专题13 几何中的最值与定值问题 -突破中考数学压轴题学霸秘笈大揭秘(学生版)

专题13 几何中的最值与定值问题
【类型综述】
线段和差的最值问题，常见的有两类：
第一类问题是“两点之间，线段最短”．
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”．
【方法揭秘】
两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
如图4，正方形ABCD的边长为4，AE平分∠BAC交BC于E．点P在AE上，点Q在AB上，那么△BPQ 周长的最小值是多少呢？
如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE是河流，但是点Q不确定啊．
第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图5，设点B关于“河流AE”的对称点为F，那么此刻PF＋PQ 的最小值是线段FQ．
第二步，应用“垂线段最短”．如图6，在点Q运动过程中，FQ的最小值是垂线段FH．
这样，因为点B和河流是确定的，所以点F是确定的，于是垂线段FH也是确定的．
图4 图5 图6
【典例分析】
例1 如图1，二次函数y ＝a (x 2－2mx －3m 2)（其中a 、m 是常数，且a ＞0，m ＞0）的图像与x 轴分别交于A 、B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴交于点C (0,－3)，点D 在二次函数的图像上，CD //AB ，联结AD ．过点A 作射线AE 交二次函数的图像于点E ，AB 平分∠DAE ． （1）用含m 的式子表示a ； （2）求证：AD AE
为定值；
（3）设该二次函数的图像的顶点为F ．探索：在x 轴的负半轴上是否存在点G ，联结GF ，以线段GF 、AD 、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G 即可，并用含m 的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．
图1
例2如图1，已知抛物线的方程C 1：
1
(2)()
y x x m m
=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．
（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．
图1
例3 如图1，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1,0)、B (3, 0)、C (0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P AC 的周长最小时，求点P 的坐标；
图1
例4如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？
图1
例5如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－2ax －3a （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），经过点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 与y 轴负半轴交于点C ，与抛物线的另一个交点为D ，且CD ＝4AC ． （1）直接写出点A 的坐标，并求直线l 的函数表达式（其中k 、b 用含a 的式子表示）； （2）点E 是直线l 上方的抛物线上的动点，若△ACE 的面积的最大值为 5
4 ，求a 的值；
（3）设P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q 在抛物线上，以点A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．
图1 备用图
【变式训练】
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为（）
A．3B．1+C．1+3D．1+
2．如图，已知，以为圆心，长为半径作，是上一个动点，直线交轴于点，则面积的最大值是（）
A．B．C．D．
3．如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝3，P 是边CD 上一点，将△ADP沿直线AP对折，得到△APQ．当射线BQ交线段CD于点F时，DF的最大值是（）
A．3B．2C．47
-
-D．45
4．如图，由两个长为，宽为的全等矩形叠合而得到四边形，则四边形面积的最大值是（）
A．15B．16C．19D．20
5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于D，点E，F分别在AD，AB是，则BE＋EF的最小值是
A．4B．4.8C．5D．5.4
6．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠A=135°，点P是菱形内部一点，且满足，则PC+PD 的最小值为（）
A．B．C．6 D．
7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，D，E是AB和BC上的动点，连接CD，DE则CD+DE的最小值为（）
A．8B．C．D．
二、解答题
8．问题发现：
（）如图①，中，，，，点是边上任意一点，则的最小值为__________．（）如图②，矩形中，，，点、点分别在、上，求的最小值．
（）如图③，矩形中，，，点是边上一点，且，点是边上的任意一点，把沿翻折，点的对应点为点，连接、，四边形的面积是否存在最小值，若存在，求这个最小值及此时的长度；若不存在，请说明理由．
9．问题提出：如图1，在Rt△AB C中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，则有，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．
（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是上一点，求2PA+PB的最小值．
10．已知二次函数y=x2+2bx+c（b、c为常数）．
（Ⅰ）当b=1，c=﹣3时，求二次函数在﹣2≤x≤2上的最小值；
（Ⅱ）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；
（Ⅲ）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．
11．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3．
（1）
如图1，若P 为AB 边上一点以PD ，PC 为边作平行四边形PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
（2）若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到E ，使DE=PD ，再以PE ，PC 为边作平行四边形PCQE ，请问对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值，如果不存在，请说明理由．
（3）如图2，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到E ，使AE=AP ，以PE 、PB 为边作平行四边形PBQE ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
12．（本题满分12分）
（1）【问题】如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC a =， 6AB =．当点A 位于__________时线段AC 的长取得最大值，且最大值为__________（用含a 、b 的式子表示）．
（2）【应用】点A 为线段B 除外一动点，且3BC =， 1AB =．如图2所示，分别以AB 、AC 为边， 作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD 、BE ． ①请找出图中与BE 相等的线段，并说明理由． ②直接写出线段BE 长的最大值．
（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()2,0，点B 的坐标为()5,0，点P 为线段
AB 外一动点，且2PA =， PM PB =， 90BPM ∠=︒．请直接写出线段AM 长的最大值及此时点P 的
坐标．
13．如图，已知中，，边上的高，四边形为内接矩形．
当矩形是正方形时，求正方形的边长．
设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，当为何值时有最大值，并求出最大值．14．如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．
直接写出、、的坐标；
求抛物线的对称轴和顶点坐标；
求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．15．如图，抛物线过O、A、B三点，A（4,0）B（1，-3），P为抛物线上一点，过点P的直线y=x+m与对称轴交于点Q.
（1）直线PQ与x轴所夹锐角的度数，并求出抛物线的解析式.
（2）当点P在x轴下方的抛物线上时，过点C(2,2)的直线AC与直线PQ交于点D，求： PD+DQ的最大值；
②PD.DQ的最大值.
16．问题提出
（1）如图1，点A 为线段BC 外一动点，且BC=a ，AB=b ，填空：当点A 位于 时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为 （用含a ，b 的式子表示）． 问题探究
（2）点A 为线段BC 外一动点，且BC=6，AB=3，如图2所示，分别以AB ，AC 为边，作等边三角形ABD 和等边三角形ACE ，连接CD ，BE ，找出图中与BE 相等的线段，请说明理由，并直接写出线段BE 长的最大值． 问题解决：
（3）①如图3，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），点B 的坐标为（5，0），点P 为线段AB 外一动点，且PA=2，PM=PB ，∠BPM=90°，求线段AM 长的最大值及此时点P 的坐标．
②如图4，在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=60°，BC=42，若对角线BD ⊥CD 于点D ，请直接写出对角线AC 的最大值．
17．如图14，AB 是
O 的直径，,2AC BC AB ==，连接AC ．
（1）求证：045CAB ∠=； （2）若直线l 为
O 的切线，C 是切点，在直线l 上取一点D ，使,BD AB BD =所在的直线与AC 所在的
直线相交于点E ，连接AD ．
①试探究AE 与AD 之间的数量关系，并证明你的结论； ②
EB
CD
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 18.如图，动点M 在以O 为圆心，AB 为直径的半圆弧上运动（点M 不与点A B 、及AB 的中点F 重合），连接OM .过点M 作ME AB ⊥于点E ，以BE 为边在半圆同侧作正方形BCDE ，过M 点作O 的切线交射线DC 于点N ，连接BM 、BN .
（1）探究：如左图，当M 动点在AF 上运动时； ①判断OEM MDN ∆∆是否成立？请说明理由；
②设
ME NC
k MN
+=，k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
③设MBN α∠=，α是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由； （2）拓展：如右图，当动点M 在FB 上运动时；
分别判断（1）中的三个结论是否保持不变？如有变化，请直接写出正确的结论.（均不必说明理由） 19.已知抛物线32
-+=bx x y （b 是常数）经过点)0,1(-A . （1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P(m ，t)为抛物线上的一个动点，P 关于原点的对称点为'P . ①当点'P 落在该抛物线上时，求m 的值；
②当点'P 落在第二象限内，2
'A P 取得最小值时，求m 的值.
20.如图，在平面直角坐标系中，抛物线12
++=bx ax y 交y 轴于点A ，交x 轴正半轴于点)0,4(B ，与过A 点的直线相交于另一点)2
5
,3(D ，过点D 作x DC ⊥轴，垂足为C .
11
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P 在线段OC 上（不与点O 、C 重合），过P 作x PN ⊥轴，交直线AD 于M ，交抛物线于点N ，连接CM ，求PCM ∆面积的最大值；
（3）若P 是x 轴正半轴上的一动点，设OP 的长为，是否存在，使以点N D C M 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.。