实现对“三角形内角和是180°”这一知识规律的数学理解。
同时，每一个活动环节都让学生尝试扮演一种角色，激发他们投入课堂活动的兴趣。
1．大胆设疑，提出猜想（猜想家）在这节课之前，有不少学生通过各种渠道了解了三角形的内角和是180°。
三角形的内角和怎么算
三角形的内角和，即三个内角的和。
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
用数学符号表示为：在△ABC中，∠1+∠2+∠3=180°。
也可以用全称命题表示为：∀△ABC，∠1+∠2+∠3=180°。
多边形内角和
三角形：180°=180°·（3-2），
四边形：360°=180°·（4-2），
五边形：540°=180°·（5-2），
…，
n边形：180°·（n-2），…。
内角和公式
任意n边形内角和公式
任意n边形的内角和公式为θ=180°·（n-2）。
其中，θ是n边形内角和，
n是该多边形的边数。
从多边形的一个顶点连其他的顶点可以将此多边形分成（n-2）个三角形，每个三角形内角和为180°，故，任意n边形内角和的公式是：θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。
相关推论
推论1：直角三角形的两个锐角互余。
推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
三角形的内角和是外角和的一半。
三角形内角和等于三内角之和。
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《三角形内角和》教学设计教学内容：义务教育课程标准试验教科书《数学》(苏教版) 四年级下册第28页“三角形的内角和”教材分析：三角形的内角和是三角形的一个重要特征。
本课是安排在学习三角形的概念及分类之后进行的，它是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础。
学生在掌握知识方面：已经掌握了三角形的分类，比较熟悉平角等有关知识；能力方面：经过三年多的学习，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力以及合作学习的习惯。
因此，教材很重视知识的探索与发现，安排了一系列的实验操作活动。
教材呈现教学内容时，不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间，为教师灵活组织教学提供了清晰的思路。
概念的形成没有直接给出结论，而是通过量、算、拼等活动，让学生探索、实验、发现、讨论交流、推理归纳出三角形的内角和是180°。
学生状况分析：学生在本课学习前已经认识了三角形的基本特征及分类，并且在四年级（上册）教材里已经知道了两块三角尺上的每一个角的度数，学生课上对数学知识、能力和思考问题的角度有一定的差异，因此比较容易出现解决问题的策略多样化。
设计思路：遵循由特殊到一般的规律进行探究活动是这节课设计的主要特点之一。
学生对三角尺上每个角的度数比较熟悉，就从这里入手。
先让学生算出每块三角尺三个内角的和是180°，引发学生的猜想：其它三角形的内角和也是180°吗？接着，引导学生小组合作，任意选出不同类型的三角形，用通过量一量、算一算，得出三角形的内角和是180°或接近180°（测量误差），再引导学生通过剪拼或折的方法发现：各类三角形的三个内角都可以拼成一个平角。
再利用课件演示进一步验证，由此获得三角形的内角和是180°的结论。
这一系列活动潜移默化地向学生渗透了“转化”数学思想，为后继学习奠定了必要的基础。
最后让学生运用结论解决实际问题，练习的安排上，注意练习层次，共安排三个层次，逐步加深。
在整个教学设计中，本着“学贵在思，思源于疑”的思想，不断创设问题情境，让学生去实验、去发现新知识的奥妙，从而让学生在动手操作、积极探索的活动中掌握知识，积累数学活动经验，发展空间观念和推理能力。
教学目标：知识与能力：让学生亲自动手，通过量、剪、拼等活动发现、证实三角形内角和是180。
并会应用这一知识解决生活中简单的实际问题。
过程与方法：让学生在动手获取知识的过程中，培养学生的创新意识、探索精神和实践能力。
并通过动手操作把三角形内角和转化为平角的探究活动，向学生渗透“转化”数学思想。
情感态度与价值观：使学生体验成功的喜悦，激发学生主动学习数学的兴趣。
教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。
教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。
教具学具准备：课件、三角板、表格、不同类型的三角形各一个，量角器教学过程：一、激趣引入（一）认识三角形内角师：我们已经认识了什么是三角形，谁能说出三角形有什么特点？生1：三角形是由三条线段围成的图形。
生2：三角形有三个角，……师：请看屏幕(课件演示三条线段围成三角形的过程)师：三条线段围成三角形后，在三角形内形成了三个角，（课件分别闪烁三个角及的弧线），我们把三角形里面的这三个角分别叫做三角形的内角。
（这里，有必要向学生直观介绍“内角”。
）（二）设疑，激发学生探究新知的心理师：请同学们帮老师画一个三角形，能做到吗？（激发学生主动学习的心理）生：能。
师：请听要求，画一个有两个内角是直角的三角形，开始。
（设置矛盾，使学生在矛盾中去发现问题、探究问题。
）师：有谁画出来啦？生1：不能画。
生2：只能画两个直角。
生3：只能画长方形。
师（课件演示）：是不是画成这个样子了？只能画两个直角。
师：问题出现在哪儿呢？这一定有什么奥秘？想不想知道？生：想。
师：那就让我们一起来研究吧！（揭示矛盾，巧妙引入新知的探究）二、动手操作，探究新知（一）研究特殊三角形的内角和师：请看屏幕。
（播放课件）熟悉这副三角板吗？请拿出形状与这块一样的三角板，并同桌互相指一指各个角的度数。
（课件闪动其中的一块三角板）生：90°、60°、30°。
（课件演示：由三角板抽象出三角形）师：也就是这个三角形各角的度数。
它们的和怎样？生：是180°。
师：你是怎样知道的？生：90°+60°+30°=180°。
师：对，把三角形三个内角的度数合起来就叫三角形的内角和。
师：（课件演示另一块三角板的各角的度数。
）这个呢？它的内角和是多少度呢？生：90°+45°+45°=180°。
师：从刚才两个三角形内角和的计算中，你发现什么？生1：这两个三角形的内角和都是180°。
生2：这两个三角形都是直角三角形，并且是特殊的三角形。
（二）研究一般三角形内角和师：猜一猜其它三角形的内角和是多少度呢？同桌互相说说自己的看法。
1、操作、验证一般三角形内角和是180°。
（1）小组合作、进行探究。
师：所有三角形的内角和究竟是不是180°，你能用什么办法来证明，使别人相信呢？生：可以先量出每个内角的度数，再加起来。
师：也就是测量计算，是吗？那就请四人小组共同研究吧！A、每个小组都有不同类型的三角形。
每种类型的三角形都需要验证，先讨论一下，怎样才能很快完成这个任务。
（课前每个小组都发有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，指导学生选择解决问题的策略，进行合理分工，提高效率。
测量时要认真，力求准确。
）B、把测量结果记录在表格中，并计算三角形内角和。
（附表）C、讨论：从刚才的测量和计算结果中，你发现了什么？汇报交流。
（引导学生发现每个三角形的三个内角和都在180°左右）（2）提出猜想刚才我们通过测量和计算发现了三角形内角和都在180°左右，那你能不能大胆的猜测一下：三角形内角和是否相等？三角形的内角和等于多少度呢？（板书：猜测）2、动手操作，验证猜想这个猜想是否成立呢？我们要想办法来验证一下。
（板书：验证）引导：180°跟我们学过的什么角有关？我们课前准备了各种三角形纸片，你能不能利用这些三角形纸片，想办法把三角形的三个内角转换成一个平角呢？（1）、小组合作，讨论验证方法。
（2）分组汇报，讨论质疑学生可能会出现的方法：A、撕拼的方法把三个角撕下来，拼在一起，3个角拼成了一个平角，所以三角形内角和就是180°。
讨论：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形是否都能得出相同的结论呢？B、折一折的方法把三角形的∠１折向它的对边，使顶点落在对边上，然后另外两个角相向对折，使它们的顶点与∠１的顶点互相重合，也证明了三角形内角和等于180°。
讨论：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形能否得到相同的结论？3、回顾两种方法，归纳总结，得出结论。
（1）课件演示：两种方法的展示。
（2）引导学生得出结论。
三角形内角和到底等于多少度呢？”学生一定会高兴地喊：180°（3）总结方法，齐读结论我们通过动作操作，折一折，拼一拼，把三角形的三个内角转换成了一个平角，成功的得到了这个结论，让我们为自己的成功鼓掌！齐读结论。
（板书：得到结论）（4）解释测量误差为什么我们刚才通过测量，计算出来的三角形内角和不是180°呢？那是因为我们在测量时，由于测量工具、测量操作等各方面的原因，使我们的测量结果存在一定的误差。
实际上，三角形内角和就等于180°。
（5）解决疑问。
师：现在谁能说说不能画出有两个直角的一个三角形的原因？（让学生体验成功的喜悦）生：因为三角形的内角和是180°，在一个三角形中如果有两个直角，它的内角和就大于180°。
师：在一个三角形中，有没有可能有两个钝角呢？生：不可能。
师：为什么？生：因为两个钝角和已经超过了180°。
师：那有没有可能有两个锐角呢？生：有，在一个三角形中最少有两个内角是锐角。
三、巩固深化，加深理解。
学会了知识，我们就要懂得去运用。
下面，我们就根据三角形内角和的知识来解决一些相关的数学问题。
1、（课件演示练习题）看图求出未知角的度数。
在一个三角形中,∠1=140度, ∠3=35度,求∠2的度数.（读题后，指名学生说一说是除了∠１，∠２两个已知条件外，你还能想到什么已知条件?∠３如何求出来?然后学生独立完成）2、一个等腰三角形的顶角是９０°，每个底角是多少度?（指名说一说，等腰三角形两底角有什么关系?然后指名板演，集体订正。
）3. 思考：等边三角形，三个角的度数分别是多少呢? (先让学生想想等边三角形三个内角的关系，再解答)4．思考题.根据所学的知识，你能想办法求出下列图形的内角和吗？（在学生已掌握规律的基础上，通过实用练习，既能巩固新知，又能形成能力）四、全课总结。
今天你学到了哪些知识？是怎样获取这些知识的？你感觉学得怎么样？板书设计：三角形内角和直角三角形猜想→验证锐角三角形三角形内角和等于180°←得出结论钝角三角形应用。