2.2.4_平面与平面平行的性质定理(2)
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必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是α
上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，
CF=4，AF=5，求EG.
B C Da
α E FG
A
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
1.如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在 α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B 和C、D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm， PC＝3 cm，求PD的长． (3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
∴A′B′C′D′是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形， M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面 PAD.
证明： 如图，取CD的中点E，连接NE、ME， ∵M、N分别是AB、PC的中点， ∴NE∥PD，ME∥AD ∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD 又NE∩ME＝E， ∴平面MNE∥平面PAD， 又MN⊂平面MNE， ∴MN∥平面PAD.
简述：面面平行→线面平行
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明： ∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
几个重要结论 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，交线具有什么位置关系？
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
符号语言:α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，a∥b
复习1：平面和平面的位置关系
1、平面和平面有哪几种位置关系？
1）两平面平行
没有公共点
2）两平面相交
有一条公共直线
l
//
l
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
复习2：面面平行的判定定理
直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平 面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行， 线面平行) 具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相 平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
D1
E
(2)求证：面AMN∥面EFBD. N
A1
M
C1
F B1
D
C
A
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(3)由(1)得 AC∥BD， ∴△PAC∽△PBD.∴PPAB＝PPDC， 即ABP－APA＝PPDC. ∴5－4 4＝P3D，∴PD＝34. ∴CD＝PC＋PD＝3＋34＝145(cm)．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上， 点M在B1C上，且CM＝DN， 求证：MN∥平面AA1B1B.
证明： ∵BB′∥CC′， 又∵CC′⊂平面CC′D′D，BB′⊄平面CC′D′D， ∴BB′∥平面CC′D′D. 又ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∵CD⊂平面CC′D′D， ∴AB∥平面CC′D′D， ∵AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线， ∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D. 又α∩平面ABB′A′＝A′B′，α∩平面CC′D′D＝C′D′， ∴A′B′∥C′D′. 同理，B′C′∥A′D′，
反思~领悟：
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这 两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （线不在多，重在相交） 定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必 须相交,且两条直线都平行于另一个平面。 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析： (1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又 α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD， ∴APAB＝CPDC. ∴45＝C3D. ∴CD＝145.∴PD＝PC＋CD＝247(cm)．
∴ 四边形ABDC是平行四边形.
∴ AB=CD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例2. 如图所示，矩形ABCD的四个顶点A、B、C、 D均在四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、 BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形A′B′C′D′ 是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文字 语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过 程。
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，
D
D∈α， B∈β ,C∈β，求证:AB=CDα A
证明:
C
∵AB//CD, ∴ 过AB,CD可作平面γ,
βB
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
∵ α//β,所以 BD//AC.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．下列命题正确的是( D )
A．夹在两个平行平面间的线段长相等 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．一条直线上有两点到一个平面的距离相
等，则这条直线与这个平面平行 D．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行 解析：对于A，必须是平行线段才相等，所以A错； B错；对于C，直线与平面可能平行，也可能相交； 对于D，过一点可作无数条直线与已知平面平行． 答案： D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案： 平行或相交
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
αA
C
βB
必修2 第二章 点、wk.baidu.com线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，
过点B的所有直线中( ) D
A．不一定存在与a平行的直线 B．存在无数条与a平行的直线 C．只有两条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 解析：由直线a和点B可以确定一个平面 γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满 足条件的直线．故选D. 答案： D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
证明： 如图，作 MP∥BB1， 交 BC 于点 P，连接 NP， ∵MP∥BB1，∴MCMB1＝CPBP， ∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN， ∵MCMB1＝DNNB，∴CPBP＝DNNB， ∴NP∥CD∥AB， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又∵MN⊂面 MNP. ∴MN∥平面 AA1B1B.
定理的应用
例3、 如图：a∥α，A是α另一侧的点，B、C、D 是α
上的点 ，线段AB、AC、AD交于E、F、G点，若BD=4，
CF=4，AF=5，求EG.
B C Da
α E FG
A
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
1.如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在 α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B 和C、D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm， PC＝3 cm，求PD的长． (3)若点P在α与β之间，试在(2)的条件下求CD的长．
∴A′B′C′D′是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例3.在四棱锥P－ABCD中，ABCD是平行四边形， M、N分别是AB、PC的中点．求证：MN∥平面 PAD.
证明： 如图，取CD的中点E，连接NE、ME， ∵M、N分别是AB、PC的中点， ∴NE∥PD，ME∥AD ∴NE∥平面PAD，ME∥平面PAD 又NE∩ME＝E， ∴平面MNE∥平面PAD， 又MN⊂平面MNE， ∴MN∥平面PAD.
简述：面面平行→线面平行
如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ ＝a,β∩γ=b，求证：a∥b 证明： ∵α∩γ＝a,β∩γ=b ∴aα，bβ ∵α∥β ∴a，b没有公共点， 又因为a，b同在平面γ内， 所以，a∥b
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
几个重要结论 1、若两个平面互相平行，则其中一个平面 中的直线必平行于另一个平面； 2、平行于同一平面的两平面平行； 3、过平面外一点有且只有一个平面与这个 平面平行； 4、夹在两平行平面间的平行线段相等。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
如果两个平行平面同时和第三个 平面相交，交线具有什么位置关系？
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
平面与平面平行的性质定理
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行。
符号语言:α∥β，α∩γ＝a,β∩γ=b，a∥b
复习1：平面和平面的位置关系
1、平面和平面有哪几种位置关系？
1）两平面平行
没有公共点
2）两平面相交
有一条公共直线
l
//
l
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
复习2：面面平行的判定定理
直线和平面平行的判定定理是:平面外一条直线与此平 面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.(线线平行， 线面平行) 具备的条件是:一线在平面外,一线在平面内;两直线互相 平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
3、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
D1
E
(2)求证：面AMN∥面EFBD. N
A1
M
C1
F B1
D
C
A
B
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
(3)由(1)得 AC∥BD， ∴△PAC∽△PBD.∴PPAB＝PPDC， 即ABP－APA＝PPDC. ∴5－4 4＝P3D，∴PD＝34. ∴CD＝PC＋PD＝3＋34＝145(cm)．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
巩固练习:
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上， 点M在B1C上，且CM＝DN， 求证：MN∥平面AA1B1B.
证明： ∵BB′∥CC′， 又∵CC′⊂平面CC′D′D，BB′⊄平面CC′D′D， ∴BB′∥平面CC′D′D. 又ABCD是矩形，∴AB∥CD， ∵CD⊂平面CC′D′D， ∴AB∥平面CC′D′D， ∵AB，BB′是平面ABB′A′内的两条相交直线， ∴平面ABB′A′∥平面CC′D′D. 又α∩平面ABB′A′＝A′B′，α∩平面CC′D′D＝C′D′， ∴A′B′∥C′D′. 同理，B′C′∥A′D′，
反思~领悟：
面面平行判定定理: 线面平行 面面平行
一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这 两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内
的两条直线，那么这两个平面平行
面面平行性质定理: 面面平行 线面平行
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行。
平面和平面平行的判定定理是：一个平面内有两条相 交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 （线不在多，重在相交） 定理中的线与线、线与面应具备的条件是:两条直线必 须相交,且两条直线都平行于另一个平面。 线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则 过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
解析： (1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又 α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD， ∴APAB＝CPDC. ∴45＝C3D. ∴CD＝145.∴PD＝PC＋CD＝247(cm)．
∴ 四边形ABDC是平行四边形.
∴ AB=CD.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例2. 如图所示，矩形ABCD的四个顶点A、B、C、 D均在四边形A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′、 BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形A′B′C′D′ 是平行四边形．
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
基本步骤:首先是画出图形,再结合图形将文字 语言转化为符号语言,最后分析并书写出证明过 程。
已知：如图，AB∥CD， A∈α ，
D
D∈α， B∈β ,C∈β，求证:AB=CDα A
证明:
C
∵AB//CD, ∴ 过AB,CD可作平面γ,
βB
且平面γ与平面α和β分别相交于AC和BD.
∵ α//β,所以 BD//AC.
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2．下列命题正确的是( D )
A．夹在两个平行平面间的线段长相等 B．平行于同一平面的两条直线平行 C．一条直线上有两点到一个平面的距离相
等，则这条直线与这个平面平行 D．过平面外一点有无数条直线与已知平面平行 解析：对于A，必须是平行线段才相等，所以A错； B错；对于C，直线与平面可能平行，也可能相交； 对于D，过一点可作无数条直线与已知平面平行． 答案： D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
3．夹在两个平面间的三条线段，它们平行且 相等，则两平面的位置关系为________． 解析： 平行或相交，如图
答案： 平行或相交
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
定理的应用
例1、求证：夹在两个平行平面间的两条平行 线段相等
D
αA
C
βB
必修2 第二章 点、wk.baidu.com线、平面之间的位置关系
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，
过点B的所有直线中( ) D
A．不一定存在与a平行的直线 B．存在无数条与a平行的直线 C．只有两条与a平行的直线 D．有且只有一条与a平行的直线 解析：由直线a和点B可以确定一个平面 γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满 足条件的直线．故选D. 答案： D
必修2 第二章 点、直线、平面之间的位置关系
证明： 如图，作 MP∥BB1， 交 BC 于点 P，连接 NP， ∵MP∥BB1，∴MCMB1＝CPBP， ∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN， ∵MCMB1＝DNNB，∴CPBP＝DNNB， ∴NP∥CD∥AB， ∴平面 MNP∥平面 AA1B1B. 又∵MN⊂面 MNP. ∴MN∥平面 AA1B1B.