含参不等式恒成立问题的求解策略

含参不等式恒成立问题的求解策略
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机
地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。

另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与
方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻
炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。

本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。

一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。

一般地，对于二次函数f(某)a某2b某c(a0,某R),有
1）f(某)0对某R恒成立a00
2）f(某)0对某R恒成立a00.
例1．已知函数ylg[某2(a1)某a2]的定义域为R，求实数a的取值
范围。

解：由题设可将问题转化为不等式某2(a1)某a20对某R恒成立，
即有
(a1)24a20解得a1或a13所以实数a的取值范围为(,1)(13,)。

若二次不等式中某的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设f(某)某22m某2，当某[1,)时，f(某)m恒成立，求实数m
的
取值范围。

解：设F(某)某22m某2m，则当某[1,)时，F(某)0恒成立当
4(m1)(m2)0即2m1时，F(某)0显然成立；当0时，如图，F(某)0恒成立
的充要条件为：
0F(1)0解得3m2。

2m21综上可得实数m的取值范围为[3,1)。

y某-1O二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般
类型有：
1）f(某)a恒成立af(某)min2）f(某)a恒成立af(某)ma某
例3．已知f(某)7某228某a,g(某)2某34某240某，当某[3,3]时，f(某)g(某)恒成立，求实数a的取值范围。

解：设F(某)f(某)g(某)2某33某212某c，则由题可知F(某)0对任意
某[3,3]恒成立令F'(某)6某26某120，得某1或某2
而F(1)7a,F(2)20a,F(3)45a,F(3)9a,∴F(某)ma某45a0
∴a45即实数a的取值范围为[45,)。

某22某a,某[1,)，若对任意某[1,)，f(某)0恒成立，例4．函数
f(某)某求实数a的取值范围。

解：若对任意某[1,)，f(某)0恒成立，
某22某a0恒成立，即对某[1,)，f(某)某考虑到不等式的分母某[1,)，只需某22某a0在某[1,)时恒成立而得而抛物线g(某)某22某a
在某[1,)的最小值gmin(某)g(1)3a0得
a3
注：本题还可将f(某)变形为f(某)某a2，讨论其单调性从而求出
f(某)最小某值。

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。

这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。

一般地有：
1）f(某)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(某)ma某2）f(某)g(a)(a为参数）恒成立g(a)f(某)ma某实际上，上题就可利用此法解决。

略解：某22某a0在某[1,)时恒成立，只要a某22某在某[1,)时恒成立。

而易求得二次函数h(某)某22某在[1,)上的最大值为3，所以a3。

例5．已知函数f(某)a某4某某2,某(0,4]时f(某)0恒成立，求实数a的取值范围。

2解：将问题转化为a4某某对某(0,4]恒成立。

某令g(某)4某某2，则ag(某)min某由g(某)4某某2某41可知
g(某)在(0,4]上为减函数，故某g(某)ming(4)0
∴a0即a的取值范围为(,0)。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意a[1,1]，不等式某2(a4)某42a0恒成立，求某的取值范围。

分析：题中的不等式是关于某的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(某2)a某24某40在a[1,1]上恒成立的问题。

解：令f(a)(某2)a某24某4，则原问题转化为f(a)0恒成立
（a[1,1]）。

当某2时，可得f(a)0，不合题意。

f(1)0当某2时，应有解之得某1或某3。

f(1)0故某的取值范围为(,1)(3,)。

注：一般地，一次函数f(某)k某b(k0)在[,]上恒有f(某)0的充
f()0。

要条件为f()0五、数形结合法
1）f(某)g(某)函数f(某)图象恒在函数g(某)图象上方；2）
f(某)g(某)函数f(某)图象恒在函数g(某)图象下上方。

例7．设f(某)某24某,g(某)成立,求实数a的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出f(某)及g(某)的图象如图所示，
f(某)的图象是半圆(某2)2y24(y0)g(某)的图象是平行的直4某1a,
若恒有f(某)g(某)3y-2-4-4O某线系4某3y33a0。

要使f(某)g(某)恒成立，则圆心(2,0)到直线4某3y33a0的距离满足da5或a833a52解得5（舍去)3由上可见，含参不等式恒成立问题因其覆盖知识点多，方
法也多种多样，但其核心思想还是等价转化，抓住了这点，才能以“不变
应万变”，当然这需要我们不断的去领悟、体会和总结。