重庆市梁平实验中学人教版高中数学必修一课件：2-2-2对数函数及性质1

探索发现:认真 观察函数
y log 1 x
2
的图象填写下表
y 2
11 1
O 42 1 2 3 4
x
-1
百度文库
-2
图象特征
代数表述
图象位于y轴右方
定义域: ( 0,+∞)
图象向上、向下无限延伸
值 域: R
自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是 减函数
猜一猜: 对数函数 ylog3x和ylog1 x 的图象.
意 义
所以函数
y log2 3x2
x3
的定义域为
x
x

2 ,且x 3

3
通过本节的学习，说出你的收获。 对数函数
概念
图 象 数形结合 性 质
即使一次次的跌倒，我们依然成长。跌倒 只是我们成长道路上的一个小小的插曲。
2.2.2 对数函数及其性质 第1课时 对数函数的图象及性质
我们研究指数函数时，曾讨论过细胞分裂问题，
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4
个,……,1个这样的细胞分裂x次后，得到细胞的个数 y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数 _y__=_2_x_,_x_∈___表示.
N
1
2
4
……
y=2x
反过来，1个细胞经过多少次分裂，大约可以 等于1万个、10万个细胞？已知细胞个数y，如何 求细胞分裂次数x？得到怎样一个新的函数？
1
2
4 ……
y=2x
x=? xlog2y y2x
现在就让我们一起进入本节的学习来解决这些 问题吧！
1.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性， 掌握对数函数图象经过的特殊点.（重点） 2.知道对数函数是一类重要的函数模型； 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函 数（a>0,且a≠1)．（难点）
探究2：对数函数的图象和性质 作图步骤: ①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接. （1）作y=log2x的图象 列表
x
1
1 2
1
2
4
…
4
y log2 x 2 1 0
1
2
…
y
描 点
2
1 11
O42 1 2 3 4
x
连 -1 线 -2
x
…
1 4
1 2
y log2 x … -2
-1
y lo g 1 x … 2
（2）因为4-x>0, 即x<4， 所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x│x<4}.
【变式练习】
求下列函数的定义域：
(1)ylog5(1x)
(2) y 1 log 2 x
(3)y
log7
1 13x
(4)y log3 x
解：（1）因为1-x>0,即x<1,所以函数 y=log5(1-x)的定义域为{x|x<1}.
1.填空： （1）log0.56___<__log0.54 （2）log1.51.6___>___log1.51.4 （3）若log3m<log3n,则m___<___n; （4）若log0.7m<log0.7n,则m___>___n.
2.（2011·北京高考）若 log1 xlog1 y0, 则（ D ）
（2）因为x>0且log2 x 0,
即x>0且x≠1,
所以函数 y 1 的定义域为{x|x>0,且x≠1}. log 2 x
（3）因为 1 0 ，即
1 3x
x
1 3
,
所以函数
y

log7
1 1 3x
的定义域为

x

x

1 3

.
（4）因为x>0且 log3 x 0 ,
(1) log23.4,log28.5 (2) log0.31.8,log0.32.7 (3) loga5.1,loga5.9 ( a＞0,且a≠1 ) 解:⑴考查对数函数y=log2x,因为它的底数2＞1,所 以它在(0,+∞)上是增函数,于是log23.4＜log28.5 ⑵考查对数函数y=log0.3x,因为它的底数0＜0.3＜ 1,所以它在(0,+∞)上是减函数,于是log0.31.8＞ log0.32.7
3
y
y log2 x
2
1 11 42
O 12
-1
-2
34
y log3 x
x
y log 1 x
3
y lo g 1 x
2
对数函数y=logax (a＞0,且a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图 y x =1
象
ylogax(a1)
O (1,0)
X
y x =1
(1,0)
O
X
ylogax(0a1)
1
2
y
描 点
2
1
11
连 线
O 42
-1
1
23
4
-2
1 24 … 0 12… 0 -1 -2 …
这两个函数 的图象关于
x轴对称
x
探索发现:认真观
2y
1
察函数y=log2x 的图象填写下表
O
-1
1 23 4
x
-2
图象特征 图象位于y轴右方 图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升
代数表述 定义域: (0,+∞) 值 域: R 在(0,+∞)上是 增函数
(3)对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还 是大于0小于1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个 大,因此需要对底数a进行讨论: 当a＞1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是增函数, 于是loga5.1＜loga5.9 当0＜a＜1时,因为函数y=logax在(0,+∞)上是减函数, 于是loga5.1＞loga5.9
【提升总结】 1.两个同底数的对数比较大小的一般步骤 (1)确定所要考查的对数函数； (2)根据对数底数判断对数函数的单调性； (3)比较真数大小，然后利用对数函数的单调性 判断两对数值的大小．
2.分类讨论的思想的适用情况 （1）利用对数函数的增减性比较两个对数的大 小时； （2）对底数与1的大小关系未明确指出时； （3）要分情况对底数进行讨论来比较两个对数 的大小时.
探究1：对数函数的定义 一般地，我们把函数_y_=_l_o_g_a_x_(_a_>_0_,_且__a_≠_1_)_叫
做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 _（__0_，__+_∞__）__．__ 注意:（1）对数函数定义的严格形式;
（2）对数函数对底数的限制条件：
a0且a1.
思考1.对数函数的解析式具有什么样的结构特征呢？ 提示：对数函数的解析式具有以下三个特征： (1)底数a为大于0且不等于1的常数，不含有自变量x； (2)真数位置是自变量x，且x的系数是1； (3)logax的系数是1.
即 x 1，
所以函数 y log3 x 的定义域为 x x 1
【提升总结】 由具体函数式求定义域,考虑以下几个方面： （1）分母不等于0； （2）偶次方根被开方数非负； （3）零指数幂底数不为0； （4）对数式考虑真数大于0； （5）实际问题要有实际意义.
例2 比较下列各组数中两个值的大小：
2
2
A.yx1 B.x y 1 C.1xy D.1 yx
3. 函数y＝loga(x＋1)－2 (a＞0, a≠1)
的图象恒过定点 （ 0 ， - 2 ) .
4.求函数 ylog23x2 的定义域。
x3
解 ： 因 为 当 3x-2>0且 x-3?0,即 x 2且 x?3时 ,函 数 有 3
定义域: (0,+∞)
性
值 域: R
质
过定点: (1,0), 即当x＝1时,y＝0
在(0,+∞)上是 增函数 在(0,+∞)上是 减函数
例1：求下列函数的定义域： （1）y=logax2 ; （2）y=loga(4-x). 分析：主要利用对数函数y=logax的定义域 为（0，+∞）求解.
解 （1）因为x2>0,即x≠0， 所以函数y=logax2的定义域是 {x│x≠0}.