【高二】淮南二中208届高二期中考试

淮南二中2018届高二期中考试
数学试卷（文科）
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
【关键字】高二
1.设复数=1+i ，则=（）
A． B． C． D．
2．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是() A．(－1,3) B．(－1，－3) C．(－2，－3) D．(－2,3)
3. 若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为()
A．1 B. 2 C.
2
2 D. 3
4．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是() A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
5.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系,某研究机构随机抽取60名高中生做问卷调查,得到以下数据:
作文成绩优秀
作文成绩
一般
总计
课外阅读量
较大
22 10 32
课外阅读量
一般
8 20 28
总计30 30 60
P(k2>k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 根据临界值表,以下说法正确的是().
A.在样本数据中没有发现足够证据支持结论“作文成绩优秀与课外阅读量大有关”
B.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
C.在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关
6. 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2
+AC 2
=BC 2
”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则可得” （ ） (A)AB 2
+AC 2
+ AD 2
=BC 2
+ CD 2
+ BD 2
(B)BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯2222
(C)2222BCD AD B ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ (D)AB 2
×AC 2
×AD 2
=BC 2
×CD 2
×BD 2
7.若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间(1
2，3)上有极值点，则实数a 的取值范围是( )
A ．(2，52)
B ．[2，52)
C ．(2，10
3
)
D ．[2，10
3
)
8.若函数f （x ）=sin2x+4cosx+ax 在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣3） B ．（﹣∞，﹣3） C ．（﹣∞，6] D ．（﹣∞，6）
9.函数1()
(sin cos )2
x
f x e x x 在区间0,
2
上的值域为（ ）
A ．211
[,]22
e B ．211(,)22
e C ．2[1,]e
D ．2(1,)e
10.设函数31()
3
f x x x m 的极大值为1，则函数f （x ）的极小值为（ ）
A ．
B ．﹣1
C ．
D ．1
11.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时， ()()'0f x f x x
+
>，若
()()1
F x f x x
=+
，则函数()F x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0或2
12.已知函数()f x 是定义在()0,+∞内的单调函数，且对
()()0,,ln 1x f f x x e ∀∈+∞-=+⎡⎤⎣⎦，给出下面四个命题：
①不等式()0f x >恒成立
②函数()f x 存在唯一零点，且()00,1x ∈ ③方程()f x x =有两个根
④方程()()'1f x f x e -=+（其中e 为自然对数的底数）有唯一解0x ，且()01,2x ∈. 其中正确的命题个数为（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.如图为函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx ＋d 的图象，f ′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式xf ′(x)＜0的解集为__________．
14．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为；根据类比的思想，若四面体的内切球半径为，四个面的面积分别为，则四面体的体积为 ． 15已知函数有零点，则的取值范围是 ．
16已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若的保值区间是，则的值为 .
三、解答题（本题共5道小题,每题14分，共70分）
17.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi 和年销售量yi(i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x y w
i=1
∑
x )2
8
i=1
∑
w )2
i=1
∑
x )(y i －
y )
w )(y i －y 46.6
56.3
6.8
1469
108.8
表中wi ＝， ， ＝
(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的返回方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的返回方程；
附：对于一组数据(u1 v1)，(u2 v2)…….. (un vn)，其返回线v＝u的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
18.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）设P1，P2分别为曲线C1、C2上的两个动点，求线段P1P2的最小值．
19.已知函数＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(Ⅰ)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(Ⅱ)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围
20. 已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点的切线方程;
(Ⅱ)讨论函数的单调性.
21.设，函数
（1）若无零点，求实数k的取值范围；
（2）若有两个相异零点，求证：．
淮南二中2018届高二期中考试参考答案
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
ABBBD CCAAA AB
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.(－∞，－)∪(0, ) 14.
15 16.1
三、解答题（本题共5道小题,每题14分，共70分） 17解：
（I ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的返回方程类型。

（II ）令，先建立y 关于w 的线性返回方程。

由于。

所以y 关于w 的线性返回方程为，因此y 关于x 的返回方程为。

18.解：（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），∴cosα=，sinα=， ∵cos2α+sin2α=1，∴+=1．即曲线C1的普通方程为+=1． ∵曲线C2的极坐标方程为ρsin （θ+）=3，即ρsinθ+ρcosθ=3， ∴ρsinθ+ρcosθ=6， ∵ρsinθ=y，ρcosθ=x，
∴曲线C 2的直角坐标方程为x+y ﹣6=0． （2）设P 1（2cosα， sinα），则P 1到直线C 2的距离d=
=
， ∴当sin （θ+φ）=1时，d 取得最小值=3
﹣
．
∴线段P 1P 2的最小值为3﹣．
19.解：
（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解；
当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得2
13
x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。

所以()1f x >的解集为223x
x ⎧⎫
<<⎨⎬⎩⎭。

（II ）由题设可得，()12,1,
312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪
=+--≤≤⎨⎪-++>⎩
所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -⎛⎫
⎪⎝⎭
，()21,0B a +，(),1C a a +，ABC ∆的面积为
()2
213
a +。

由题设得
()2
2163
a +>，故2a >。

所以a 的取值范围为()2,+∞
21.解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
，
当k=2时，f'（1）=1﹣2=﹣1，则切线方程为y ﹣（﹣2）=﹣（x ﹣1），即x+y+1=0；
（2）①若k＜0时，则f'（x）＞0，f（x）是区间（0，+∞）上的增函数，∵f（1）=﹣k＞0，f（e k）=k﹣ke a=k（1﹣e k）＜0，
∴f（1）•f（e k）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）有唯一零点；
②若k=0，f（x）=lnx有唯一零点x=1；
③若k＞0，令f'（x）=0，得，
在区间上，f'（x）＞0，函数f（x）是增函数；
在区间上，f'（x）＜0，函数f（x）是减函数；
故在区间（0，+∞）上，f（x）的极大值为，
由于f（x）无零点，须使，解得，
故所求实数k的取值范围是；
（3）证明：设f（x）的两个相异零点为x1，x2，设x1＞x2＞0，
∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴lnx1﹣kx1=0，lnx2﹣kx2=0，
∴lnx1﹣lnx2=k（x1﹣x2），lnx1+lnx2=k（x1+x2），
∵，故lnx1+lnx2＞2，故k（x1+x2）＞2，
即，即，
设上式转化为（t＞1），
设，
∴，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴g（t）＞g（1）=0，∴，
∴lnx1+lnx2＞2．
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