八年级上册第13章实数第1节平方根第3课时平方根
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xy
分析:当x+y=3时,有
≤
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
,从中发现分母为2,分子为x、y的和,
xy
2 2
xy
再验证其它的等式:x+y=2时,则 ≤ =1. a 当x+y=6时, m n≤ mn 与已知相吻合, mn 2 2 故有结论m>0,n>0,且 m+n=a时,• 则 ≤ ,即 ≤ 9 ab
xy
b,则 ∴x+y=9 ≤ a 时 ( )2≥0
例3:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出 此矩形的长与宽分别是多少米? 解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400
解得x=± 4400 =±66.33
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米, 即此矩形的长为198.• 99米,宽为66.33米.
教学过程设计 活动一.创设情境,导入新课 同学们,你知道“神舟七号”载人飞船吗？“神舟七号” 载人飞船于2008• 年9月25日21时10分,在中国酒泉卫星发射中心 发射升空, 9月27日下午16时30分航天员翟志刚首次进行出舱 活动, 成为中国太空行走第一人.当物体达到11.2千米/秒的运 动速度时能摆脱地球引力的束缚,• 在摆脱地球束缚的过程中,在 地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,• 脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳 引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒, 那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线 飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/• 秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有 关呢?又是如何计算呢?
(1)
1.44
(2)-
81
(3)±
9 100
解:(1)因为1.22=1.44,所以 1.44 =1.2,1.44的平方根为±1.2, 即± 1.44 =±1.2. (2)因为92=81,所以- 81 =-9,81的算术平方根的相反数,则 该数的平方根同样可确定.平方根为±9,即± 81 =±9.
3 (3)因为( 10
)2=
9 100
9 ,所以± 100
=±
3 10
,它正是的平方根.
故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定 了,• 因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方 根.• 同样如果知道某数的
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度 v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有 v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米 2/秒2.v 2≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 2 因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根. 那么v1=± 6.272 107 ≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒, v2=± 1.2544 108 ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒 但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑 速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题 中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
活动五.知识内化,拓展升华. 对于正数x和y,有下列命题:(1)若x+y=2,则 xy ≤1 (2)x+y=3,则 xy ≤
3 (3)若x+y=6,则 xy ≤3 2
根据以上三个命题所提供的规律猜想:(1)若x+y=9,则 xy ≤_____. ab (2)若对于任意正数a、b,总有 ≤_____.
第13章实数第1节平方根 第3课时算术平方根
教学目标 知识技能:掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之 间的联系和区别.能用符号正确地表示一个数的平方根，理 解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.培养学生的探究 能力和归纳问题的能力． 数学思考:学会用探究类比的方法学习掌握新的知识. 解决问题:采用类比平方的求法，定义出平方根的概念，同 时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有 几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ 情感态度:引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动， 培养他们的合作与钻研精神.了解无理数的发现过程，鼓励 学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情. 教学重难点 教学重点:平方根的概念和求数的平方根. 教学难点:平方根和算术平方根的联系与区别.
活动二.探索归纳,认识概念. 1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢? 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和 -4叫做16的平方根,记为4= 16 ,则-4=, 把4和-4称为16的平方 16 根. 2.定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平 方根或二次方根,• 即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=± a .如3和 -3是9的平方根,记为±3是9的平方根,• 表示为±3=± .9 把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.而平方运算与开 平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根, 例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当 x2=49时,x=±7;当x2=
解(略) 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0) 的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0) 的那部分,• 而负的那个值正好是算术平方根的相反数. 归纳得出:①正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. ②0的平方根是0. ③负数没有平方根.
活动四.知识应用,例题解析. 例2:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.
4 4 2 ,则± 为 的平方根,1，16，36， 25 25 5
4 , 25
49，4/25的平方根依次可记为± 1 ,± 16 ,± 36 ,± 49 ,± 它们的对应关系如课本图所示.
活动三.运用知识,寻找规律. 例1.求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)
49 36
(3)81
(4)0
(5)-100
分析:当x+y=3时,有
≤
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 2
,从中发现分母为2,分子为x、y的和,
xy
2 2
xy
再验证其它的等式:x+y=2时,则 ≤ =1. a 当x+y=6时, m n≤ mn 与已知相吻合, mn 2 2 故有结论m>0,n>0,且 m+n=a时,• 则 ≤ ,即 ≤ 9 ab
xy
b,则 ∴x+y=9 ≤ a 时 ( )2≥0
例3:某矩形的面积为13200平方米,若其长是宽的3倍,试求出 此矩形的长与宽分别是多少米? 解:设宽为x米,则长为3x米,其面积为3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400
解得x=± 4400 =±66.33
但x为矩形的边长应大于0,故x=66.33米,3x=198.99米, 即此矩形的长为198.• 99米,宽为66.33米.
教学过程设计 活动一.创设情境,导入新课 同学们,你知道“神舟七号”载人飞船吗？“神舟七号” 载人飞船于2008• 年9月25日21时10分,在中国酒泉卫星发射中心 发射升空, 9月27日下午16时30分航天员翟志刚首次进行出舱 活动, 成为中国太空行走第一人.当物体达到11.2千米/秒的运 动速度时能摆脱地球引力的束缚,• 在摆脱地球束缚的过程中,在 地球引力的作用下它并不是直线飞离地球,而是按抛物线飞行,• 脱离地球引力后在太阳引力作用下绕太阳运行,若要摆脱太阳 引力的束缚飞出太阳系,物体的运动速度必须达到16.7千米/秒, 那时将按双曲线轨迹飞离地球,而相对太阳来说它将沿抛物线 飞离太阳.经过计算,在地面上,物体的运动速度达到7.9千米/• 秒时,该速度被称为第一宇宙速度.第一宇宙速度与哪些因素有 关呢?又是如何计算呢?
(1)
1.44
(2)-
81
(3)±
9 100
解:(1)因为1.22=1.44,所以 1.44 =1.2,1.44的平方根为±1.2, 即± 1.44 =±1.2. (2)因为92=81,所以- 81 =-9,81的算术平方根的相反数,则 该数的平方根同样可确定.平方根为±9,即± 81 =±9.
3 (3)因为( 10
)2=
9 100
9 ,所以± 100
=±
3 10
,它正是的平方根.
故求正数的平方根时,只要知道它的算术平方根,就能确定 了,• 因为其算术平方根和算术平方根的相反数即为该数的平方 根.• 同样如果知道某数的
面对问题(2)中的“宇宙速度”,我们知道第一宇宙速度 v12=gR,其中g=9.8米/秒2,R≈6.4×106米,v22=2gR,则有 v12≈9.8×6.4×106米2/秒2≈62.72×106米2/秒2=6.27×107米 2/秒2.v 2≈125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 2 因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根. 那么v1=± 6.272 107 ≈±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒, v2=± 1.2544 108 ≈±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒 但在实际问题中,速度是一个比0大的数,数学问题中不考虑 速度的方向,故负值不合题意,应舍去,实际上,在某些具体问题 中,要根据得出的答案是否有意义而取值.
活动五.知识内化,拓展升华. 对于正数x和y,有下列命题:(1)若x+y=2,则 xy ≤1 (2)x+y=3,则 xy ≤
3 (3)若x+y=6,则 xy ≤3 2
根据以上三个命题所提供的规律猜想:(1)若x+y=9,则 xy ≤_____. ab (2)若对于任意正数a、b,总有 ≤_____.
第13章实数第1节平方根 第3课时算术平方根
教学目标 知识技能:掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之 间的联系和区别.能用符号正确地表示一个数的平方根，理 解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系.培养学生的探究 能力和归纳问题的能力． 数学思考:学会用探究类比的方法学习掌握新的知识. 解决问题:采用类比平方的求法，定义出平方根的概念，同 时从这个过程可知一个什么样的数才具有平方根，这种数有 几个平方根？并比较这两个平方根之间有什么关系？ 情感态度:引导学生充分进行交流，讨论与探索等教学活动， 培养他们的合作与钻研精神.了解无理数的发现过程，鼓励 学生大胆质疑，培养学生学习数学的热情. 教学重难点 教学重点:平方根的概念和求数的平方根. 教学难点:平方根和算术平方根的联系与区别.
活动二.探索归纳,认识概念. 1.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢? 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和 -4叫做16的平方根,记为4= 16 ,则-4=, 把4和-4称为16的平方 16 根. 2.定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平 方根或二次方根,• 即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=± a .如3和 -3是9的平方根,记为±3是9的平方根,• 表示为±3=± .9 把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方.而平方运算与开 平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根, 例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当 x2=49时,x=±7;当x2=
解(略) 将这些数的平方根与它们的算术平方根进行比较,正数(或0) 的算术平方根只是它们的平方根中的一部分,是正数(或0) 的那部分,• 而负的那个值正好是算术平方根的相反数. 归纳得出:①正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数. ②0的平方根是0. ③负数没有平方根.
活动四.知识应用,例题解析. 例2:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.
4 4 2 ,则± 为 的平方根,1，16，36， 25 25 5
4 , 25
49，4/25的平方根依次可记为± 1 ,± 16 ,± 36 ,± 49 ,± 它们的对应关系如课本图所示.
活动三.运用知识,寻找规律. 例1.求下列各数的平方根. (1)0.49 (2)
49 36
(3)81
(4)0
(5)-100