直线的参数方程

直线的参数方程
知识精讲：
1.直线参数方程的标准式:
(1)过点()000,P x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）.
t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,)为直线上任意一点.
(2)若12P P 、是直线上两点，所对应的参数分别为12t t 、，则122112
P P t t P P t t
==－∣，∣∣－∣. (3)若123P P P 、、是直线上的点，所对应的参数分别为123t t t 、、,则P 1P 2中点P 3的参数为1232t t t +＝
,12
032
t t P P +=∣∣. (4)若P 0为P 1P 2的中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0.
2.直线参数方程的一般式: 过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是⎩⎨⎧+=+=bt
y y at x x 00（t 为参数）.
一、参数的几何意义
323.()______.112x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（二星）直线为参数的倾斜角是
31:()1x t y t
⎧=⎪⎨=-⎪⎩变改为直线为参数呢？
答案：6
π；变式：56π
321.()(3,1)2_______.112x t M y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩（二星）直线为参数上到点距离为
的点的坐标是3()(3,1)2_______.1x t M y t
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩变式：直线为参数上到点距离为的点的坐标是
答案：(
)()
3;3
；变式：(
)()
3;3
1.（三星）已知直线l
的参数方程为112
x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin()6
π
ρθ=-．
（1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若P （x ，y ）是直线l 与圆面4sin()6
π
ρθ≤-
y +的取值范围．
备注：直线的参数方程的典型使用
解：（1）因为圆C 的极坐标方程为ρ=4sin （θ﹣
），
所以ρ2
=4ρ（
sin θ﹣cos θ），
所以圆C 的直角坐标方程为：x 2
+y 2
+2x ﹣2y=0．
（2）方法一：直接使用直线的参数方程： 设z=x+y
由圆C 的方程x 2+y 2+2x ﹣2y=0，可得（x+1）2
+（y ﹣）2
=4
所以圆C 的圆心是（﹣1，），半径是2
将代入z=x+y 得z=﹣t
又直线l 过C （﹣1，），圆C 的半径是2， 由题意有：﹣2≤t ≤2 所以﹣2≤t ≤2
即x+y 的取值范围是[﹣2，2]．
方法二：完全化为直角坐标方程来做，运算比较麻烦。

二、参数方程中的距离公式
6.（三星）(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪⎪⎩（t
为参数），椭圆C 的参数方程为cos 2sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两
点，求线段AB 的长.
备注：直线参数方程t 的几何意义的应用
解：椭圆C 的普通方程为2214y x +=，将直线l
的参数方程112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入22
14y x +=，
得2
2)
12(1)12
4t +
+=，即27160t t +=，解得10t =，2167t =-.
所以1216
||7
AB t t =-=
.
23.（三星）（2013石家庄一模）在平面直角坐标系.x 0y 中，以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为:θθρcos sin 2= (I)求曲线l 的直角坐标方程；
(II)若直线l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧===t y t x 222
22（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点
求|AB|的值. 解：(Ⅰ)依题意得：
曲线直角坐标方程为：.…………………5分
(Ⅱ)把代入整理得：
………………7分
总成立，
2
2
sin
cos ρθρθ=x y =2∴1C x y =2⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 2222
2x y =2
0422=-+t t 0>∆
，
………………10分
方法二：直线的直角坐标方程为，把代入得：
………………7分
总成立，，
7．（三星）（2015年陕西理科）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为
．
（I ）写出
的直角坐标方程；
（II ）为直线上一动点，当到圆心的距离最小时，求的直角坐标．
解：（I ）由，
从而有.
(II)设, 则
故当t=0时，|PC|取最小值，此时P 点的直角坐标为（3，0）.
（22）（2017届广州市调研理）以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个
坐标系取相等的长度单位.已知直线l 的参数方程为sin ,
(1cos x t t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩
为参数,0)ϕπ<<,
曲线C 的极坐标方程为2
cos
4sin ρθθ=.
221-=+t t 421-=t t 2
3)4(4)2(221=-⨯--=-=t t AB l x y -=2x y -=2x y =2
0452=+-x x 0>∆521=+x x 421=x x 23)445(212212=⨯-=-+=x x k AB x y O l 132x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩t
x C ρθ=C P l P C P 2
,sin ρθρθ==得(2
2
2
2+,+3x y x y ==所以1(3t),2P +
又|PC |=
所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=.
由2cos 4sin =ρθθ, 得()2
cos 4sin ρθρθ=, 把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=, 所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=.
(2) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin 4cos 40t t ϕϕ--=,
当2
π
ϕ=时, AB 的最小值为4.
23.（三星）（2016郑州一模理）已知曲线1C
的参数方程为212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，曲线2C 的极坐标
方程为4πρθ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系.
（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线2C 上的动点M 到曲线1C 的距离的最大值. 备注：直线参数方程中t 的几何意义 ----------2分 即()2
2cos sin ρρθρθ=+，可得22
220x y x y +--=，
故2C 的直角坐标方程为()()22
112x y -+-=.----------5分
⑵1C 的直角坐标方程为，由⑴知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，
且圆心到直线1C 的距离 ----------8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为分
方法二：将直线参数方程直接带入.
23．（三星）（2015郑州二模理）平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：22(1)1x y －＋＝．直线l 经过点P （m ，0），且倾斜角为
6
π
．以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （Ⅰ）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且｜PA ｜·｜PB ｜＝1，求实数m 的值． 备注：直线参数方程的直接使用
解：(1)C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即22cos ρρθ=,
:2cos C ρ
θ=即曲线的极坐标方程为. …………2分 ().12
x m l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数…………5分 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入2
2
2,x
y x +=中
2220,t t m m ++-=得2122t
t m m =-所以
, …………8分 2|2|1,1,11m m m -==由题意得得 …………10分
1.（二星）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为
参数），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
cos21ρθ=，已知直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，设直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求
P A P B ⋅的值。

1.（三星）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为35
415x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），以O 为极
点，x 轴的正半轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2cos 8cos 0ρθθρ+-=。

（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；
（2）已知点(,1)P a ，设直线l 与曲线C 的两个交点为,A B ，若3PA PB =，求a 的值。

备注：极坐标系下用韦达定理
（22）（四星）（2017长沙12月联考理）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参
数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ
⎧
=⎪
⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两
点A 、B ． （I ）若3
π
α=
，求线段AB 的中点的直角坐标；
（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．
解：（I ）由曲线1:cos tan x C y θθ
⎧
=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）
，可得C 的普通方程是22
1x y -=． 当3πα=时，直线l
的参数方程为1322
x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），
代入曲线C 的普通方程，得2
6160t t --=，……3分
得126t t +=，则线段AB 的中点对应的12
32
t t t +==， 故线段AB
的中点的直角坐标为9(,
22
．……5分
（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得
222(cos sin )6cos 80t t ααα-++=，……7分
则21222288(1tan )
|||||||
|||cos sin 1tan PA PB t t αααα
+⋅===--，……9分 由已知得tan 2α=，故40
||||3
PA PB ⋅=．……10分
11.（四星）（2016沈阳质检三）在平面直角坐标系中，过点(3,1)P 的直线l 的参数方程为
3cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参数，α为l 的倾斜角）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线1:C 2cos ρθ=，曲线2:
C 4cos ρθ=.
（Ⅰ）若直线l 与曲线1C 有且仅有一个公共点，求直线l 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线1C 交于不同两点C 、D ，与2C 交于不同两点A 、B ，这四点从左至右依次为B 、D 、C 、A ，求AC BD -的取值范围.
解：（Ⅰ）依题1C 的直角坐标方程为：22(1)1x y -+=，圆心为(1,0)，半径为1，
直线l 的普通方程为：1tan (3)y x α-=-，由题l 与1C
1=，
解得，tan 0α=或4
tan 3
α=
. 所以，直线l 的普通方程为：1y =或4390x y --=，
所以，直线l 的极坐标方程为：sin 1ρθ=或4cos 3sin 90ρθρθ--=.……5分 （Ⅱ）因为直线l 与曲线1C 交于不同两点C 、D ，由（1）可知4
0tan 3
α<<
.…6分 令两点C 、D 对应参数分别为1t 、2t ，联立l 与1C 得，22(2cos )(1sin )1t t αα+++=，
即，2(4cos 2sin )40t t αα+++=，可见12(4cos 2sin )t t αα+=-+， 又2C 的直角坐标方程为：22(2)4x y -+=
令两点A 、B 对应参数分别为3t 、4t ，联立l 与2C 得，22(1cos )(1sin )4t t αα+++=，
即，2(2cos 2sin )20t t αα++-=，可见34(2cos 2sin )t t αα+=-+， 而AC BD -3124()()t t t t =---3412()()t t t t =+-+2cos α=，
所以AC BD -的取值范围是6
(,2)5
.
22．（二星）（2018广州一模理）坐标系与参数方程;已知过点(),0P m 的直线l 的参数方程
是,1,2
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求实数m 的值．
三、参数方程中的中点公式
（22）（三星）（2017成都一诊）在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为2
α
απ
≠（）的直线l 的参数方程为1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立
极坐标系，曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=．
（Ⅰ）写出直线l
的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P （1,0），点M 直线l 经过点M 且与曲线C 相交于,A B 两
点，设线段AB 的中点为Q ，求PQ 的值． 解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为：1cos sin x t y t α
α=+⎧⎨
=⎩
（t 为参数），
∴直线l 的普通方程为()tan 1y x α=⋅-………………………2分
由2cos 4sin 0ρθθ-=得22cos 4sin 0ρθρθ-=，即240x y -=. ∴曲线C 的直角坐标方程为24x y =.······
········4分
（Ⅱ）∵点M M 的直角坐标为(0,1).·········5分 tan 1α∴=-
，直线倾斜角为34
πα=
，
∴直线l 参数方程为12
2
x y ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩.·····
·7分 代入2
4x y =，得220t -+=.·····8分 设
,A B 两点对应参数为12,t t ，则
12
|||
|2
t t PQ +==.············10分
22．（三星）（2017湖南六校联考理）已知曲线C 的参数方程为(
)3cos 2sin x y θ
θθ
=⎧⎨
=⎩为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换13
12
x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '，以原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线C 与曲线C '的极坐标的方程； （2
）若过点4A π⎛⎫
⎪⎝
⎭
（极坐标）且倾斜角为
3
π
的直线l 与曲线C 交于,M N 两点，弦MN 的中点为P ，求
||
||||
AP AM AN ⋅的值．
四、写直线参数方程
23.（四星）（2016石家庄一模理）在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：
3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系
.
（Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.
备注：直线参数方程的直接使用
解：（I ）1C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=，．．．．．．．．．．．．2分
2C 的直角坐标方程为3x =；
．．．．．．．．．．．．4分 （II ）设曲线1C 与x 轴异于原点的交点为A,
PQ OP ⊥,PQ ∴过点A (2,0),
设直线PQ 的参数方程为()2cos sin x t t y t θ
θ=+⎧⎨=⎩
为参数，
代入1C 可得2
2cos 0,t t θ+=解得1202cos t t θ==-或， 可知2|||||2cos |AP t θ==．．．．．．．．．．．．6分 代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1
cos t θ
=， 可知/1
|||||
|cos AQ t θ
==．
．．．．．．．．．．．8分
所以PQ=1|||||2cos |||cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1
|2cos |||cos θθ
=时取等
号，所以线段PQ 长度的最小值为.．．．．．．．．10分
综合练习
22．（2016-2017武汉二中高二理）在直角坐标系 中，直线
（ 为参数），
以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 、 ，求
的值． 【解析】（1） ；
（2）将直线 的参数方程化为标准形式：
（ 为参数），
代入曲线 的方程得
， 则
18．（2015-2016华附高二理）已知在直角坐标系xOy 中，曲线t t y t x C (,233,211:1⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
+-=+-=为参数，
)2≠t ，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρsin 32:2=C ，曲线θρcos 2:3=C ．
（Ⅰ）求C 2与C 3交点的直角坐标；
（Ⅱ）若C 2与C 1相交于点A ，C 3与C 1相交于点B ，求||AB 的值．
解：（1）曲线2
C 的普通方程为：220x y +-=，曲线3C 的普通方程为：
2220x y x +-=。

联立解得交点坐标为（0,0
）和3(2-------------------------------------4分
（2）将1
C 的方程代入220x y +-=解得15t =，将1C 的方程代入2
2
20x y x +-=解得23t =，所以122AB t t =-=
17．（2015-2016华附高二）已知曲线C 的极坐标方程是，设直线l 的参数方程为参数)． （1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
θρsin 4=t t y t x (5425
3⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=+-=
（2）设直线l 与曲线C 的交点是M ，N ，求．
22.（2015-2016执信高二下期末理）曲线C 的极坐标方程是4sin()6
π
ρθ=-
，直线l 的参
数方程是325
45x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
（1）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（2）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的取值范围. 解：（1
ρ
x 2化简得:()12
+x 曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：()()
4312
2
=-++y x
（2
）消去参数t ,直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4
(2)3
y
x =-
- 令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C
||MN
…。