2.4-2.5功动能定理势能机械能守恒定律

v v0
t
adt 0
0
t 6tdt 3t2
0
dx vdt 3t2dt
A=
F dx
3
12t
3t
2dt
336t3dt 9t4 3 729J
0
0
0
P F 12t 3t2 t 3s时 P 972W
二、几种常见力的功
1、保守力 某些力对质点做功的大小只与质点的始末位置
A
A
A A1 A2 A3
例1：质量为10kg 的质点，在外力作用下做平面曲线运
动，该质点的速度为 4t2i 16 j ,开始时质点位于坐
标原点。求在质点从 y = 16m 到 y = 32m 的过程中， 外力做的功。
解：
x
dx dt
4t 2
y
dy dt
16
y 16t
dx 4t2dt
y 16时 t 1
有关，而与路径无关。这种力称为保守力。
保守力沿闭合路径一周所 做的功为零，即 A F dr 0
典型的保守力： 重力、万有引力、弹性力 作功与路径有关的力称为非保守力（也称为耗散力） 典型的耗散力： 摩擦力
2、重力的功
m在重力作用下由a运动到b，取地面为坐标原点.
AG
ab
mg
dr
b
a ( mg )k ( dxi dyj dzk ) Z
l a
态
b0g 0(l b0)g 0
b0
0 1 0
l
a
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链条将开
始滑动。μ0为最大静摩擦力系数。
(2)到链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功？
（2）当链条下落x时，
摩擦力f N
m L xg
L 摩擦力的功： W f fdx
lx
o
x
x
aL (L x )mgdx / L
y 32时 t 2
Fx
m dx
dt
80t
Fy
m dy
dt
0
A
Fxdx Fydy
Fxdx
2320t3dt 1200 J
1
3、功率
功率：描写作功快慢的物理量，即力在单位
时间内所作的功
单位：瓦特 W
平均功率 P A t
lim 瞬时功率 P A dA
Δt0 t dt
dA F dr
忽略空气阻力，求陨石下落过程中，万有引力的功
是多少？
a
解：取地心为原点，引力与矢径方向相反 h b
A
R
F dr
Rh
R
G
Rh
Mm r2
dr
R o
GMm
R dr r Rh 2
GMm 1 1 R Rh
GMmh R(R h)
例4、一对作用力和反作用力的功
dr2
m1、m2组成一个封闭系统在
功也可用示功图计算
B
B
A A F dr A F cos dr
F cos
功常用图示法来计算，这种计 o rA
算方法比较简便。
r
dr rB
合力的功 = 分力的功的代数和
B
B B B
A A F1 F2 F3 dr A F1 dr F2 dr F3 dr
dt 时间内
m1 r1
f1 dr1
m2 r2
f
2
dr2
dA f1 dr1 f2 dr2
dr1 m1
r21 f1
f2 f2
m2
r1
r2
o
f1 f2
dA f 2 (dr 2 dr1 ) f 2 d(r 2 r1 )
r2 r1 r21
dA f2 dr21
三、动能定理
m受的引力方
cos rdr
b
rb ra
G
mM r2
dr
GmM ( 1 rb
1 ra
)
GmM 1 (GmM 1 )
b dr θ dr
ra
初态量
rb
末态量
可见 (1)万有引力是保守力。
M
rF m ra a
(2) 质点m移近质点M 时，万有引力作正功；质
点m远离质点M 时，万有引力作负功。
例3、一陨石从距地面高为h处由静止开始落向地面，
mg L a 2 / 2L
（3）链条离开桌面时的速率是多少？
求出下落过程中重力的功：
W P mgdx
L m xgdx aL
l a
o
x
mg L 2 a2/ 2L
x
由动能定理：W
f
W
P
m
v2
/2
m
v
2 0
/ 2,
v0 0
mg L 2 a2 mg (L a )2 m v2
2L
2L
2
解： 放手后，物体运动到平衡位置处和弹簧分离。
在整个过程中，
弹簧弹性力作功
1 2
kx12
摩擦力作功 mgx2
根据动能定理有
1 2
kx12
mgx2
0
0
x1
O
x2
kx12 100 0.022 0.20
2mgx2 2 0.19.8 0.1
例6.一匀质链条总长为L,质量为m,放在桌面上,并使其下 垂,下垂一端的长度为a,设链条与桌面之间的滑动摩擦系
∵内力和为零,内力功的和不一定为零
(2)动能是相对量
n
i 1
2
n
1 Fi外 dri
i 1
2 1 f ij dri
n i 1
1 m
2
i
v
2 i2
n i 1
1 m
2
i
v
2 i1
质点系的动能定理
i
A
i
A外
A内
EK2
EK1
合外力对系统所做的功及内力对系统所作的功
之和等于系统动能的增量。 ——质点系的动能定
A外 A内非 E2 E1
外力对系统做功和系统非保守内力做功之和等 于系统机械能的增量。-------功能原理
四、机械能守恒定律
由功能原理 A外 A内非 E2 E1
若A外 A内非 0 系统的机械能保持不变
(Ek Ep ) (Ek0 Ep0 ) 常量
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系内各质点的动能和势能可以相互转换，但 系统的总机械能守恒。
数为 ,令链条由静止开始运动,则:
(1)满足什么条件时，链条将开始滑动； (2)到链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条作了多少功？ (3)链条离开桌面时的速率是多少？ P41例题 2.9
解：(1)设链条每单位长度的质量为，以链条的水平部
分为研究对象，沿铅垂向下取Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状
功——力的空间积累
外力作功是外界对系统过程的一个作用量
r 力对质点所作的功为力在质点位移
i
F
B
方向的分量与位移大小的乘积 .
i
（功是标量，但有正负，过程量）
A
一、功 1、 恒力 的功
F
F
A F r Fr cos
微分形式 dA F
dr
F
cosdr
0 90 , dA 0； 90 180 , dA 0；
说明
(1) 守恒条件 A外 A非内 0
(2) 守恒定律是对一个系统而言的
(3) 守恒是对整个过程而言的，不能只考虑始末两状态
例6：用弹簧连接两个木板m1 、m2 ，弹簧压缩x0 。求： 给m2 上加多大的压力能使m1 离开桌面？
f2
F
x2
x0
m2
x1
G2
m2
f1
m1
m1
m1
解： 整个过程只有保守力作功，机械能守G恒1
z
2、弹性势能（以弹簧原长为零势能点）
Ep
0 kx dx (0 1 kx2 ) 1 kx2
x
2
2
3、引力势能（以无穷远为零势能点）
Ep
r
G
mM r2
dr G mM r
质点在某一点的势能大小等于在相应的保守力的作用
下，由所在点移动到零势能点时保守力所做的功。
系统的机械能 E Ek E p
A
2
1 Fi外 dri
2 1
fij
dri
1 2
mivi22
1 2
mivi21
对所有质点求和可得：
n
i 1
2
n
1 Fi外 dri
i 1
2 1
f ij
dri
n i 1
1m 2
i
v
2 i2
n i 1
1m 2
i
v
2 i1
注意： (1)不能先求合力，再求合力的功；
只能先求每个力的功，再对这些功求和。
的函数值减去B点的函数值，定义
A
为从A -->B 保守力所做的功，该
函数就是势能函数。
AAB EPA EPB
定义了势能差
选参考点（势能零点），设 EPB 0
AAB EPA
AG mgza mgzb
Af
(G Mm) (G Mm)
ra
rb
As
1 2
kxa2
1 2
kxb2
b
A保 a F保 dr
理
注意
内力可以改变质点系的动能
例:炸弹爆炸过程内力和为零，但内力所做的 功转化为弹片的动能。
例5：一轻弹簧的劲度系数为k =100N/m，用手推一质量 m =0.1kg的物体把弹簧压缩到离平衡位置为x1=0.02m处, 如图所示。放手后，物体沿水平面移动到x2=0.1m而停止。 求：物体与水平面间的滑动摩擦系数。
5.保守力场中任意两点间的势能差与势能零点选取无关
二、功能原理
质点系的动能定理
i
A
i
A外
A内
EK2
EK1
又可写成
A外 A内非 A内保 EK 2 EK1
而 A内保 ( E P 2 E P1 ) E P
A外 A内非 (EK 2 EK1) (EP2 EP1)
EK2 EP2 EK1 EP1
P
dA
F
dr
F
v
dt dt
瞬时功率等于力与物体速度的标积.
例２：质量为2kg的质点在力 F＝12ti(SI)的作用下，
从静止出发，沿x轴正向作直线运动。求前三秒内该力
所作的功及t = 3s 时的功率
与46习题2.11类似
解：
A＝
F
dr
12tvdt
12v tdt 6vt 2
a F 12t 6t m2
Ek Ek0 (Ep Ep0 )
Ek Ep
守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，
这是各个守恒定律的特点和优点 .
机械能:
A外 A内非 E2 E1
若A外 A内非 0 系统的机械能增加 若A外 A内非 0 系统的机械能减少 若A外 A内非 0 系统的机械能保持不变
v g / L 1/2 (L 2a2)(L a )2 1/2
作业:P46 2.19
2010.3.3(4)
2011.3.4(4′)
2.5 势能 机械能守恒定律
一、势能、势函数 在受保守力的作用下，质点
B 从A-->B，所做的功与路径无关，
而只与这两点的位置有关。可引
入一个只与位置有关的函数，A点
E pa E pb E p
保守力做正功等于相应势能的减少；
保守力做负功等于相应势能的增加。
A
1 2
mv2
2
1 2
mv12
EKB
EKA
EK
EP
比 外力做正功等于相应动能的增加；
较 外力做负功等于相应动
0
Ep
(mg)dz mg(0 z) mgz
zb
za
mgdz
(mgzb
mgza
)
mgza mgzb
a•
dr
• •b
mg
初态量 末态量
O
Y
可见 （1）重力是保守力。 X
（2）质点上升时，重力作负功；质点下 降时，重力作正功。
3、弹性力的功
F kx
A xb kxdx xa
(
1 2
kxb2
1 2
kxa2
)
1 2
kxa 2
1 2
kxb 2
注意：
1、计算势能必须规定零势能参考点。势能值是相对量， 其量值与零势能点的选取有关。
2、势能函数的形式与保守力的性质密切相关，对应于一 种保守力的函数就可以引进一种相关的势能函数。
3、势能是属于以保守力形式相互作用的物体系统所共有。
4、一对保守力的功等于相关势能增量的负值。因此，保 守力做正功时，系统势能减少；保守力做负功时，系统 势能增加。
x0
m2 g k
x1
F k
x2
m1g k
1 2
k
(x0
x1)2
90
F
dr
dA 0
2、变力作功
元功为 dA F(r) cosdr F(r) dr
变力的功
A
dA
r2
F
dr
r1
dr
A
B F
直角坐标系中 F Fxi Fy j Fzk
dr dxi dyj dzk
b
A a (Fxdx Fydy Fzdz)
x
y
z
x0 Fxdx y0 Fyd y z0 Fzdz
初态量 末态量
弹簧振子
•• •
可见 （1）弹性力是保守力。
（2）弹簧的变形减小时，弹性力作正功； 弹簧的变形增大时，弹性力作负功。
4、万有引力的功
两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M所在处
r 为原点，M指向m的方
向与矢径方向相反。
b
A f dr a
rb G mM
ra
r3
向为 rdr
矢
径 的正 方向。 r dr r dr
d
mv2 2
2
1 2
m
v2
2
1 2
m
v1
2
EK2
EK1
D ri
fi
末态动能 初态动能
1
即
A
v2 v1
mvdv
1 2
mv22
1 2
mv12
Ek 2
Ek1
合外力的功等于质点动能的增量。-----质点动能定理
动能是 相对量
功是质点动能变化的量度 过程量 状态量
2、质点系的动能定理
对i质点运用动能定理：
1、质点的动能定理
质点的动能
Ek
1 mv 2 2
质点系统的动能 Ek
i
Eki
i
1 2
mi
vi2
质点的动能定理
i 1,2,, n
物体受外力作用 运动状态变化 动能变化 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。
A12
2
f dr
1
2
m
dv
dr
1 dt
v2 mv dv
v1
v2 v1