高中数学必修二2.1-空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面 ●
知识梳理
1
2 三个公理：
（1
符号表示为
A ∈l
B ∈l
=> l α⊂
A ∈α
B ∈α
【公理1作用】判断直线是否在平面内.
（2
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。

（3符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L L
A
· α
C
·
B ·
A
· α
1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；
③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．
其中真命题的序号是（）
A．①②B．③④C．①④D．②③
2．在下列命题中，不是公理的是（）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
4．下面四个说法中，正确的个数为（）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（）
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线
B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥β
D．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直
7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）
A．若l⊂α，m∩α=A，则l与m必为异面直线
B．若l∥α，l∥m，则m∥α
C．若l⊂α，m⊂β，l∥β，m∥α，则α∥β
D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α
8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）
A．①③B．②④C．①④D．③④
二．填空题
9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）
①0 ②1/2 ③1 ④2 ⑤3．
10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．
三．解答题
1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．
2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．
（1）证明：点G、E、F、H四点共面；
（2）证明：EF、GH、BD交于一点．
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

知能训练
共面直线
=>a ∥c
2
一．选择题
1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC=2，
则异面直线AC与BE所成的角为（）
A．30°B．45°C．60°D．90°
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若棱BB1=BC=1，AB=，则异面直线D1B
和AC所成角的余弦值为（）
B．/3C．1/2D．/5
A．1
4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1B1上，点Q在线段B1C1上，且
B1P=B1Q，给出下列结论：
①A、C、P、Q四点共面；
②直线PQ与 AB1所成的角为60°；
③PQ⊥CD1；
④V P-ABCD=V Q-AA1D．
其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正四面体A-BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，则在下列命题中，错误的为（）
B．直线AD与OB成45°角
A．O-ABC是正三棱锥
C．直线AB与CD互相垂直D．直线AD与OC成60°角
6．已知不同平面α，β，γ，不同直线m，n，则下列命题正确的是（）
A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
B．若m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m∥γ，n∥γ，则m∥n
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
7．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
8．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
9．将正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（）
A． B. C. D.
10．在正方体ABCD-A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所
成的角为45°的点P的个数为（）
A．0 B．3 C．4 D．6
二．填空题
11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AB，A1D1上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD1所成角的余
弦值得取值范围是。

12．已知二面角α-l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，
AC=BD=4，CD=3，则AD与BC所成角的余弦值为．
13．已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个
不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则=．
三．解答题
14．如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG；
2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内——有无数个公共点
（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
知能训练
一．选择题（共8小题）
1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n C．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β2．已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（）
A．若a∥b，b⊂β，则a∥β
B．若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
D．若a⊂β，b∥β，a，b共面，则a∥b
3．下列命题中，是假命题的为（）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一直线的两个平面平行
4．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；②若b⊂M，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．
其中正确命题的个数有（）
A．0个 B．1个C．2个 D．3个
5．已知点E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、AA1的中点，点M、N
分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别C1D1，BC是的中点，则下列
判断正确的是（）
A．MN∥BD1 B．MN⊥AB1
C．MN∥平面BDD1 D．MN⊥平面AB1C
7．已知E、F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1、AD的中点，则直
线EF和平面BDB1D1所成的角的正弦值是（）
A. B. C. D.
8．△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α
成30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值
为（）
A. 1
B.
C.
D.1或
二．解答题（共3小题）
9．在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中，E，F分别为DD1，BB1的中点，
G为线段D1F上一点．请判断直线AG与平面BEC1之间的位置关系，并给出
证明．
【参考答案】
2.1.1
1. D
2.A
3.B
4.A
5.D
6.B
7.D
8.A
9.①③④10.26
11. 解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵AB∩α=E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
12. 证明：（1）∵E、G分别为BC、AB的中点，∴EG∥AC
又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．
∴EG∥FH
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯
形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，
而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈BD．
所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．
2.2.2
1.B
2.C
3.D
4.B
5.D
6.C
7.C
8.B
9.D 10.B 11.[，1] 12. 13.
14. （1）证明：取AB的中点M，连接EM，MG．
∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．
∴四点E，F，G，M共面．
而在三角形PAB中，PB∥EM，
又PB⊄平面EFGM，EM⊂平面EFGM．
∴PB∥平面EFGM．
即得PB∥平面EFG．
2.1.3
1.B
2.D
3.A
4.B
5.D
6.C
7.B
8.D
9. AG∥平面BEC1．
证明：连结AF，AD1．
∵E，F为DD1，BB1的中点，
∴ED1与BF平行且相等，
∴四边形BED1F为平行四边形，
∴D1F∥BE，
∴D1F∥平面BEC1．
∵四边形ABC1D1为平行四边形，
∴A1D∥BC1，
∴AD1∥平面BEC1．
∵AD1∩D1F=D1，
∴平面AFD1∥平面BEC1．
∵AG⊂平面AFD1，
∴AG∥平面BEC1。