山东省乐陵市高中数学第一章三角函数1.1.3蝗制和蝗制与角度制的换算导学案无答案4170725151

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[推荐学习]高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制互动课堂学案新人教A版必修4

1.1.2 弧度制互动课堂疏导引导1.度量角的单位制:角度制、弧度制 (1)角度制初中学过角度制,它是一种重要的度量角的制度.规定周角的3601为1度角,记作1°,用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记作1 rad. 如图1-1-6,的长等于半径r,所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角,即rl=1.图1-1-6(3)弧度数一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=rl . 这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 2.弧长公式与扇形的面积公式(1)设l 是以角α作为圆心角时所对的弧的长,r 是圆的半径,则有l=|α|·r. 其中α是角的弧度数. (2)扇形面积公式 S=21lr=21α·r 2. 3.角度与弧度之间的互化 (1)将角度化为弧度360°=2π rad,180°=π rad. 1°=180πrad≈0.017 45 rad.(2)将弧度化为角度2π rad=360°,π rad=180°. 1 rad=(π180)°≈57.30°=57°18′.(3)弧度制与角度制的换算公式设一个角的弧度数为α,角度数为n°,则α(rad)=(πα180)°,n°=n180πrad.5.角度制与弧度制的比较(1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度,角度制是以“度”为单位度量角的制度. (2)1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的3601所对的圆心角(或弧)的大小.(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. (4)用弧度为单位表示角的大小时,“弧度”两字可以省略不写.如sin2是指sin(2弧度),π=180°是指π弧度=180°;但如果以度(°)为单位表示角时,度(°)就不能省去. (5)角的概念推广以后,无论用角度制还是用弧度制都能在角的集合与实数集R 之间建立一种一一对应的关系,每一个角都有唯一的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角与它对应. 活学巧用1.下列诸命题中,假命题是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601,一弧度的角是周角的π21 C.根据弧度的定义,180°一定等于π弧度D.不论用角度制还是用弧度制度量角,它们与圆的半径长短有关解析：A 、B 、C 都正确.1弧度等于半径长的圆弧所对的圆心角(或弧)的大小,而1°是圆的3601所对的圆心角(或弧)的大小. 因此不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径的大小无关的定值. 答案：D2.圆弧长度等于其内接正三角形边长,则其圆心角的弧度数为( ) A.3π B.32π C.3 D.2解析：设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为3r,∴θ=rr3=3. 答案：C3.一个扇形的面积为1,周长为4,则中心角的弧度数为______________. 解析：设扇形的半径为r,弧长为l,则2r+l=4.∴l=4-2r.根据扇形面积公式S=21lr 得1=21(4-2r)·r. ∴r=1.∴l=2.∴|α|=r l =12=2.∴α=±2.答案：±24.(1)把112°30′化成弧度(精确到0.001). (2)把112°30′化成弧度(用π表示). (3)把-125π化成度. 解析：(1)①n=112°30′,π=3.141 6;②n=1126030=112.5;③a=180π≈0.0175;④α=na=1.968 75. ∴α≈1.969 rad.(2)112°30′=(2225)°=2225×180π=85π. (3)- 125π=-(125π×π180)°=-75°.答案：(1)1.969 rad;(2) 85π;(3)-75°.5.集合A={α|α=k π+2π,k∈Z },B={α|α=2k π±2π,k∈Z }的关系是( ) A.A=B B.A ⊆B C.A ⊇B D.以上都不对解析：对于集合A,当k=2n(n∈Z )时,α=2n π+2π,n∈Z .当k=2n-1时,α=(2n-1)π+2π=2n π-2π,n∈Z .∴α=2n π±2π,n∈Z .∴A=B. 答案：A7.下列弧度制表示的角化为2k π+α(k∈Z ,α∈［0,2π))的形式,并指出它们所在的象限. (1)-415π;(2)332π;(3)-20;(4)-23. 解析：对于含有π的弧度数表示的角,我们先将它化为2k π+α(k∈Z ,|α|∈［0,2π))的形式,再根据α角终边所在位置进行判断.对于不含有π的弧度数表示的角,取π=3.14,化为k×6.28+α,k∈Z ,|α|∈［0,6.28)的形式,通过α与2π、π、23π比较,估算出角所在象限. 答案：(1)-415π=-4π+4π,是第一象限角;(2)332π=10π+32π,是第二象限角;(3)-20=-3×6.28-1.16,是第四象限角;(4)-23≈-3.464,是第二象限角.8.若α是第四象限角,则π-α是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析：∵α为第四象限角,∴2k π-2π＜α＜2k π(k∈Z ). ∴-2k π＜-α＜-2k π+2π(k∈Z ). ∴-2k π+π＜π-α＜-2k π+23π(k∈Z ).∴π-α是第三象限角. 答案：C。

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1.1.2 弧度制课堂导学三点剖析1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算【例1】设角α1=-570°，2α=750°，β1=35π弧度，β2=π37-弧度. （1）将α1，2α用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限；（2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.解：(1)∵180°=π弧度,∴-570°=-ππ619180570-=. ∴α1=-2×2π+65π, 同理2α=2×2π+6π, ∴α1在第二象限，2α在第一象限. （2）∵5353=π×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k∈Z ),由-720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°,∴k=-2或k=-1，∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.温馨提示迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k 值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为3π，然后用公式求解. 解：（1）如下图所示，半径为r 的⊙O 中弦AB=r,则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB=3π，则弦AB 所对的劣弧长为3πr.(2)∵S △AOB =21×|AB|×|OD|=21×r×43232r r = S 扇形OAB =21lr=21×3r π×r=62r π ∴S 弓形=S 扇形OAB -S △AOB =6πr 2-243r =(6π-43)r 2. 3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】集合M={x|x=2πk +4π,k∈Z },N={x|x=4πk +2π,k∈Z },则有（） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅ 思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M 、N 所表示的角的终边的位置.解：对集合M 中的整数k 依次取0,1,2,3,得角4π,43π,45π,47π.于是集合M 中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N中的角与0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π,2π角的终边相同，如下图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C温馨提示在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2k π+30°(k∈Z),β=k·360°+π23（k∈Z ）都不正确. 各个击破类题演练1（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；（3）把-125π化成度. 解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6;②n=6030112=112.5 ③α=180π≈0.017 5 ④α=na=1.968 75α≈1.969 rad (2)112°30′=(2252)°=2252×180π=85π (3)-125π=-(125π×π180)°=-75° 变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）51999π-. 解：（1）因为9=2π+(9-2π),而2π＜9-2π＜π，所以9为第二象限角. (2)因为-4=-2π+（2π-4），而2π＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角. (3) 51999π-=-200×2π+π5,所以51999π-为第一象限角. 温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2k π+α′,k∈Z ,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断. 类题演练2一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是r θ，扇形的周长是2r+r θ.由题意可知2r+r θ=πr.∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=21r 2θ=21r 2(π-2). 变式提升2一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则2r+θr=20,θ=r r 220-. S 扇形=21θr 2 =12·rr 220-·r 2 =(10-r)r=10r-r 2.当r=)1(210-⨯-=5时，S 扇形最大=25，此时θ=2.答：扇形的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.类题演练3已知α角的终边与3π的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与3α角的终边相同？解：∵α角的终边与3π的终边相同， ∴α=2k π+3π(k∈Z ). ∴3α=2k 3π+π9(k∈Z ). 又0≤3α＜2π, ∴0≤32πk +9π＜2π(k∈Z ). 当k=0、1、2时，有3α=9π、97π、913π，它们满足条件. ∴9π、97π、913π为所求. 变式提升3若α是第四象限角，则π-α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法1：∵α为第四象限角.∴2k π-2π＜α＜2k π,k∈Z . ∴-2k π＜-α＜-2k π+2π,k∈Z . ∴-2k π+π＜π-α＜-2k π+23π,k∈Z . ∴π-α是第三象限角.解法2：∵角α与角-α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限， ∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，∴角π-α的终边在第三象限.答案：C。

高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制学案无答案新人教A版(1)

公司工会安全工作总结一、前言作为公司工会，我们一直以来都将安全工作作为重要工作之一，通过各种措施确保员工的工作环境安全，提高员工的安全意识，保障员工的身体健康。

在过去一年里，我们采取了一系列的工作举措，取得了显著的成效。

下面，就公司工会的安全工作进行总结，以期进一步完善和提高公司安全工作。

二、加强安全宣传和教育在过去一年里，我们积极开展了安全宣传和教育工作。

我们通过企业内刊、安全提示牌、安全公告栏、宣传橱窗等多种渠道，向全体员工介绍了公司安全管理制度、安全操作规程以及安全事故的防范措施。

我们还通过开展安全知识竞赛、安全培训等活动，提高员工的安全意识和安全技能。

通过这些安全宣传和教育，员工的安全意识得到了明显的提升，对安全问题的重视程度明显增加。

三、完善安全管理制度作为公司工会，我们以完善和贯彻落实安全管理制度为重要目标。

在过去一年里，我们对现有的安全管理制度进行了全面检查和修订，制定了一套科学、合理、可操作的安全管理制度。

同时，我们通过定期组织安全检查、安全评估等工作，推动安全管理制度的落实。

通过这些措施，有效地提升了公司的安全管理水平，减少了安全事故的发生。

四、加强安全设备的维护和更新为了确保员工的工作环境安全，我们注重对安全设备的维护和更新。

在过去一年里，我们对公司各类安全设备进行了全面的检查和维护，确保其正常运行。

同时，我们也根据工作实际需求，适时更新了一些旧的安全设备，提高了设备的性能和效能。

通过这些措施，我们增强了员工的工作环境安全感，提升了员工对公司安全工作的认可度。

五、加强事故应急处理能力建设作为公司工会，我们深知事故应急处理能力对于员工安全的重要性。

因此，在过去一年里，我们致力于加强事故应急处理能力的建设。

我们通过组织员工参加应急演练、开展应急救援培训等措施，提高了员工的事故应急处理能力。

同时，我们还完善了事故应急处理预案，形成了科学、系统的应急处理流程。

通过这些努力，我们在面对突发事故时能够迅速做出应急处理，最大限度地减少了事故对员工的伤害。

高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制知识导航学案新人教A版必修83.doc

1.1 任意角和弧度制知识梳理一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2k π＜α＜2k π+2π,k∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2k π+2π＜α＜2k π+π,k∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2k π+π＜α＜2k π+23π,k∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2k π+23π＜α＜2k π+2π,k∈Z }. 4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2k π,k∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2k π+π,k∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作：{α|α=2k π+2π,k∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2k π+23π,k∈Z }；终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2k π,k∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad; 1°=180πrad ≈0.017 45 rad；1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 疑难突破1.弧度制与角度制相比，具有哪些优点？剖析：（1）用角度制来度量角时，人们总是十进制、六十进制并用的.例如α=66°32′2″，其中66、32、2都是十进制数，而度、分、秒之间的关系是六十进（退）位的.于是，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十进制），需要经过一番计算，这就太不方便了.但在用弧度表示角时，只用十进制，所以容易找到与角对应的实数.（2）弧度制下的弧长公式l=|α|r,扇形面积公式S=21|α|r 2，与角度制下的弧长公式l=180r n π,扇形面积公式S=3602r n π比较，不但具有更简洁的形式，而且在计算弧长和扇形面积时，也更为方便.2.为何说三角函数看成是以实数为自变量的函数，角的集合与实数集R 是一一对应关系？剖析：在用弧度制或角度制度量角的前提下，角的集合与实数集R 建立了一一对应关系：每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的角度数或弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的角度数或弧度数等于这个实数）与它对应.于是，就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数.有了角的集合与实数集R 的一一对应关系，要注意角度制是60进位制,类似22°30′这样的角,应该把它化为十进制22.5° ，它与实数22.5对应，但弧度制不存在这个问题，因为弧度制是十进制的实数.。

高中数学第一章三角函数1-1任意角和蝗制1-1-1任意角问题导学案新人教A版必修4

高中数学第一章三角函数1-1任意角和蝗制1-1-1任意角问题导学案新人教A版必修4问题导学一、角的概念的推广活动与探究1下列命题：①第一象限角是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥三角形内角是第一、第二象限的角；⑦向左转体1周形成的角为360°.其中是真命题的为__________(把正确命题的序号都写上)．迁移与应用下列命题正确的是( )A．－330°与330°都是第四象限角B．45°角是按顺时针方向旋转形成的C．钝角都是第二象限角D．小于90°的角都是锐角正确理解正角、负角和零角的概念，由定义可知，关键是看终边的旋转方向是逆时针、顺时针还是没有转动，要正确理解象限角的概念．二、终边相同的角的问题活动与探究2已知角α＝2 012°. (1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.迁移与应用写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中适合不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.在给定范围内确定角的问题，有两种处理思路：一种思路是不解不等式，根据条件k∈Z，采用观察和特殊值检验的方法求出k的值，求解时需注意不要漏解；另一种思路是解不等式，然后再根据k∈Z求出k的值．三、区间角的表示活动与探究3若α是第三象限角，判断2α，和180°－α是第几象限角．3迁移与应用如图所示，试分别表示出终边落在阴影区域内的角．1．写区间角的集合时应严格按照写区间角的三个步骤进行，注意集合表述的严谨性，应特别检查所写集合能否包含问题所要表达的全部角．2．区间角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步：(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；(2)按由小到大分别标出起始、终止边界对应的0°到360°范围内的角α，β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；(3)再加上起始、终止边界对应角α，β出现的k倍的周期，即得区间角的集合．当堂检测1．下列叙述正确的是( )A．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小2．若角α与β的终边相同，则角α－β的终边( )A．在x轴的非负半轴上B．在x轴的非正半轴上C．在y轴的非正半轴上D．在y轴的非负半轴上3．与405°角终边相同的角是( )A．k·360°－45°，k∈ZB．k·360°±405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z 4．若集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则M__________N．(填“”或“”) 5．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是。

高中数学第一章三角函数1.1.2蝗制导学案无答案新人教A版必修(1)

1.1.2弧度制【学习目标】1. 理解并掌握弧度制定义. 熟练进行角度制与弧度制地互化换算.2．掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用.【新知自学】知识回顾：1．角的概念一条射线OA 由原来的位置，绕着它的________按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

按__________方向旋转所形成的角叫正角；按_______方向旋转所形成的角叫负角；如果一条射线_______________，我们称它形成了一个零角.2．象限角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的________________重合,那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.3．终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合________________________, 新知梳理：1. 角度制规定将一个圆周分成360份，每一份叫做_____度，故周角等于_____度，平角等于______度，直角等于90度.2. 弧度制的定义长度等于__________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).思考：在大小不同的圆中，等长的弧所对的圆心角相等吗？3．弧度数的求法一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么角α的弧度数的绝对值是：=α________.α的正负由 __决定.正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是 .4．角度与弧度的换算（1）3600=________rad ；（2）________=πrad ；度数0180π⨯=弧度数；弧度数π0180⨯=度数. 【感悟】在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.对点练习1：5. 扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.对点练习2：1 cm 2，它的周长是4 c m ，求扇形圆心角的弧度数．【合作探究】典例精析：一、角度与弧度的换算例1. 将下列各角度与弧度互化:（1）-210º； (2)1200º；（3）35π； (4) -3.5.变式1. 将下列各角度与弧度互化:(1)22 º30′；(2)-1125°；(3) -34π；（4）103π.二、用弧度制表示角的集合例2. 如下图，用弧度制表示终边落在阴影部分的角的集合．变式2. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合.三、弧长、扇形面积的有关计算例3. 若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，求这个圆心角所在的扇形面积．变式3. 已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，，求该扇形的面积.【课堂小结】【当堂达标】1．将下列弧度转化为角度：(1)π12＝________°；(2)-7π8＝________°；(3)13π6＝________°.2．将下列角度转化为弧度：(1)36°＝______(rad)；(2)-105°＝_______(rad)；(3)37°30′＝_______(rad)．3．把-1035°化成α＋2k π (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是___________________．4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．5、如下图所示，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．【课时作业】1．下列叙述中正确的是( )A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位2.3π5弧度化为角度是( )A ．110°B ．160°C ．108°D ．218°3．若α＝5 rad ，则角α的终边所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限*4．集合{|,}25k M k Z ππαα==-∈， {|}N βπβπ=-<<，则M N =（） A.3{ , }510ππ- B.74{ , }105ππ- C.734{ , , , }105105ππππ-- D.73{ , }1010ππ- 5.把下列角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．(1)-463π； (2) 1 690°； (3)-20.6．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求其圆心角的弧度数．7．若角α，β终边关于原点对称，且α＝-π3，写出β角的集合．8．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．【延伸探究】已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？。

【配套K12】高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角课堂导学案新人教A版必修4

1.1.1 任意角课堂导学三点剖析1.任意角的概念和象限角的概念【例1】若α是第四象限角，那么2α是第几象限角？思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定2α的范围. 解：∵α是第四象限角.∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z ）,则有， 135°+k·180°＜2α＜180°+k·180°(k∈Z ). 当k=2n(n∈Z )时，135°+n·360°＜2α＜180°+n·360°, ∴2α是第二象限角. 当k=2n+1(n∈Z )时 315°+n·360°＜2α＜360°+n·360°， ∴2α是第四象限角. 综上所述，2α是第二或第四象限角. 温馨提示准确表示第四象限角，再分k 为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,2α是第二象限角.类似地，3α、4α都应分k 为奇数，偶数讨论. 2.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示【例2】用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：S={β|β=45°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z }.={β|β=45°+n·180°，n∈Z }(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}.={β|β=30°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z }.={β|β=±30°+n·360°，n∈Z }.(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k∈Z }∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z }.={β|β=30°+2k·180°，k∈Z }∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z }.={β|β=（-1）n ·30°+n·180°，n∈Z }.3.任意角的概念【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N 等于( )A.{锐角}B.{小于90°的角}C.{第一象限角}D.以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N 由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.温馨提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意. 各个击破类题演练1如果α是第三象限角，那么2α的终边落在何处？解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k∈Z . 所以2k ·360°+90°＜2α＜2k ·360°+135°,k∈Z . 当k 为奇数时，令k=2n+1，n∈Z ,则n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°，n∈Z ,故2α是第四象限角；当k 为偶数时，令k=2n,n∈Z ,则n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°，n∈Z ,所以2α是第二象限角. 综上可知，2α是第二或第四象限角. 其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限.变式提升1若α是第二象限角，3α是第几象限角？解：因为α是第二象限角，则有： k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z ，所以k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°，k∈Z.当k=3m(m∈Z )时，m·360°+30°＜3α＜m·360°+60°，m∈Z ,所以3α是第一象限角. 当k=3m+1(m∈Z )时，m·360°+150°＜3α＜m·360°+180°，m∈Z ,所以3α是第二象限角. 当k=3m+2(m∈Z )时，m·360°+270°＜3α＜m·360°+300°，m∈Z ,所以3α是第四象限角. 因此3α是第一、二、四象限角. 类题演练2已知α=1 690°，（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z ,0°≤β＜360°）的形式；（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限. 解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.(2)∵θ与α终边相同，∴θ角可写成250°+k·360°.又∵-360°＜θ＜360°,∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z .解得k=-1或0.∴θ=-110°或250°,∴θ是第三象限角.变式提升2（1）与-457°角终边相同角的集合是（）A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z }B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z }C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z }D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z } 解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°+263°角终边相同，∴应选C.答案：C（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上解析：∵角α、β终边相同，∴α=k·360°+β,k∈Z ,作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k∈Z .∴α-β的终边在x 轴的非负半轴上.答案：A类题演练3用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”.解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z }锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}小于90°的角的集合为{α|α＜90°}0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}变式提升3下列命题中，正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B。

高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制导学案无答案新人教A版必修4

1高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.2蝗制导学案无答案新人教A 版必修4一、温故互查：复习1、写出终边在下列位置的角的集合。

（1）x 轴：；（2）y 轴：。

复习2、角度制规定，将一个圆周分成份，每一份叫做度，故一周等于度，平角等于度，直角等于度。

复习3：在角度制下，扇形弧长公式为______________；扇形面积公式为________________；二、设问导读：（预习教材P 6-P 9）弧度制定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，这种度量角的单位制称为。

新知： ① 正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是。

② 角α的弧度数的绝对值 lrα=（l 为弧长，r 为半径）思考：① 1rad 等于度，②1︒等于弧度。

试试：完成特殊角的度数与弧度数的对应表：1、按要求解答下列各题：（1）把下列弧度化成度：①12π； ②34π- ； ③103π； ④53π（2）把下列度化成弧度：①36°； ②-150°； ③1095°； ④1440°2、用弧度制表示：（1）终边在x 轴上的角的集合，（2）终边在y 轴上的角的集合。

3、利用弧度制证明扇形面积公式：（1）12S lR =，（2）212S R α=。

三、自学检测:1、把2230'︒化成弧度表示是（） A.4π B. 8π C. 16π D. 32π 2、下午正2点时，时针和分针的夹角为（） A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 3、半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 rad 。

4、54π化为度表示是。

四、巩固训练（A 组必做，B 组选做） A 组：1、时钟经过一小时，时针转过了( ) A.6πrad B.－6πrad C.12πrad D.－12πrad2、若α＝－3，则角α的终边在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3、半径为πcm ，圆心角为120o的弧长为（）A ．cm 3πB ．cm 32π C ．cm 32πD ．cm 322π 4、课本P9，练习：1、2、3；习题A 组：4、7、8.B 组： 1、练一练（1）已知扇形半径为10cm,圆心角为60º，求扇形弧长和面积;（2）已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积.（3）已知扇形的弧长是18cm,半径为12cm 求该扇形的面积。

高中数学第一章三角函数1.3蝗制学案无答案北师大版必修

弧度制班级姓名组号【学习目标】1、理解1弧度的定义和弧度制的概念，体会弧度制定义的合理性；2、掌握弧度与角度的互化，理解角的集合与实数集R 间建立的一一对应关系；3、掌握弧度制下的弧长公式与扇形面积公式。

【学习重点】弧度制概念的理解，弧度与角度的互化。

【学习难点】弧度制的建立与应用。

【学习过程】一、预习自学（预习教材p9-p12）思考1：半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对的弧长和半径之比有什么特征？利用什么量表示这一特征？思考2：单位圆中，长度为1的狐与半径的比是多少？如何描述该狐所对圆心角的大小？如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?思考3:课本表1-3是怎样得到的？你会转化吗？试举一例说明。

思考4: 利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1)l R α=; (2)212S R α=; (3)12S lR =.（其中R 是半径,l 是弧长,(02)ααπ<<为圆心角,S 是扇形的面积）【知识自测】填写新学案P4-P5“知识梳理”相关内容二、合作探究问题1: 圆O 的半径为2,AB 的长等于4,AOC ∠=-90°,AOC ∠和BOC ∠的弧度数.问题2；(弧度与角度之间的互化)(1)18°=_________; (2)6730'︒=_______; (3)310πrad =________; (4)2rad =________.问题3:已知1570α=-︒,2750α=︒,145πβ=,23πβ=-.(1) 将12,αα用弧度表示出来,并指出它们是第几象限角；(2) 将12,ββ用角度表示出来,并在7200-︒︒之间找出与它们终边相同的角.问题4:(弧长公式、扇形面积公式的应用): 解下列各题：(1) 已知扇形的圆心角为32rad ,半径为6cm ,求扇形的周长。

(2) 已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积三、当堂检测——新学案p5:自主测评四．学习小结1、本节学习收获2、弧度制与角度制有何不同？。

高中数学第一章三角函数1.1蝗制1学案无答案苏教版必修

弧度制01
使用时间：
【课前检测】
在0°～360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们分别是第几限的角。

（1）390° （2）－135°
【新课学习】一、学习目标
1．理解1弧度的角及弧度制的定义；
2．掌握角度与弧度的换算公式并熟练进行换算；二、知识点归纳
1.弧度角的定义：长度半径的圆弧所对的圆心角叫做的角.记作：．
2.正角的弧度数为，负角的弧度数为，零角的弧度数为
3.弧长，半径，圆心角之间的关系：
4.角度制与弧度制的互换运算．
360°= rad 180°= rad 1° = rad 1 rad = 三、典型例题
例题1. 把下列各角从弧度化为度．（1）53πrad （2）—3
4πrad （3）3.5rad
例题2.把下列各角从度化为弧度．
（1）252° （2）-75° （3）11°15′
巩固练习
四、课堂检测
1.把下列各角从弧度化为度．
π125-
π
38 32 4.1
2.把下列各角从度化为弧度
o 200- '3012o
五、课堂小结
本节课你学会了哪些？（在你已经懂的知识点后面打“√”）
（1）弧度制的定义-------------------------------------------（）（2）角度与弧度的相互换算-----------------------------------（）（3）特殊角的弧度数-----------------------------------------（）。

高中数学第一章三角函数1.1任意角蝗1.1.2蝗制教案苏教版必修

1．1.2 弧度制整体设计教学分析在物理学和日常生活中，一个量常常需要用不同的方法进行度量，不同的度量方法可以满足我们不同的需要．现实生活中有许多计量单位，如度量长度可以用米、厘米、尺、码等不同的单位制，度量重量可以用千克、斤、吨、磅等不同的单位制，度量角的大小可以用度为单位，并且一度的角等于周角的1360，记作1°.通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度数的绝对值公式，并得出角度和弧度的换算方法．在此基础上，通过具体的例子，巩固所学概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性．这样可以尽量自然地引入弧度制，并让学生在探究过程中，更好地形成弧度的概念，建立角的集合与实数集的一一对应，为学习任意角的三角函数奠定基础．通过探究讨论，关键是弄清1弧度角的定义，使学生建立弧度的概念，理解弧度制的定义，达到突破难点之目的．通过电教手段的直观性，使学生进一步理解弧度作为角的度量单位的可靠性、可行性．通过周角的两种单位制的度量，得到角度与弧度的换算公式．使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度．三维目标1．通过类比长度、重量的不同度量制，使学生体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．2．通过探究使学生认识到角度制和弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是相互联系、辩证统一的．使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳整理并认识到任何新知识的学习，都会为解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣．重点难点教学重点：理解弧度制的意义，并能进行角度和弧度的换算．教学难点：弧度的概念及其与角度的关系．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(类比导入)测量人的身高常用米、厘米为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？家庭购买水果常用千克、斤为单位进行度量，这两种度量单位是怎样换算的？度量角的大小除了以度为单位度量外，还可采用哪种度量角的单位制？它们是怎样换算的？思路2.(情境导入)利用古代度量时间的一种仪器——日晷，或者利用普遍使用的钟表．实际上我们使用的钟表是用时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪一种方法，度量一个确定的量所得到的量数必须是惟一确定的．在初中，已学过利用角度来度量角的大小，现在来学习角的另一种度量方法——弧度制．要使学生真正了解弧度制，首先要弄清1弧度的含义，并能进行弧度与角度的换算．在引入弧度制后，可以引导学生建立弧与圆心角的联系——弧的度数等于圆心角的度数．随着角的概念的推广，圆心角和弧的概念也随之推广：从“形”上说，圆心角有正角、零角、负角，相应地，弧也就有正弧、零弧、负弧；从“数”上讲，圆心角与弧的度数有正数、0、负数．圆心角和弧的正负实际上表示了“角的不同方向”，就像三角函数值的正负可以用三角函数线(有向线段)的方向来表示一样．每一个圆心角都有一条弧与它对应，并且不同的圆心角对应着不同的弧，反之亦然．推进新课新知探究弧度制1．1°的角周角的1360为1°的角． 2．1弧度的角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．3．弧度数正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0.一扇形的半径为R ，弧长为l ，则l ＝|α|R ，S ＝12lR ＝12R 2|α|. 4．角度制与弧度制的换算关系 π弧度＝180°，1°＝π180弧度，1弧度＝(180π)°≈57°18′. 教师先让学生思考或讨论问题，并让学生回忆初中有关角度的知识，提出这是认识弧度制的关键，为更好地理解角度与弧度的关系奠定基础．讨论后教师提问学生，并对回答好的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的关键．教师板书弧度制的定义：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制；在弧度制下，1弧度记作1 rad.如图1中，的长等于半径r ，AB 所对的圆心角∠AOB 就是1弧度的角，即l r＝1. 我们已学习过角的度量，规定周角的1360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制(degree measure)．除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad(图1)．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．图1用弧度表示角的大小时，只要不产生误解，可以省略单位．例如1 rad ，2 rad ，π rad ，可分别写成1,2，π.正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2r ，那么∠AOB 的弧度数就是2r r＝2(图2)．图2教师引导学生学会总结和归纳角度制和弧度制的关系，提问学生归纳的情况，让学生找出区别和联系．教师给予补充和提示．引入弧度之后，应与角度进行对比，使学生明确：第一，弧度制是以“弧度”为单位来度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；第二，1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角(或这条弧)的大小，而1°的角是周角的1360；第三，无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．若圆半径为r ，圆心角∠AOB(正角)所对的圆弧长为2πr ，则∠AOB 的弧度数就是2πr r＝2π(图3)．故有360°＝2π rad ，图31°＝π180 rad≈0.017 45 rad，1 rad ＝(180π)°≈57.30°. 如图4给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系，需熟记．图4弧度制与角度制的换算公式：设一个角的弧度数为α rad ＝(180απ)°，n°＝n×π180(rad)．可让学生填写下列的表格，找出某种规律．的长由上表可知，如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数的绝对值是l α.这里，应当注意从数学思想的高度引导学生认识“换算”问题，即角度制、弧度制都是角的度量制，那么它们一定可以换算．推而广之，同一个数学对象用不同方式表示时，它们之间一定有内在联系，认识这种联系性也是数学研究的重要内容之一．教师给学生指出，角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应关系：每一个角都有惟一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有惟一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应值得注意的是：今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋π3或者2k π＋60°一类的写法．在弧度制中，与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k∈Z )的形式．如图5为角的集合与实数集R 之间的一一对应关系．图5与角α终边相同的角，连同角α在内，可以写成β＝α＋2k π(k∈Z )的形式．弧度制下关于扇形的公式为l ＝αR ，S ＝12αR 2，S ＝12lR. 应用示例例1将下列弧度数化为角度数：(1)3π5；(2)3.5. 解：(1)3π5 rad ＝3π5×180°π＝108°；(2)3.5 rad ＝3.5×180°π≈200.54°. 例2将下列角度数化为弧度数：(1)252°；(2)11°15′.解：(1)252°＝252×π180 rad ＝7π5 rad ；(2)11°15′＝11.25°＝11.25×π180 rad ＝π16rad.点评：以上两例的目的是让学生在教师的指导下理解弧度制与角度制的联系与区别，以达到熟练掌握定义的目的．从实际教学上看，弧度制不难理解，学生结合角度制很容易记住.例3将下列用弧度制表示的角化为2k π＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，并指出它们所在的象限：(1)－15π4；(2)32π3；(3)－20；(4)－2 3. 活动：本题的目的是让学生理解什么是终边相同的角，教师给予指导并讨论归纳出一般规律，即终边在x 轴、y 轴上的角的集合分别是{β|β＝k π，k∈Z }、{β|β＝π2＋k π，k∈Z }，第一、二、三、四象限角的集合分别为{β|2k π<β<2k π＋π2，k∈Z }、{β|2k π＋π2<β<2k π＋π，k∈Z }、{β|2k π＋π<β<2k π＋3π2，k∈Z }、{β|2k π＋3π2<β<2k π＋2π，k∈Z }．解：(1)－15π4＝－4π＋π4，是第一象限角．(2)32π3＝10π＋2π3，是第二象限角． (3)－20＝－3×6.28－1.16，是第四象限角．(4)－23≈－3.464，是第二象限角．点评：在这类题中对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α〔k∈Z ，α∈[0,2π)〕的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断，对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k×6.28＋α，k∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过α与π2，π，3π2比较大小，估计出角所在的象限．例4见课本本节例3.知能训练课本本节练习1～6.课堂小结由学生总结弧度制的定义、角度与弧度的换算公式与方法．教师强调角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝πrad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记．重要的一点是，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，表扬学生能总结出引入弧度制的好处，这种不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，特别是同学们善于联想、积极探索的学习品质，会使我们终生受用，这样持之以恒地坚持下去，你会发现数学王国的许多宝藏，以服务于社会，造福于人类．作业①课本习题1.1 6、8、10.②课后探究训练：课本习题1.1 12.设计感想本节课的设计思想是：在学生的探究活动中通过类比引入弧度制这个概念并突破这个难点．因此一开始要让学生从图形、代数两方面深入探究，不要让开始的探究成为一种摆设．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后做题会更困难．通过探究让学生明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将弧度制的概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更宽的广度．本节设计的特点是由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启迪．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续总结归纳用弧度来计量角的好处并为后续三角函数的学习奠定基础．备课资料一、密位制度量角度量角的单位制，除了角度制、弧度制外，军事上还常用密位制．密位制的单位是“密位”.1密位就是圆的16 000所对的圆心角(或这条弧)的大小．因为360°＝6 000密位，所以1°＝6 000密位360≈16.7密位，1密位＝360°6 000＝0.06°＝3.6′≈216″. 密位的写法是在百位上的数与十位上的数之间画一条短线，例如7密位写成0—07，读作“零，零七”，478密位写成4—78，读作“四，七八”．二、备用习题1．一条弦的长度等于圆的半径，则这条弦所对的圆心角的弧度数是( )A.π3B.π6C ．1D ．π 2．圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增大到原来的2倍，则( )A ．扇形的面积不变B ．扇形的圆心角不变C ．扇形的面积增大到原来的2倍D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍3．下列表示的为终边相同的角的是( )A ．k π＋π4与2k π＋π4(k∈Z ) B.k π2与k π＋π2(k∈Z ) C ．k π－2π3与k π＋π3(k∈Z ) D ．(2k ＋1)π与3k π(k∈Z ) 4．已知0<θ<2π，7θ角的终边与θ角的终边重合，则θ＝__________.5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形的中心角的弧度数．6．若α∈(－π2，0)，β∈(0，π2)，求α＋β，α－β的范围，并指出它们各自所在的象限．参考答案：1.A 2.B 3.C 4.π3，2π3，π，4π3，5π3. 5．解：设扇形所在圆的半径为R ，扇形的中心角为α，依题意有αR ＋2R ＝6，且12αR 2＝2，∴R＝1，α＝4或R ＝2，α＝1.∴α＝4或1. 6．解：－π2<α＋β<π2，∴α＋β在第一象限或第四象限，或α＋β的终边在x 轴的非负半轴上．－π<α－β<0，∴α－β在第三象限或第四象限，或α－β的终边在y 轴的非正半轴上．三、钟表的分针与时针的重合问题弧度制、角度制以及有关弧度的概念，在日常生活中有着广泛的应用，我们平时所见到的时钟上的时针、分针的转动，其实质都反映了角的变化．时间的度量单位时、分、秒分别与角2π(rad)，π30(rad)，π1 800(rad)相对应，只是出于方便的原因，才用时、分、秒．时钟上的数学问题比较丰富，下面我们就时针与分针重合的问题加以研讨．[例题] 在一般的时钟上，自零时开始到分针与时针再一次重合，分针所转过的角的弧度数是多少(在不考虑角度方向的情况下)?甲生：自零时(此时时针与分针重合，均指向12)开始到分针与时针再一次重合，设时针转过了x 弧度，则分针转过了2π＋x 弧度，而时针走1弧度相当于经过6π h ＝360πmin ，分针走1弧度相当于经过30π min ，故有360πx ＝30π(2π＋x)，得x ＝2π11， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是2π11＋2π＝24π11(rad)．乙生：设再一次重合时，分针转过弧度数为α，则α＝12(α－2π)(因为再一次重合时，时针比分针少转了一周，且分针的旋转速度是时针的12倍)，得α＝24π11， ∴到分针与时针再一次重合时，分针转过的弧度数是24π11(rad)．点评：两名同学得出的结果相同，其解答过程都是正确的，只不过解题的角度不同而已．甲同学是从时针与分针所走的时间相等方面列出方程求解，而乙同学则从时针与分针所转过的弧度数入手，当分针与时针再次重合时，分针所转过的弧度数α－2π与时针所转过的弧度数相等，利用弧度数之间的关系列出方程求解．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章三角函数 1.1.3 弧度制和弧度制与角度制的换算导学案(无答案)新人教A版必修

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弧度制和弧度制与角度制的换算（自学自测）【学习目标】1 了解角的另一种度量方法-—弧度制;2熟练进行角度制和弧度制的换算;3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.【学习重点】角度制和弧度制的换算。

【学习难点】弧长公式和面积公式的应用。

【自主学习】1、把圆周分成360份,其中1份所对的圆心角是度，这种用度作单位来度量角的制度叫2、我们规定：长度等于的圆弧所对的叫做1弧度的角，记作以为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(1）。

在半径为1的圆中，弧长为2的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为1。

8的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为π 的圆弧所对的圆心角为弧度；圆的周长为弧长为π2的圆弧所对的圆心角为弧度，度？（2)。

在半径为r 的圆中，弧长为r 2的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为r 8.1的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为πr 的圆弧所对的圆心角为弧度；圆的周长为 ,弧长为r π2的圆弧所对的圆心角为弧度，度？ 3、弧度数公式α= ; 弧长公式: l = ;扇形面积公式:s = = 。

【结论】(1)在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α，则（2）=0360 rad =0180 rad所以：01= rad =rad 1 =0n rad 3、常见角度和弧度的转化角度 00015 030045060075090012001350150弧度12π65π【自练自提】1、把下列各角的度化为弧度.015-= , 0210= ， 0300= , 0690= 。

[推荐学习]高中数学第一章三角函数1.1任意角蝗1.1.2蝗制导学案苏教版必修4

1.1.2 弧度制课堂导学三点剖析1.弧度的意义，角度与弧度之间的换算【例1】-300°化为弧度是（） A.34π- B.35π- C.47π- D.67π- 思路分析：运用角度与弧度间的转化关系式.解：∵1°=180π弧度，∴-300°=35π-弧度. 答案：B温馨提示掌握基本换算关系：180°=π弧度，1弧度=（π180）°≈57.30°,可以解决角度与弧度的换算问题.2．弧度制的概念及其与角度的关系【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界）.思路分析：运用数形结合表示象限角的方法，先找出终边落在阴影边界的两个最小正角或最大负数.解：(1)中OB 为终边的角为330°，可看成-30°，化为弧度，即6π-而75°=125π. ∴阴影部分内的角的集合为 {θ|2k π6π-＜θ＜2k π+125π,k∈Z }. (2)中OB 为终边的角是225°，可看成-135°，化为弧度，即43π-，而135°=43π. ∴阴影部分内的角的集合为{θ|2k π43π-＜θ＜2k π+43π,k∈Z }. 温馨提示在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制的一种，不能混用.3．弧度的意义的再理解【例3】下列诸命题中，真命题是( )A.一弧度是一度的圆心角所对的弧B.一弧度是长度为半径的弧C.一弧度是一度的弧与一度的角之和D.一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角，它是角的一种度量单位思路分析：弧度定义的理解.解：根据一弧度的定义：把长度等于半径长的弧所对圆心角叫做一弧度的角，由选项知，D 为真命题.答案：D温馨提示掌握定义的准确表述，弧度是角的单位，不是弧的单位.各个击破类题演练1把260°化为弧度为____________.解析：∵1°=180π弧度 ∴260°=π913弧度. 答案：π913 变式提升1（1）将112°30′化为弧度；（2）将-125πrad 化为度. 解：(1)∵1°=180π rad, ∴112°30′=180π×112.5 rad=85πrad. (2)∵1 rad=(π180)°, ∴-125π rad=-(125π×π180)°=-75°. 类题演练2（1）分别写出终边落在 OA ，OB 位置上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合.思路分析：先在0到2π之间找出终边落在OA 与OB 位置上的角的集合，为方便起见，也可以在-π与π之间找出终边落在OA 与OB 位置上的角的集合.解：（1）在0到2π之间，终边落在OA 位置上的角是2π+4π=43π，终边落在OB 位置上的角是23π+3π=611π, 故终边落在OA 上的角的集合为{α|α=2k π+43π,k∈Z }, 终边落在OB 上的角的集合为{β|β=2k π+611π,k∈Z }. (2)终边落在阴影部分角的集合为{α|2k π6π-≤α≤2k π+π43,k∈Z }. 变式提升2（1）已知0＜θ＜2π,且θ与7θ终边相同，求θ.解：由已知有7θ=2k π+θ,k∈Z .即6θ=2k π.∴θ=π3k . 又∵0＜θ＜2π,∴0＜π3k ＜2π. ∵k∈Z ,当k=1,2,3,4,5时，θ=3π,32π,π,34π,35π. (2)已知某角是小于2π的非负角且此角的终边与它的5倍角的终边相同，求此角的大小. 解：设这个角是α,则0≤α＜2π.∵5α与α终边相同，∴5α=α+2k π(k∈Z ),∴α=2πk (k∈Z ). 又∵α∈［0,2π）,令k=0，1，2，3.得α=0，2π，π，π23.即为所求值. 温馨提示求与α终边相同的角，一般先将这样的角表示为2k π+α(k∈Z )的形式，再由题目已知条件来求解.类题演练3下列诸命题中，假命题是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.一度的角是周角的3601,一弧度的角是周角的21 C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度D.不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关解析：根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，其他A 、B 、C 三项均为真命题. 答案：D变式提升3在半径不等的圆中，1弧度的圆心角所对的（）A.弦长相等B.弧长相等 C.弦长等于所在圆的半径 D.弧长等于所在圆的半径解析：由弧度的意义可知选D.答案：D。

高中数学第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角导学案新人教A版必修420171111396

1.1.1 任意角1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.1.角(1)定义：平面内一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的，开始位置的射线叫做角的，终止位置的射线叫做角的.如图所示.(字母前面要写“∠”)，其中中间字母表示角的顶点，如∠AOB，∠DEF，….(1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等；(3)角的范围由0°～360°推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算；(4)画图表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.【做一做1】将射线OM绕端点O按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A.120°B.－120°C.60°D.240°2.象限角使角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与重合.如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.【做一做2】－30°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角3.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)终边相同角的集合：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.理解集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}要注意以下几点：(1)式中角α为任意角；(2)k∈Z这一条件必不可少；(3)k·360°与α之间是“＋”，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，即与－30°角终边相同；(4)当α与β的终边相同时，α－β＝k·360°(k∈Z).反之亦然.【做一做3－1】与95°角终边相同的角是( )A.－5°B.85°C.395°D.－265°【做一做3－2】与210°角的终边相同的角连同210°角在内组成的角的集合是________.答案：1．(1)端点顶点始边终边(2)逆顺旋转【做一做1】 A2．原点x终边象限角坐标轴【做一做2】 D3．(2)α＋k·360°【做一做3－1】 D【做一做3－2】 {β|β＝210°＋k·360°，k∈Z}1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示剖析：若α，β的终边相同，则它们的关系为：将角α终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得β，所以α，β的数量关系为β＝k·360°＋α(k∈Z)，即α，β的大小相差360°的整数k倍，所以α与β不一定相等.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.3.锐角、0°～90°的角、小于90°的角、第一象限角的区别剖析：(1).(2)图表示，如图所示.由(1)(2)可知锐角是0°～90°的角，是小于90°的角，是第一象限角；0°～90°的角是小于90°的角，不一定是第一象限角；小于90°的角不一定是第一角限角，第一象限角不一定是小于90°的角、锐角、0°～90°的角.例如390°是第一象限角，但390°不是小于90°的角、锐角或0°～90°的角.题型一在坐标系中画出任意角【例1】在坐标系中画出下列各角：(1)210°；(2)－230°.分析：先确定旋转的方向，再确定旋转量.反思：在坐标系中画出任意角α：(1)当α＞0°时，将x轴的非负半轴绕原点按逆时针方向旋转α；(2)当α＜0°时，将x轴的非负半轴绕原点按顺时针方向旋转|α|；(3)当α＝0°时，将x轴的非负半轴绕原点不作任何旋转.题型二判断象限角【例2】在0°～360°之间，求出一个与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是哪个象限的角.(1)908°28′；(2)－734°.反思：判断角α的终边所在位置的步骤是：(1)当0°≤α＜360°时，依据下表来判断.(2)当αβ＜360°)，转化为判断β终边所在的位置.题型三终边相同的角的表示【例3】若角α的终边在函数y＝－x的图象上，试写出角α的集合.分析：(思路一)函数y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0°～360°范围内找出满足条件的角，进一步写出满足条件的所有角，并注意化简.(思路二)结合图形，α与135°相差180°的整数倍，由此写出集合.反思：写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180°的整数倍.答案：【例1】解：在坐标系中画出各角如图所示．【例2】解：(1)908°28′＝188°28′＋2×360°，则188°28′即为所求角，因为188°28′是第三象限角，故908°28′也是第三象限角；(2)－734°＝346°－3×360°，则346°即为所求角，因为346°是第四象限角，故－734°也是第四象限角．【例3】解法一：由于y＝－x的图象是第二、四象限的平分线，故在0°～360°范围内所对应的两个角分别为135°及315°，从而角α的集合为S＝{α|α＝k·360°＋135°或α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°或α＝(2k＋1)·180°＋135°，R∈Z}，∴S＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．解法二：如图所示．∵角α的终边在函数y＝－x的图象上，∴角α的集合为S＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．1．－215°是( )A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2．在－360°～720°之间，与－367°角终边相同的角是.3．若角α的终边在函数y＝x的图象上，则角α组成的集合为S＝________.4．在坐标系中画出下列各角：(1)－180°；(2)1 070°.5．已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.答案：1．B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．－7°，353°，713°与－367°角终边相同的角可表示为α＝k·360°－367°，k∈Z.当k＝1,2,3时，α＝－7°，353°，713°，这三个角都是符合条件的角．3．{α|α＝k ·180°＋45°，k ∈Z }4．解：在坐标系中画出各角如图所示，5．解：(1)∵－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴β＝250°，即α＝250°－6×360°.又250°是第三象限角，∴α是第三象限角．(2)θ＝250°＋k ·360°(k ∈Z )．∵－720°≤θ＜0°，∴－720°≤250°＋k ·360°＜0°，解得9736-≤k ＜2536-，∴k ＝－1或k ＝－2.∴θ＝250°－360°＝－110°，或θ＝250°－2×360°＝－470°.。

高中数学三角函数任意角和蝗制蝗制学案

1.1.2 弧度制学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)[自主预习·探新知]1．度量角的两种单位制 (1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360. (2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算思考：比值l r与所取的圆的半径大小是否有关？[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则 (1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.[基础自测]1．思考辨析(1)1弧度的角是周角的1360.( )(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．( ) (3)1弧度的角大于1度的角．( )[解析] (1)错误，1弧度的角是周角的12π.(2)(3)都正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252° (2)7π12 [(1)7π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad ＝7π12rad.]3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．π3 [由已知得S 扇＝12×π6×22＝π3.] [合作探究·攻重难]②将－5π12rad 化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.【导学号：84352012】(1)①5π8rad ②－75° [(1)①因为1°＝π180rad ，所以112°30′＝π180×112.5 rad＝5π8rad.②因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，所以－5π12rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.] (2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故α＜β＜γ＜θ＝φ.[规律方法] 角度制与弧度制互化的关键与方法关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数；角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. [跟踪训练]1．(1)将－157°30′化成弧度为________． (2)将－11π5化为度是________．(1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78πrad.(2)－11π5＝－11π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) 25π，125π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )．当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.](1)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z (2)用弧度表示终边落在如图117所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图117[思路探究] (1)判断角α的终边位置→用弧度制表示角α的集合(2)在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角→加k πk ∈Z 表示角θ的集合(1)D [(1)因为角α的终边经过点(a ，a )(a ≠0)，所以角α的终边落在直线y ＝x 上，所以角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .] (2)因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .[规律方法] 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示． (3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用. [跟踪训练]3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C [A ，B 中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图118阴影部分(不包括边界)内的角的集合．图118[解] 30°＝π6，150°＝5π6.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪π6＋k π＜β＜5π6＋k π，k ∈Z .1．用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．(1)如图119，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．图119(2)已知扇形OAB 的周长是60 cm ，面积是20 cm 2，求扇形OAB 的圆心角的弧度数． [思路探究] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD 的弧度数． (2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．(1)2－π2 [(1)设AB ＝1，∠EAD ＝α，∵S 扇形ADE ＝S 阴影BCD ，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.](2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝60，12lr ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15＋205，l ＝4015＋205或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15－205，l ＝4015－205，∴扇形的圆心角的弧度数为lr＝43－3205或43＋3205. 母题探究：1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②由①得l ＝10－2r ，代入②得r 2－5r ＋4＝0，解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm 2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB .[解] 设弧长为l ，半径为r ，由已知l ＋2r ＝60，所以l ＝60－2r ，|α|＝l r ＝60－2rr，从而S ＝12|α|r 2＝12·60－2r r ·r 2＝－r 2＋30r ＝－(r －15)2＋225，当r ＝15时，S 取最大值为225，这时圆心角α＝l r ＝60－2rr＝2，可得弧长AB ＝αr ＝2×15＝30.[规律方法] 弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．[当堂达标·固双基]1．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°C [对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故选C.]2．29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.23π D.32π B [由弧度数公式α＝l r ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.]4．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. 5π6 [－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.] 5．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解] 因为r ＝π，α＝120×π180＝2π3，所以l ＝αr ＝2π23 cm ，S ＝12lr ＝π33cm 2.。

高中数学第一章三角函数1.3蝗制学案北师大版必修

§3 弧度制1．了解角的另外一种度量方法——弧度制．2.能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算．(重点)3.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式．(难点)[基础·初探]教材整理弧度制阅读教材P 9～P 11，完成下列问题． 1．弧度制的定义在单位圆中，长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角．它的单位符号是rad ，读作弧度．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制．2．角度制与弧度制的互化 (1)弧度数①正角的弧度数是一个正数； ②负角的弧度数是一个负数； ③零角的弧度数是0；④弧度数与十进制实数间存在一一对应关系． (2)弧度数的计算 |α|＝lr.如图1－3－1：图1－3－1(3)角度制与弧度制的换算图1－3－2(4)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系已知r 为扇形所在圆的半径，n 为圆心角的度数，α为圆心角的弧度数.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位．( ) (2)1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π.( )(3)根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．( )(4)不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关．( ) 【解析】 (1)正确． (2)正确.1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π. (3)正确．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度．(4)错误．根据角度制与弧度制的定义，无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，而是与弧长和半径的比值有关．【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型](1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.【精彩点拨】本题主要考查角度与弧度的换算．直接套用角度与弧度的换算公式，即度数×π180＝弧度数，弧度数×180°π＝度数．【自主解答】 (1)20°＝20π180＝π9.(2)－15°＝－15180π＝－π12.(3)712π＝712×180°＝105°. (4)－115π＝－115×180°＝－396°.角度制与弧度制互化的策略1．原则牢记180°＝π rad.充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝180°π进行换算．2．方法设一个角的弧度数为α，角度数为n .则α rad ＝α·180°π；n °＝n ·π180 rad.3．注意事项(1)将角度化为弧度，当角度中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度便可．(2)以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式，如无特殊要求，不必把π写成小数．[再练一题]1．将112°30′化为弧度，将－512π化为度.【导学号：66470003】【解】 112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝5π8rad ，又1 rad ＝180°π，∴－512π rad＝－512π×180°π＝－75°.象限角；(2)在0°～720°范围内，找出与角2π5终边相同的角．【精彩点拨】 (1)把角度换算为弧度，表示成2k π＋α(k ∈Z )的形式即可求解； (2)把弧度换算为角度，写出与其终边相同的角，调整k 使待求角在[0°，720°)内．【自主解答】 (1)－1 500°＝－1 500×π180＝－25π3＝－10π＋5π3.∵5π3是第四象限角，∴－1 500°是第四象限角． (2)∵2π5＝25×180°＝72°，∴终边与角2π5相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )，当k ＝0时，θ＝72°；当k ＝1时，θ＝432°，∴在0°～720°范围内，与2π5角终边相同的角为72°，432°.[再练一题]2．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．【解】 (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝35×180°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k ·360°<0°，得k ＝－2，或k ＝－1.故在－720°～0°范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°<0°，得k ＝－1，或k ＝0.故在－720°～0°范围内，与β2终边相同的角是－420°.[探究共研型]探究1 【提示】 |α|＝lr.探究2 扇形的周长如何计算？【提示】扇形的周长等于相应的弧长与2个半径之和．探究3 扇形的面积和相应的弧长存在怎样的关系？【提示】 S ＝12lr .如图1－3－3，扇形AOB 的面积为4，周长为10，求扇形的圆心角α(0<α<2π)的弧度数．图1－3－3【精彩点拨】【自主解答】设长为l ，扇形半径为r ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，12lr ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝8.(舍)故α＝24＝12(rad)，即扇形的圆心角为12rad.涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等计算，关键是先分析题目，已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．[再练一题]3.(1)已知扇形的半径为1 cm ，圆心角为30°，求扇形的弧长和面积； (2)已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．【解】 (1)∵α＝30°＝π6，∴l ＝|α|r ＝π6×1＝π6(cm)，S ＝12|α|r 2＝12×π6×12＝π12(cm 2)，故扇形的弧长为π6 cm ，面积为π12cm 2.(2)设扇形的弧长为l ，所在圆的半径为r ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝6，12lr ＝2，消去l 并整理得，r 2－3r ＋2＝0，解得r ＝1或r ＝2.当r ＝1时，l ＝4，圆心角α＝l r ＝41＝4；当r ＝2时，l ＝2，圆心角α＝l r ＝22＝1.故扇形的圆心角为1弧度或4弧度．[构建·体系]1．下列说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度【解析】根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 均正确，D 错误．【答案】 D2．已知α＝－2 ，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解析】 ∵1 rad≈57.30°， ∴－2 rad≈－114.60°. 故α的终边在第三象限．【答案】 C3．－2312π rad 化为角度应为________.【导学号：66470004】【解析】－2312π＝－2312×180°＝－345°.【答案】－345°4．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________倍．【解析】由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .【答案】 345．已知集合A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，求A ∩B . 【解】 ∵A ＝{α|2k π<α<π＋2k π，k ∈Z }，令k ＝1，有2π<α<3π，而2π>4；令k ＝0，有0<α<π；令k ＝－1，有－2π<α<－π，而－2π<－4<－π，故A ∩B ＝{α|－4≤a <－π或0<α<π}．我还有这些不足：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

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弧度制和弧度制与角度制的换算
（自学自测）
【学习目标】1 了解角的另一种度量方法——弧度制；
2熟练进行角度制和弧度制的换算； 3掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式。

【学习重点】角度制和弧度制的换算。

【学习难点】弧长公式和面积公式的应用。

【自主学习】
1、把圆周分成360份，其中1份所对的圆心角是度，这种用度作单位来度量角的制度叫
2、我们规定：长度等于的圆弧所对的叫做1弧度的角，记作以为单位来度量角的制度叫做弧度制。

（1）.在半径为1的圆中，弧长为2的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为1.8的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为π 的圆弧所对的圆心角为弧度；
圆的周长为弧长为π2的圆弧所对的圆心角为弧度，度？
（2）.在半径为r 的圆中，弧长为r 2的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为r 8.1的圆弧对的圆心角为弧度；弧长为πr 的圆弧所对的圆心角为弧度；
圆的周长为，弧长为r π2的圆弧所对的圆心角为弧度，度？ 3、弧度数公式α= ; 弧长公式: l = ；
扇形面积公式：s = = 。

【结论】（1）在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对的圆心角为α，则（2）=0360 rad =0
180 rad
所以：01= rad =rad 1 =0
n rad
3、常见角度和弧度的转化
【自练自提】
1、把下列各角的度化为弧度。

015-= ， 0210= ， 0300= ， 0690= 。

2、把下列各角的弧度数化为度数。

34π= ， 45π-= ， 611π= ，12
5π
-= 。

23π= ， 8
π
= 。

3、已知半径为3cm ，圆心角为0
60的扇形的弧长为，面积为。

3、扇形面积为4，圆心角弧度数为2，则扇形半径为，弧长为，周长
为。

弧度制和弧度制与角度制的换算（自研自悟）
例1 把下列各角化为0到π2的角加上πk 2（z k ∈）的形式。

并指出他们是哪个象限的角。

（1）6
23π （2）718π- （3）0
225-
2、已知扇形的圆心角为3，周长为20，求扇形的面积
3、（选作）弧长等于圆内接正三角形的边长，其所对的圆心角的弧度数为。

【自练自提】
1、角12
29π
-
的终边所在的象限是。

2、与0
60角终边相同的角的集合可以表示为（） A .⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+
⋅=Z k k ,33600π
αα B .{}
Z k k ∈+=,6020
παα
C .{}
Z k k ∈+⋅=,60360200αα D .⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k ,32π
παα
3、在半径不相等的两个圆中，1rad 的圆心角所对的（）
A .弦长相等
B .弧长相等
C .弦长分别等于所在圆的半径
D .弧长分别等于所在圆的半径
4、若圆的半径为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则（）
A .扇形面积不变
B .扇形的圆心角不变
C .扇形的面积增大到原来的2倍
D .扇形的圆心角增大到原来的2倍。