初三数学 有关圆的经典例题
初中初三数学圆试题及答案
初中初三数学圆试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 圆的半径是10，那么圆的直径是（）A. 5B. 20C. 15D. 252. 已知圆心为O，点A在圆上，OA的长度是半径的2倍，那么点A（）A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不存在3. 圆的周长公式是（）A. C = πdB. C = 2πrC. C = πrD. C = 4r4. 圆的面积公式是（）A. S = πr²B. S = πd²C. S = 2πrD. S = πd5. 如果一个圆的半径增加1cm，那么它的面积将增加多少平方厘米？（π取3.14）A. 3.14B. 6.28C. 2πD. π二、填空题（每题2分，共10分）1. 半径为r的圆的周长是______。
2. 半径为r的圆的面积是______。
3. 如果一个扇形的圆心角为30°，半径为5cm，那么它的弧长是______。
4. 一个圆的直径是20cm，那么它的半径是______。
5. 圆周角定理指出，圆周上一点到圆心的两条半径所夹的角是圆心角的______。
三、解答题（每题5分，共30分）1. 已知圆O的半径为5cm，点P在圆O上，求OP的长度。
答案：OP的长度为5cm。
2. 一个圆的周长是44cm，求这个圆的半径。
答案：设半径为r，根据周长公式C = 2πr，44 = 2 × 3.14 × r，解得r = 7cm。
3. 一个圆的面积是78.5平方厘米，求这个圆的半径。
答案：设半径为r，根据面积公式S = πr²，78.5 = 3.14 × r²，解得r = √(78.5 / 3.14) ≈ 5cm。
4. 已知圆心角为60°，半径为10cm的扇形，求这个扇形的弧长。
答案：弧长= (60/360) × 2π × 10 = π × 10 = 31.4cm。
九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．√2D．1答案：B分析：连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=1AB＝4，2在Rt△OAE中，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定答案：B分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．解：∵⊙O的半径为3，OA=5，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．小提示：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢． 故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（ ）A ．54B ．2C ．52D ．4答案：A分析：根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ，则2πr =52π ∴r =54故选：A ．小提示：本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．6、如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是（ ）A ．36°B ．45°C ．48°D ．60°答案：C分析：如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出∠AOM ，∠AOB ，可得结论．解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM=60°，∴∠AOM=2∠ANM=120°，∵ABCDE是正五边形，=72°，∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°．故选：C．小提示：本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．7、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．8、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76°B．72°C．60°D．36°答案：B计算即可．分析：根据正多边形的中心角的计算公式：360°n解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°，5故选：B．小提示：本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°是解题的关键．n9、如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π−6√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．12π−18√3答案：D分析：作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB⌢的长，最后求它们的差即可． 解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°， 在Rt △AOC 中，OC =12OA =9， AC =√182−92=9√3，∴AB =2AC =18√3，又∵AB ⌢=120×π×18180=12π，∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米，故选D ．小提示：本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10、在锐角△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB=120°B．ME=MDC．AE+BD=AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案：D分析：利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断∠M′与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=1（∠CAB+∠CBA）=60°，2∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴EM⌢=DM⌢，∴EM=DM，故B符合题意，∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形，∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′=∠AMC，∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．小提示：本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．填空题11、如图，已知A为半径为3的⊙O上的一个定点，B为⊙O上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．cm答案：132分析：连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm)，cm，所以圆形镜面的半径为132cm．所以答案是：132小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键．13、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD⌢上，∠BAC =22.5°，则BC⌢的长为__________．答案：5π4 分析：先找到AD̂的圆心O ，得到∠BOC =45°，利用弧长公式即可求解． 解：连接AD ，作线段AB 、AD 的垂直平分线，交点即为AD̂的圆心O ， 从图中可得：AD̂的半径为OB =5， 连接OC ，∵∠BAC =22.5°，∴∠BOC =2×22.5°=45°，BC ̂的长为45×π×5180=5π4． ．所以答案是：5π4.小提示：本题考查了弧长公式，找到AD̂的圆心是解题的关键． 14、如图，正六边形ABCDEF 的边长为4，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得EC⌢，连接AC 、AE ，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．答案：2√33分析：由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°，如图，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12AC，BH=12AB=12×4=2，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3，∴AC=2AH=4√3，同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π，∴S圆锥侧＝S扇形CAE=8π，∵S 圆锥侧＝πrl =πr ⋅AC =4√3πr ，∴4√3πr =8π，∴r =2√33， 所以答案是：2√33．小提示：本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S −S 1=__________.答案：π−3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S =π，OA=OB=1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°，∴AC=12OB=12，∴S △AOB =12OB•AC=14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则S −S 1=π−3，故答案为π−3．小提示：本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．解答题16、如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：EF ∥AB ；(2)若AC =3，CD =2.5，求FG 的长．答案：(1)见解析；(2)65分析：（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到EF ∥AB ；（2）根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由（1）可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB，根据sinB=FGBF =ACAB，代入数值，即可得到FC．（1）证明：连接DE，∵CD和EF都是⊙O的直径，∴∠DEA=∠ECF=90°，∵D是AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠ADE=∠CDE，∵OD=OE，∴∠OED=∠CDE，∴∠ADE=∠OED，∴EF∥AB；（2）连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴FC=DE，DE∥BC，∴AEEC =ADDB=1，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AB=2CD=5，AC=3，∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4，∴FC=2．∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线，∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示：此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．17、如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E 落在⊙O 上．(1)若∠ABC =30°，如图1．①求∠ACB 的度数．②若AD =DE ，求∠EAB 的度数．(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2，如图2．求BC 的长． 答案：(1)①30°，②60°；(2)BC =6分析：（1）①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ，根据等弧所对的圆周角即可求解；②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ，根据（1）的结论可得∠ACB =∠ABC ，进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°，进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ，（2）根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢，可得AE ⌢=DB ⌢，AE =BE ，根据折叠的性质可得DB =AE =4，进而即可求解．（1）①∵AD⌢=AD ⌢，∠ABC =30°， ∴∠AED =∠ABD =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠ACB =∠AED =30° ；②∵ AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠DBA ，∴∠DAE =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠DAE =∠DAC =30°，△ABC 中，∠ABC =∠ACB =30°，则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°，∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°，∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°，∴∠EAB =60°，（2）∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示：本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两点，∠CAB =∠DBA ，连结BC ，CD ．(1)求证：CD ∥AB ．(2)若AB =4，∠ACD =30°，求阴影部分的面积．答案：(1)答案见解析(2)23π 分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD ＝∠DBA ，根据 ∠CAB ＝∠DBA 得到∠CAB ＝∠ACD ，进而得到结论；（2）连结OC ，OD ，证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等，继而得到结论．（1）证明：∵AD ⌒=AD ⌒，∴∠ACD ＝∠DBA ，又∵∠CAB ＝∠DBA ，∴∠CAB ＝∠ACD ，∴CD ∥AB ；（2）解：如图，连结OC ，OD ．∵∠ACD ＝30°，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOD ＝∠COB ＝60°,∴∠COD ＝180°-∠AOD -∠COB ＝60°．∵CD ∥AB ，∴S △DOC =S △DBC ，∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ，∵AB ＝4，∴OA ＝2，∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π．∴S阴影=2π．3小提示：本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．。
初三数学圆的基础练习题
初三数学圆的基础练习题
1.已知正方形ABCD的边长为8cm，O为AD的中点。
请问以O为
圆心的圆与正方形的四个顶点分别相交于几个部分？
解析：
首先，以O为圆心的圆的半径为OA（或OB，OC，OD）的长度，由题意可知OA=OD=4cm。
考虑圆与正方形的顶点相交的情况：
a)若圆与某个顶点完全相交，则该顶点属于圆的边界，因此与圆相
交于1个点；
b)若圆与某个顶点相切，则该顶点恰好位于圆的边界上，因此与圆
相交于1个点；
c)若圆与某个顶点不相交，则该顶点位于圆的外部，因此与圆相交
于0个点。
根据上述分析，以O为圆心的圆与正方形的四个顶点分别相交于1
个点或0个点。
中考数学圆经典大题
中考数学圆经典大题1. 已知圆心为O，直径AB=8cm，点C在圆上，且∠ACB=90°，求AC和BC的长度。
解：AC²+BC²=AB²=64，又因为∠ACB=90°，所以AC和BC互为勾股数，且AC+BC=AB=8，因此只需求出AC或BC的值即可。
设BC=x，那么AC=8-x，代入勾股定理得x²+(8-x)²=64，化简得2x²-16x+32=0，化简后得x²-8x+16=0，解得x=4，因此AC=4，BC=4。
2. 设圆心为O，半径为r，直线l与圆交于A、B两点，OA与l的交点为C，OB与l的交点为D，求证：CD=2r。
解：连接OC、OD，由于OC与OD垂直，所以OC、OD相等，设它们的长度为h。
另外，由于OCB和ODB都是直角三角形，所以OC²+CB²=r²和OD²+BD²=r²，因此CB²-BD²=OD²-OC²=h²-h²=0。
又因为CD=CB-BD，所以CD=0+0=2r，即CD等于圆的直径，证毕。
3. O为圆心，AB、CD、EF是圆上的三条弦，且它们不相交，AB=26，CD=38，EF=48，OA=12，OB=9，求OC、OE和OD的长度。
解：根据相交弦定理得：AC·CB=EC·CF，CE·ED=AF·FB，因此AC·CB·CE·ED=EC·CF·AF·FB。
另一方面，根据圆心角定理得OC:OE:OD=AC:EF:CD，带入前式得：OC·(CB+CE)·OE·(ED+DF)=OE·(AE+EF)·OD·(CB+BD)，整理可得： OC:OD=4:3，OE=36/5。
(完整版)初三数学有关圆的经典例题
初三数学 有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC分析：根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意AB 与AC 有不同的位置关系。
解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB 、AC 在圆心O 的异侧时，如下图所示,过O 作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ， ∵，，∴，AB AC AD AE ====323222∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°，当AB 、AC 在圆心O 同侧时，如下图所示,同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°， ∴∠BAC=15°点拨:本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2。
如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R,⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB ，OD ⊥AB ，可证DF 是△ABC 的中位线；（2）延长DO 交⊙O 于E ，连接AE ，由于∠DAE=90°,DE ⊥AB,∴△ADF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（1）证明,作直径DE 交AB 于F ，交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。
(2）解：连结AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△EDA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么( ）A AB CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CD D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。
初三数学有关圆的经典例题.pdf
有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22求的值AD BC3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A AB CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141求CD 的长。
5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=6.如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。
分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ，∴AD x =23则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
数学初三圆的试题及答案
数学初三圆的试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是圆的标准方程？A. (x-a)²+(y-b)²=r²B. x²+y²=rC. x²+y²=r²D. (x-a)²+(y-b)²=r答案：A2. 圆心为(2,3)，半径为5的圆的方程是什么？A. (x-2)²+(y-3)²=25B. (x-2)²+(y-3)²=5C. x²+y²=25D. x²+y²=5答案：A3. 已知圆C的圆心为(1,1)，半径为2，点P(4,3)在圆C上，那么点P 到圆心的距离是多少？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 圆的直径是10，那么它的半径是多少？A. 5B. 10C. 20D. 15答案：A5. 圆心在原点，半径为3的圆的方程是？A. x²+y²=9B. (x-0)²+(y-0)²=3C. x²+y²=3D. (x-3)²+(y-3)²=9答案：A6. 圆的周长公式是？A. C=2πrB. C=πrC. C=2rD. C=r答案：A7. 圆的面积公式是？A. A=πr²B. A=2πrC. A=r²D. A=2r答案：A8. 圆的切线与半径垂直，那么切线与圆心的距离是多少？A. rB. 2rC. πrD. 0答案：A9. 圆的弧长公式是？A. L=rθB. L=2πrC. L=rθ/180D. L=2πrθ/360答案：D10. 圆的扇形面积公式是？A. S=1/2r²θB. S=1/2r²C. S=rθD. S=2πrθ/360答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 圆心在(-2,4)，半径为3的圆的方程是：（x+2）²+（y-4）²=________。
初三数学圆基础练习题及答案
初三数学圆基础练习题及答案练习题一：直径和半径的关系1. 若一个圆的半径为5cm，求其直径的长度是多少？答案：直径的长度是2倍的半径长度，因此直径的长度为10cm。
2. 若一个圆的直径为12cm，求其半径的长度是多少？答案：半径的长度是直径长度的一半，因此半径的长度为6cm。
练习题二：圆的周长和面积计算3. 已知一个圆的半径为3cm，求其周长和面积。
答案：圆的周长公式为C = 2πr，其中r为半径。
将半径代入公式，可得C = 2π × 3 = 6π ≈ 18.85cm。
圆的面积公式为A = πr²，将半径代入公式，可得A = π × 3² = 9π ≈ 28.27cm²。
4. 已知一个圆的周长为10π cm，求其半径和面积。
答案：圆的周长公式为C = 2πr，已知周长为10π，因此10π = 2πr，可得r = 5。
圆的面积公式为A = πr²，将半径代入公式，可得A = π × 5² = 25π ≈ 78.54cm²。
练习题三：相交圆的交点个数5. 如果两个圆相交于两个点，这两个圆的关系是什么？答案：两个相交的圆是相交圆。
6. 如果两个圆相交于一个点，这两个圆的关系是什么？答案：两个相交于一个点的圆是切圆。
7. 如果两个圆不相交，也不包含对方，这两个圆的关系是什么？答案：两个不相交也不包含对方的圆是相离圆。
练习题四：判断圆心在坐标系中的位置8. 圆心坐标为(2, 3)，半径为4的圆在坐标系中处于哪个位置？答案：根据圆心坐标和半径，我们可以在坐标系中画出这个圆。
圆心(2, 3)代表圆心在横坐标2，纵坐标3处，半径为4表示从圆心向外延伸4个单位的长度。
因此该圆处于横坐标为2，纵坐标为3的位置，并以该点为中心向外扩展4个单位的长度。
练习题五：圆的切线和切点9. 若一条直线与圆相切，这条直线与圆的关系是什么？答案：一条与圆相切的直线称为圆的切线。
初三数学圆的练习题及答案
初三数学圆的练习题及答案1. 题目：已知AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且∠ACB = 30°，求∠CAD的度数。
解析：根据圆的性质，直径所对的两条弦互相垂直，即∠ACB与∠CAD互为余角。
而余角互补，因此∠CAD = 90° - ∠ACB = 90° - 30°= 60°。
答案：∠CAD的度数为60°。
2. 题目：在⊙O中，AB是直径，C为圆上一点，且AC = BC。
若∠ACO = 50°，求∠BAO的度数。
解析：对于⊙O，直径所对的两条弧互为等弧，所以AC = BC相当于∠ACO = ∠BCO。
又∠ACO = 50°，则∠BCO = 50°。
由于∠BAO与∠BCO互为余角，∠BAO = 90° - ∠BCO = 90° - 50° = 40°。
答案：∠BAO的度数为40°。
3. 题目：在⊙O中，AC是直径，点B在弧AC上，且∠ABC = 60°。
连接OB并延长交⊙O于点D，若∠ADC = 50°，求∠BDC的度数。
解析：由于AC为直径，所以∠ABC是弧AC所对的圆心角。
由于∠ABC = 60°，所以弧AC的度数为60°。
又∠ADC = 50°，则弧AD的度数为50°。
根据圆上的弧对应的圆心角相等，可以得到∠BDC = ∠BAD = 弧AD的度数 - 弧AC的度数 = 50° - 60° = -10°。
答案：∠BDC的度数为-10°。
4. 题目：在⊙O中，AB是直径，CD是弦，且AB = 2CD。
若∠ACB = 40°，求∠AOD的度数。
解析：根据圆的性质，直径所对的两条弦互相垂直，即∠ACB与∠AOD互为余角。
而余角互补，因此∠AOD = 90° - ∠ACB = 90° - 40°= 50°。
初三数学圆专项练习题大全
初三数学圆专项练习题大全圆是数学中一个重要的几何概念，它在几何题中经常出现。
为了帮助初三学生更好地掌握圆的知识，以下是一份初三数学圆专项练习题的大全，包括了常见的圆的性质、弧与弦的关系、切线与割线等内容。
希望同学们通过这些练习题的训练，能够熟练掌握圆的相关知识，并能灵活运用于解题中。
1. 圆的面积计算题(1) 已知圆的半径为r，求圆的面积。
(2) 已知圆的直径为d，求圆的面积。
2. 圆的周长计算题(1) 已知圆的半径为r，求圆的周长。
(2) 已知圆的直径为d，求圆的周长。
3. 相关性质题(1) 在一个圆内，连接圆心和圆上一点A，再连接另一点B在圆上，证明线段AB是圆的半径。
(2) 若两圆相交于点A和点B，那么点A、点B与两圆心连线的关系是什么？(3) 圆的切线与半径的关系是什么？(4) 圆的割线与半径的关系是什么？4. 圆的切线与弦的关系题(1) 若AB是圆的切线，C是弦上一点，证明AB与直径AC的夹角等于角ACB。
(2) 若AD是圆的直径，B是圆上一点，证明ACB是直角。
5. 多边形与圆的关系题(1) 若一个正多边形的每个顶点均位于同一个圆上，那么这个正多边形的内角和是多少度？(2) 若一个正多边形的内角和等于360度，那么这个正多边形的每个顶点都位于同一个圆上吗？6. 圆的切线长度计算题(1) 已知切点A到圆心的距离为r，切线段AB的长度为x，求x的值。
7. 圆的弦长计算题(1) 已知弦CD的长度为x，求弦AB的长度。
8. 圆的切线长与切点到圆心距离关系题(1) 切线段AB长为12，切点到圆心的距离为5，求切点到圆的切线的长度。
以上是一部分初三数学圆专项练习题的大全，希望同学们能够认真训练，掌握圆的相关性质和计算方法。
通过不断的练习和巩固，相信你们一定能够在数学中取得更大的进步！。
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案
中考数学圆的综合综合经典题含详细答案一、圆的综合1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．【详解】（1）如图所示，连接OD．∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD=，∴OD⊥BC．又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DF DBDB DA=，即DB2=DF•DA．∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．【点睛】本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过BD上一点E作EG∥AC 交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．（1）求证：∠G=∠CEF；（2）求证：EG是⊙O的切线；（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG =34，AH=33，求EM的值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）253 8.【解析】试题分析：（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出AD AC=，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得AH HCEM OE=，由此即可解决问题；试题解析：（1）证明：如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴AD AC=，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．（2）证明：如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．（3）解：如图3中，连接OC ．设⊙O 的半径为r ．在Rt △AHC 中，tan ∠ACH =tan ∠G =AH HC =34，∵AH =33，∴HC =43，在Rt △HOC 中，∵OC =r ，OH =r ﹣33，HC =43，∴222(33)(43)r r -+=，∴r =2536，∵GM ∥AC ，∴∠CAH =∠M ，∵∠OEM =∠AHC ，∴△AHC ∽△MEO ，∴AH HC EM OE =，∴33432536EM =，∴EM =2538． 点睛：本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．3．如图，AB 为O 的直径，弦//CD AB ，E 是AB 延长线上一点，CDB ADE ∠=∠． ()1DE 是O 的切线吗？请说明理由；()2求证：2AC CD BE =⋅．【答案】（1）结论：DE 是O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD ，只要证明OD DE ⊥即可；（2）只要证明：AC BD =，CDB DBE ∽即可解决问题.【详解】()1解：结论：DE 是O 的切线．理由：连接OD ．CDB ADE ∠=∠，ADC EDB ∴∠=∠，//CD AB ，CDA DAB ∴∠=∠，OA OD =，OAD ODA ∴∠=∠，ADO EDB ∴∠=∠， AB 是直径，90ADB ∴∠=，90ADB ODE ∴∠=∠=，DE OD ∴⊥，DE ∴是O 的切线．()2//CD AB ，ADC DAB ∴∠=∠，CDB DBE ∠=∠，AC BD ∴=，AC BD ∴=，DCB DAB ∠=∠，EDB DAB ∠=∠，EDB DCB ∴∠=∠，CDB ∴∽DBE ，CD DB BD BE∴=， 2BD CD BE ∴=⋅，2AC CD BE ∴=⋅．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.4．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.5．如图，已知⊙O 的半径为1，PQ 是⊙O 的直径，n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ 对称，其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合，第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点，…，最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a 1=_____；如图2，当n=2时，正三角形的边长a 2=_____；如图3，正三角形的边长a n =_____（用含n 的代数式表示）．38313 24313n+ 【解析】 分析：（1）设PQ 与11B C 交于点D ，连接1B O ，得出OD=1A D -O 1A ，用含1a 的代数式表示OD ，在△O 1B D 中，根据勾股定理求出正三角形的边长1a ；（2）设PQ 与2B 2C 交于点E ，连接2B O ，得出OE=1A E-O 1A ，用含2a 的代数式表示OE ，在△O 2B E 中，根据勾股定理求出正三角形的边长2a ；（3）设PQ 与n B n C 交于点F ，连接n B O ，得出OF=1A F-O 1A ，用含an 的代数式表示OF ，在△O n B F 中，根据勾股定理求出正三角形的边长an ． 本题解析：(1)易知△A 1B 1C 1的高为323 ∴a 13.(2)设△A 1B 1C 1的高为h ，则A 2O ＝1－h ，连结B 2O ，设B 2C 2与PQ 交于点F ，则有OF ＝2h －1. ∵B 2O 2＝OF 2＋B 2F 2，∴1＝(2h －1)2＋2212a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∵h 32，∴1＝32－1)2＋14a 22， 解得a 283 . (3)同(2)，连结B n O ，设B n C n 与PQ 交于点F ，则有B n O 2＝OF 2＋B n F 2，即1＝(nh －1)2＋212n a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵h ＝32 a n ，∴1＝14a n 2＋2312n na ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 解得a n ＝24331n n + .6．如图1，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过O 点作OF ⊥AB 交⊙O 于点D ，交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，点G 是EF 的中点，连接CG(1)判断CG 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：2OB 2＝BC •BF ；(3)如图2，当∠DCE ＝2∠F ，CE ＝3，DG ＝2.5时，求DE 的长．【答案】（1）CG 与⊙O 相切，理由见解析；（2）见解析；（3）DE ＝2【解析】【分析】（1）连接CE ，由AB 是直径知△ECF 是直角三角形，结合G 为EF 中点知∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，再由OA ＝OC 知∠OCA ＝∠OAC ，根据OF ⊥AB 可得∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，据此即可得证；（2）证△ABC ∽△FBO 得BC AB BO BF =，结合AB ＝2BO 即可得； （3）证ECD ∽△EGC 得EC ED EG EC =，根据CE ＝3，DG ＝2.5知32.53DE DE =+，解之可得．【详解】解：（1）CG 与⊙O 相切，理由如下：如图1，连接CE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACF ＝90°，∵点G 是EF 的中点，∴GF ＝GE ＝GC ，∴∠AEO ＝∠GEC ＝∠GCE ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC ，∵OF ⊥AB ，∴∠OAC +∠AEO ＝90°，∴∠OCA +∠GCE ＝90°，即OC ⊥GC ，∴CG 与⊙O 相切；（2）∵∠AOE ＝∠FCE ＝90°，∠AEO ＝∠FEC ，∴∠OAE ＝∠F ，又∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△FBO ， ∴BC AB BO BF=，即BO •AB ＝BC •BF ， ∵AB ＝2BO ，∴2OB 2＝BC •BF ；（3）由（1）知GC ＝GE ＝GF ，∴∠F ＝∠GCF ，∴∠EGC ＝2∠F ，又∵∠DCE ＝2∠F ，∴∠EGC ＝∠DCE ，∵∠DEC ＝∠CEG ，∴△ECD ∽△EGC ， ∴EC ED EG EC=， ∵CE ＝3，DG ＝2.5， ∴32.53DE DE =+，整理，得：DE2+2.5DE﹣9＝0，解得：DE＝2或DE＝﹣4.5（舍），故DE＝2．【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定与性质及直角三角形的性质等知识点．7．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，3PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，3 ，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=123 ，3， 在Rt △DEP 中，∵37∴22(7)(3)- =2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE ，∠BED=∠AEC ，∴△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=17 ，∴AE=577∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ， ∴BE AE DF AD= ，即5757125DF = ， 解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=123， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯-3﹣2π．【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．8．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）233π- 【解析】【分析】 （1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD ．∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ．∵∠OAD =∠DAC ，∴∠ODA =∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB =∠C =90°，∴OD ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．∵AE DE =，∴OE ⊥AD ．∵∠OAK =∠EAK ，AK =AK ，∠AKO =∠AKE =90°，∴△AKO ≌△AKE ，∴AO =AE =OE ，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE =60°，∴S 阴=S 扇形OAE ﹣S △AOE 260233604π⋅⋅=-⨯22233π=． 【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF ＝3，求阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）6334π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC ，如图，∵PC 切⊙O 于点C ，∴OC ⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC ；（2）连接OE ，如图，∵△ACB 中，∠ACB ＝90º,∠CAB ＝2∠B,∴∠B ＝30º,∠CAB ＝60º,∴△OCA 是等边三角形，∵CD ⊥AB,∴∠ACD+∠CAD ＝∠CAD ＋∠ABC ＝90º,∴∠ACD ＝∠B ＝30º,∵PC ∥AE,∴∠PCA ＝∠CAE ＝30º,∴FC=FA,同理，CF ＝FM,∴AM ＝2CF=23,Rt △ACM 中，易得AC=23×32=3＝OC, ∵∠B ＝∠CAE ＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG ⊥AB 交AB 于G 点，如图所示，∵OA=OB,∴MO ⊥AB,∴MO ＝3∵△CDO ≌△EDO(AAS)，∴332 ∴1332ABM S AB MO ∆=⨯= 同样，易求93AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形933633332ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.10．如图1，等腰直角△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，过点A ，C 的圆交AB 于点D ，交BC于点E ，连结DE（1）若AD=7，BD=1，分别求DE ，CE 的长（2）如图2，连结CD ，若CE=3，△ACD 的面积为10，求tan ∠BCD（3）如图3，在圆上取点P 使得∠PCD=∠BCD （点P 与点E 不重合），连结PD ，且点D 是△CPF 的内心①请你画出△CPF ，说明画图过程并求∠CDF 的度数②设PC=a ，PF=b ，PD=c ，若（a-2c ）（b-2c ）=8，求△CPF 的内切圆半径长．【答案】（1）DE=1，CE=32；（2）tan ∠BCD=14；（3）①135°；②2. 【解析】【分析】 （1）由A 、C 、E 、D 四点共圆对角互补为突破口求解；（2）找∠BDF 与∠ODA 为对顶角，在⊙O 中，∠COD=2∠CAD ，证明△OCD 为等腰直角三角形，从而得到∠EDC+∠ODA=45°，即可证明∠CDF=135°；（3）过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB 的延长线于点F ，结合圆周角定理得出∠CPD=∠CAD=45°，再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出∠CPF=90°，然后根据角平分线性质得出114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明∠DCF+∠CFD=45°，从而证明∠CPF 是直角，再求证四边形PKDN 是正方形，最后以△PCF 面积不变性建立等量关系，结合已知（a-2c ）（b-2c ）=8，消去字母a ，b 求出c 值，即求出△CPF 的内切圆半径长为22c ． 【详解】（1）由图可知：设BC=x ．在Rt △ABC 中，AC=BC ．由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∵AB=AD+BD ，AD=7，BD=1，∴x 2+x 2=82，解得：x=42． ∵⊙O 内接四边形，∠ACD=90°，∴∠ADE=90°，∴∠EDB=90°，∵∠B=45°，∴△BDE 是等腰直角三形．∴DE=DB ，又∵DB=1，∴DE=1，又∵CE=BC-BE ，∴CE=42232-=．（2）如图所示：在△DCB 中过点D 作DM ⊥BE ，设BE=y ，则DM=12y ， 又∵CE=3，∴BC=3+y ，∵S △ACB =S ACD +S DCB ， ∴()1114242103y y 222⨯=+⨯+⨯， 解得：y=2或y=-11（舍去）．∴EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又∵∠BCD=∠MCD ，∴tan ∠BCD=tan ∠MCD ， 在Rt △DCM 中，tan ∠MCD=DM CM =14， ∴tan ∠BCD=14． （3）①如下图所示：过点D 做DH CB ⊥于点H ，以D 为圆心，DH 为半径画圆，过点P 做D 切线PF 交CB的延长线于点F ．∵∠CAD=45°，∴∠CPD=∠CAD=45°，又∵点D 是CPF ∆的内心，∴PD 、CD 、DF 都是角平分线，∴∠FPD=∠CPD =45°，∠PCD=∠DCF ，∠PFD=∠CFD∴∠CPF=90°∴∠PCF+∠PFC=90° ∴114522DCF CFD PCF PFC ∠+∠=∠+∠=︒ ∴∠CDF=180°-∠DCF-∠CFD F=90°+45°=135°，即∠CDF 的度数为135°．②如下图所示过点D 分别作DK ⊥PC ，DM ⊥CF ，DN ⊥PF 于直线PC ，CF 和PF 于点K ，M ，N 三点， 设△PCF 内切圆的半径为m ，则DN=m ，∵点D 是△PCF 的内心，∴DM=DN=DK ，又∵∠DCF+∠CFD+∠FDC=180°，∠FDC=45°，∴∠DCF+∠CFD=45°，又∵DC ，DF 分别是∠PCF 和∠PFC 的角平分线，∴∠PCF=2∠DCF ，∠PFC=2∠DFC ，∴∠PCF+∠PFC=90°，∴∠CPF=90°．在四边形PKDN 中，∠PND=∠NPK=∠PKD=90°，∴四边形PKDN 是矩形，又∵KD=ND ，∴四边形PKDN 是正方形．又∵∠MBD=∠BDM=45°，∠BDM=∠KDP ，∴∠KDP=45°．∵PC=a ，PF=b ，PD=c ，∴PN=PK=C 2，∴NF=b c 2-，CK=a c 2-， 又∵CK=CM ，FM=FN ，CF=CM+FM ，∴CF=a b +，又∵S △PCF =S △PDF +S △PDC +S △DCF ，∴1111ab a c b c (a b 222222=⨯+⨯++-）×c 2，化简得：)2a b c c +-------（Ⅰ），又∵若（c ）（c ）=8化简得：()2ab a b 2c 8++=------（Ⅱ）， 将（Ⅰ）代入（Ⅱ）得：c 2=8，解得：c =c =-∴2==， 即△CPF 的内切圆半径长为2．【点睛】本题考查圆的内接四边形性质，圆的内心，圆心角、圆周角，同弧（或等弧）之间的相互关系，同时也考查直角三角形，勾股定理，同角或等角的三角函数值相等和三角形的面积公式，正方形，对顶角和整式的运算等知识点；难点是作辅助线和利用等式求△CPF 的内切圆半径长．11．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，弦BD 平分∠ABC 交AC 于F ，弦DE ⊥AB 于H ，交AC 于G ．①求证：AG ＝GD ；②当∠ABC 满足什么条件时，△DFG 是等边三角形？③若AB＝10，sin∠ABD＝35，求BC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由见解析；（3）BC的长为145．【解析】【分析】（1）首先连接AD，由DE⊥AB，AB是O的直径，根据垂径定理，即可得到AD AE=，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，证得∠ADE＝∠ABD，又由弦BD平分∠ABC，可得∠DBC＝∠ABD，根据等角对等边的性质，即可证得AG=GD；（2）当∠ABC=60°时，△DFG是等边三角形，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角与三角形的外角的性质，易求得∠DGF=∠DFG=60°，即可证得结论；（3）利用三角函数先求出tan∠ABD34=，cos∠ABD＝45，再求出DF、BF，然后即可求出BC.【详解】（1）证明：连接AD，∵DE⊥AB，AB是⊙O的直径，∴AD AE=，∴∠ADE＝∠ABD，∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠DBC＝∠DAC，∴∠ADE＝∠DAC，∴AG＝GD；（2）解：当∠ABC＝60°时，△DFG是等边三角形．理由：∵弦BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝30°，∴∠DFG＝∠FAB+∠DBA＝60°，∵DE⊥AB，∴∠DGF＝∠AGH＝90°﹣∠CAB＝60°，∴△DGF 是等边三角形；（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝∠ACB ＝90°，∵∠DAC ＝∠DBC ＝∠ABD ，∵AB ＝10，sin ∠ABD ＝35， ∴在Rt △ABD 中，AD ＝AB•sin ∠ABD ＝6，∴BD ＝22AB BD -＝8，∴tan ∠ABD ＝34AD BD =，cos ∠ABD ＝4=5BD AB ， 在Rt △ADF 中，DF ＝AD•tan ∠DAF ＝AD•tan ∠ABD ＝6×34＝92， ∴BF ＝BD ﹣DF ＝8﹣92＝72， ∴在Rt △BCF 中，BC ＝BF•cos ∠DBC ＝BF•cos ∠ABD ＝72×45＝145． ∴BC 的长为：145．【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意辅助线的作法．12．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，过点C 的切线交AB 的延长线于点F ，连接DF .（1）求证：DF 是O 的切线；（2）连接BC ，若30BCF ∠=︒，2BF =，求CD 的长.【答案】（1）见解析；（2）3【解析】【分析】(1) 连接OD,由垂径定理证OF为CD的垂直平分线，得CF=DF，∠CDF=∠DCF，由∠CDO=∠OCD，再证∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，可得OD⊥DF，结论成立.(2) 由∠OCF=90°, ∠BCF=30°，得∠OCB=60°，再证ΔOCB为等边三角形，得∠COB=60°，可得∠CFO=30°，所以FO=2OC=2OB，FB=OB= OC =2，在直角三角形OCE中，解直角三角形可得CE,再推出CD=2CE.【详解】（1）证明：连接OD∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF∴∠CDF=∠DCF∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO +∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°∴OD⊥DF∴DF是⊙O的切线（2）解：连接OD∵∠OCF=90°, ∠BCF=30°∴∠OCB=60°∵OC=OB∴ΔOCB为等边三角形，∴∠COB=60°∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB∴FB=OB= OC =2在直角三角形OCE中，∠CEO=90°∠COE=60°CE3∠==sin COEOC2∴CF3==∴CD=2 CF23【点睛】本题考核知识点：垂径定理，切线，解直角三角形. 解题关键点：熟记切线的判定定理，灵活运用含有30°角的直角三角形性质，巧解直角三角形.13．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝36．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴CD＝AE，∵EC＝EA，∴AC＝2CD．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.14．设C 为线段AB 的中点，四边形BCDE 是以BC 为一边的正方形，以B 为圆心，BD 长为半径的⊙B 与AB 相交于F 点，延长EB 交⊙B 于G 点，连接DG 交于AB 于Q 点，连接AD ．求证：（1）AD 是⊙B 的切线；（2）AD ＝AQ ；（3）BC 2＝CF×EG ．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】()1连接BD ，由DC AB ⊥，C 为AB 的中点，由线段垂直平分线的性质，可得AD BD =，再根据正方形的性质，可得90ADB ∠=；()2由BD BG =与//CD BE ，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得122.52G CDG BDG BCD ∠=∠=∠=∠=，继而求得67.5ADQ AQD ∠=∠=，由等角对等边，可证得AD AQ =； ()3易求得67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，即可证得Rt DCF ∽Rt GED ，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．【详解】证明：()1连接BD ，四边形BCDE 是正方形，45DBA ∴∠=，90DCB ∠=，即DC AB ⊥，C 为AB 的中点，CD ∴是线段AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，45DAB DBA ∴∠=∠=，90ADB ∴∠=，即BD AD ⊥，BD 为半径，AD ∴是B 的切线；()2BD BG =，BDG G ∴∠=∠，//CD BE ，CDG G ∴∠=∠，122.52G CDG BDG BCD ∴∠=∠=∠=∠=， 9067.5ADQ BDG ∴∠=-∠=，9067.5AQB BQG G ∠=∠=-∠=， ADQ AQD ∴∠=∠，AD AQ ∴=；()3连接DF ，在BDF 中，BD BF =，BFD BDF ∴∠=∠，又45DBF ∠=，67.5BFD BDF ∴∠=∠=，22.5GDB ∠=， 在Rt DEF 与Rt GCD 中，67.5GDE GDB BDE DFE ∠=∠+∠==∠，90DCF E ∠=∠=，Rt DCF ∴∽Rt GED ，CF CD ED EG∴=， 又CD DE BC ==，2BC CF EG ∴=⋅．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．15．如图1，D 是⊙O 的直径BC 上的一点，过D 作DE ⊥BC 交⊙O 于E 、N ，F 是⊙O 上的一点，过F 的直线分别与CB 、DE 的延长线相交于A 、P ，连结CF 交PD 于M ，∠C ＝12∠P ． （1）求证：PA 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝30°，⊙O 的半径为4，DM ＝1，求PM 的长；（3）如图2，在（2）的条件下，连结BF 、BM ；在线段DN 上有一点H ，并且以H 、D 、C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求DH 的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）PM ＝43﹣2；（3）满足条件的DH 的值为632- 或122311+． 【解析】【分析】（1）如图1中，作PH ⊥FM 于H ．想办法证明∠PFH=∠PMH ，∠C=∠OFC ，再根据等角的余角相等即可解决问题；（2）解直角三角形求出AD ，PD 即可解决问题；（3）分两种情形①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF =． ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF=，分别构建方程即可解决问题； 【详解】（1）证明：如图1中，作PH ⊥FM 于H ．∵PD ⊥AC ，∴∠PHM ＝∠CDM ＝90°，∵∠PMH ＝∠DMC ，∴∠C ＝∠MPH ，∵∠C ＝12∠FPM ，∴∠HPF ＝∠HPM ， ∵∠HFP+∠HPF ＝90°，∠HMP+∠HPM ＝90°，∴∠PFH ＝∠PMH ，∵OF ＝OC ，∴∠C ＝∠OFC ，∵∠C+∠CMD ＝∠C+∠PMF ＝∠C+∠PFH ＝90°，∴∠OFC+∠PFC ＝90°，∴∠OFP ＝90°，∴直线PA 是⊙O 的切线．（2）解：如图1中，∵∠A ＝30°，∠AFO ＝90°，∴∠AOF ＝60°，∵∠AOF ＝∠OFC+∠OCF ，∠OFC ＝∠OCF ，∴∠C ＝30°，∵⊙O 的半径为4，DM ＝1，∴OA ＝2OF ＝8，CD ＝3DM ＝3 ，∴OD ＝OC ﹣CD ＝4﹣3 ，∴AD ＝OA+OD ＝8+4﹣3 ＝12﹣3 ，在Rt △ADP 中，DP ＝AD•tan30°＝（12﹣3 ）×33 ＝43 ﹣1， ∴PM ＝PD ﹣DM ＝4 3﹣2．（3）如图2中，由（2）可知：BF ＝12BC ＝4，FM 3BF ＝3，CM ＝2DM ＝2，CD 3 ， ∴FM ＝FC ﹣CM ＝3﹣2， ①当△CDH ∽△BFM 时，DH CD FM BF = ， ∴34432=- ，∴DH ＝632 ②当△CDH ∽△MFB 时，DH CD FB MF =， ∴34432DH =-，∴DH 1223+ ， ∵DN ()22443833--=-，∴DH ＜DN ，符合题意，综上所述，满足条件的DH 的值为62- 或1211+． 【点睛】 本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题.。
初三圆10大经典题与必考题1--- 所有人必做
初三圆10大经典题与必考题( 必考题，画图务必要大)1,如图，PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C ，⊙O 的半径长为6 cm ，PO ＝10 cm ，则△PDE 的周长是______．（必考题）2，如图所示，AB 是圆O 的一条弦，OD AB ⊥，垂足为C ，交圆O 于点D ，点E 在圆O 上．（1）若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数； （2）若3OC =，5OA =，求AB 的长．（必考题，注意中点问题所有知识）3，如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥AB ，PO 过AC 的中点M ．试说明：PC 是⊙O 的切线．EB D CAO 第 1 题图BOC PM图4（必考题）4，如图所示，ABC △是直角三角形，90ABC ∠=，以AB 为直径的圆○交AC 于点E ，点D 是BC 边的中点，连结DE ． （1）请说明：DE 与圆○相切；（2）若圆O 的半径为3，3DE =，求AE ．（经典题，涉及圆和旋转两章内容，所以非常重要）5，把直角△ABC 的斜边AC 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A2B2C2的位置，设AB=3，BC=1，则顶点A 运动到点A2的位置时，点A 所经过的路线为( )A 、（1225+23）π B 、（34 +23）πC 、2πD 、3π（经典题，难度不大）6，如图，线段AB 经过圆心O ，交圆O 于点A,C ，点D 在圆O 上，连接AD ，BD ， ∠A=∠B=30度．BD 是圆O 的切线吗？请说明理由．CE A O AA 1A 22BC C 2B 1 图6l（基础题，容易忽视的问题）7，已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点D ，与AC•交于点E ，请说明：△DEC 为等腰三角形．（必考题）8，已知：如图，AB 是⊙O 的切线，切点为A ，OB 交⊙O 于C 且C 为OB 中点，过C 点的弦CD 使∠ACD ＝45°，弧AD 的长为22， 求弦AD 、AC 的长．ABCD·O45°（必考题）9，如图所示，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，且，∠°（1）求证：CD 是O ⊙的切线；（2）若O ⊙的半径为2，求图中阴影部分的面积.（经典题，偏难题）10，如图所示，ABC △是的内接三角形，AC BC =，D 为中上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．ＣＥＡＯＤＢ第10题图第9题图王老师总结数学应试绝招让您小孩瞬间提高20分（下面总结最好能贴在墙上每天看一遍）(应试技巧训练与知识讲解同步，应试技巧直接关系考试分数以及考试稳定性，尤其大型考试，考试的稳定性至关重要，你平时都考140，关键时刻未必就考140.所以考试应试技巧和专注性乃教学重中之重，尤其是冲刺考试或毕业考试前夕应试技巧训练和专注性训练极为关键，1分决定小孩命运 )①坐姿端正②安静③双手放在桌上④相信第一感觉，第一感觉如果觉得其题不确定说明此题50%是错的，先做上记号，后面重点检查，谨记此条，解题命中率迅速提高到90%，会做的基本不会错；⑤左手指着题目，眼睛睁大点，头稍微低下；⑥字写端正，写字有力；⑦计算要有停顿与回头，这点非常重要，一步三回头是计算最基本的规律与方法，不能到最后做完整卷再检查，第一次不检查，后面很难检查出来，相信第一感觉；⑧循环解题法，先易后难；做第一遍时不会立刻放下，不断循环做，先做稍微简单一些的题，此条可以保证考试正常发挥，由易到难，心态平和不紧张；⑨最后检查单位是否有写，步骤是否完整，审题是否出错，数字是否正常，重点检查第一次做记号的题目；⑩选择、填空要活用特值法、代入法；【欢迎致电交流王老师工作室---】王老师： QQ：409216344地址 :1. 体育西路113号301室（地铁C出口旁）2. 天河北路朝晖商业大厦232（地铁林和西D出口）3. 五山路446号工商银行楼上(五山地铁C出口旁）4. 海珠区新港西路89号二层（地铁中大站B出口)【周日下午2点有初三数学免费公开课欢迎家长过来试听，王老师亲自授课】学数学定找王老师--益人教育(主打初高中数学)王老师个人介绍：湖北咸宁人，华工数学专业毕业硕士毕业，专职从事小初高数学辅导以及竞赛多年（今年有4个学生数学竞赛拿奖，1学生考上华附奥数班，1个学生考上华附AP班，多名学生考入重本），本人教学极为自信，对数学专注性方面非常有研究，讲课很幽默,任何学生都喜欢我的课堂）本人做事认真投入，很用心，很疯狂，很喜欢总结（我自己总结的教学方法与学习方法有10多小本，总结已经成为我的一种习惯），有自己整套系统教材，本人教学计划很周详，做事特别慎重，本人尤其重视每次教学，我一直感觉如果我们每次教学都像大考前一次教学那样慎重必然有非常大的进步，每个细节我们都要注意到。
初三圆试题及答案数学
初三圆试题及答案数学初三数学圆的试题及答案如下：1. 已知圆的半径为5，求圆的面积。
答案：圆的面积公式为A=πr²，将半径r=5代入公式，得到A=π×5²=25π。
2. 若点A(3,4)在圆x²+y²=25内，则该圆的直径是多少？答案：点A(3,4)在圆x²+y²=25内，说明该点到圆心的距离小于半径。
圆的半径为5，因此直径为2×5=10。
3. 已知圆的直径为10，求该圆的周长。
答案：圆的周长公式为C=πd，将直径d=10代入公式，得到C=π×10=10π。
4. 已知圆的周长为6π，求该圆的半径。
答案：圆的周长公式为C=2πr，将周长C=6π代入公式，得到6π=2πr，解得r=3。
5. 已知圆的半径为4，求该圆的直径。
答案：圆的直径为半径的2倍，因此直径d=2×4=8。
6. 已知圆的直径为12，求该圆的面积。
答案：圆的半径为直径的一半，即r=12÷2=6。
将半径代入面积公式A=πr²，得到A=π×6²=36π。
7. 若点B(-2,-3)在圆x²+y²=16外，则该圆的半径是多少？答案：点B(-2,-3)在圆x²+y²=16外，说明该点到圆心的距离大于半径。
圆的半径为4，因此该点到圆心的距离大于4。
8. 已知圆的半径为5，求该圆的直径。
答案：圆的直径为半径的2倍，因此直径d=2×5=10。
9. 已知圆的周长为8π，求该圆的半径。
答案：圆的周长公式为C=2πr，将周长C=8π代入公式，得到8π=2πr，解得r=4。
10. 已知圆的直径为8，求该圆的面积。
答案：圆的半径为直径的一半，即r=8÷2=4。
将半径代入面积公式A=πr²，得到A=π×4²=16π。
以上就是初三数学圆的试题及答案，涵盖了圆的面积、周长、半径和直径等基本概念和计算方法。
初三圆经典真题及答案详解
初三圆经典真题及答案详解圆经典重难点真题一、选择题（共10小题）1.（2015•安顺）如右图，$\odot O$的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，$\angle A=22.5^\circ$，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.82.（2015•酒泉）$\triangle ABC$为$\odot O$的内接三角形，若$\angle AOC=160^\circ$，则$\angle ABC$的度数是（）A.80°B.160°C.100°D.80°或100°3.（2015•兰州）如右图，已知经过原点的$\odot P$与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则$\angle ACB=$A.80°B.90°C.100°D.无法确定4.（2015•包头）如右图，在$\triangle ABC$中，AB=5，AC=3，BC=4，将$\triangle ABC$绕点A逆时针旋转30°后得到$\triangle ADE$，点B经过的路径为$\pi$，则图中阴影部分的面积为（）5.（2015•XXX自主招生）如右图，直径为10的$\odotA$经过点C（，5）和点O（，0），B是y轴右侧$\odot A$优弧上一点，则$\angle OBC$的正弦值为（）A。
$\frac{1}{2}$ B。
$\frac{\sqrt{3}}{2}$ C。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$ D。
$\frac{1}{\sqrt{2}}$6.（2015•XXX自主招生）将AB于点D折叠，若AD=4，DB=5，则BC的长是（）A.3B.8C.5D.27.（2015•齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是（）A.8≤AB≤10B.8＜AB≤10C.4≤AB≤5D.4＜AB≤58.（2015•衢州）如右图，已知$\triangle ABC$，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的$\odot O$的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则$\odot O$的半径是（）A.3B.4C.5D.69.（2014•舟山）如图，$\odot O$的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）A.2B.4C.6D.810.（2015•海南）如右图，将$\odot O$沿弦AB折叠，圆弧恰好经过圆心O，点P是优弧上一点，则$\angle APB$的度数为（）A.45°B.30°C.75°D.60°二、填空题（共5小题）11.（2015•黔西南州）如右图，AB是$\odot O$的直径，CD为$\odot O$的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则$\odot O$的半径为______。
初三圆的经典题型练习题
初三圆的经典题型练习题题一：已知半径为8 cm 的圆的周长是多少？解析：圆的周长公式为C=2πr，其中π约等于3.14，r为半径。
代入已知数据可得C=2×3.14×8=50.24 cm。
题二：已知半径为10 cm 的圆的面积是多少？解析：圆的面积公式为A=πr²，其中π约等于3.14，r为半径。
代入已知数据可得A=3.14×(10²)=314 cm²。
题三：已知半径为6 cm 的圆的直径是多少？解析：圆的直径是半径的两倍，即直径=2r。
代入已知数据可得直径=2×6=12 cm。
题四：已知圆的周长为18.84 cm，求其半径和直径分别是多少？解析：圆的周长公式为C=2πr，其中π约等于3.14，r为半径。
由已知周长可得18.84=2×3.14×r，解得r≈3 cm。
圆的直径是半径的两倍，即直径=2r，所以直径≈6 cm。
题五：已知圆的面积为254.34 cm²，求其半径和直径分别是多少？解析：圆的面积公式为A=πr²，其中π约等于3.14，r为半径。
由已知面积可得254.34=3.14×r²，解得r≈9 cm。
圆的直径是半径的两倍，即直径=2r，所以直径≈18 cm。
题六：已知圆的直径为14 cm，求其周长和面积分别是多少？解析：圆的周长公式为C=2πr，其中π约等于3.14，r为半径。
由已知直径可得半径=r/2=14/2=7 cm。
代入公式可得C=2×3.14×7≈43.96 cm。
圆的面积公式为A=πr²，代入半径可得A=3.14×(7²)≈153.86 cm²。
题七：已知圆的半径为5 cm，求其周长和面积分别是多少？解析：圆的周长公式为C=2πr，其中π约等于3.14，r为半径。
代入已知数据可得C=2×3.14×5≈31.4 cm。
初三上册圆的圆周角练习题
初三上册圆的圆周角练习题在初三数学的课程中，圆的相关概念和性质是学生们需要掌握的重要内容之一。
其中，圆周角作为圆的一个重要性质，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将为大家提供一些圆周角练习题，帮助大家巩固和提升对圆周角的理解和运用。
1.已知半径为r的圆上有两条弧AB和CD，弧AB对应的圆心角为α，弧CD对应的圆心角为β。
如果α+β=90°，求证：弧AB和弧CD的长度相等。
解答：由于α+β=90°，根据圆周角和的性质可知，弧AB和弧CD所对应的弧度和为π/2，即AB+CD=π/2。
又由于AB和CD是同一圆上的两条弧，因此它们的弧长相等，即AB=CD。
2.已知圆心角θ对应的圆弧长度为s，圆的半径为r。
求证：θ的度数等于s/r的弧度数。
解答：根据圆周等分的原理，360°对应于2π的弧度数。
假设θ对应的弧度数为x，那么x/2π=θ/360°。
根据题目已知条件，s/r=x/2π，两边乘以360°得到s/r=θ。
3.已知直径为d的圆上的两条弧AB和CD，弧AB对应圆心角为α，弧CD对应圆心角为β。
如果α和β的度数之和等于180°，求证：弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。
解答：由题意可知，α+β=180°，根据圆周角和的性质可得，AB+CD=π，即弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。
通过以上的练习题，我们可以更深入地了解和应用圆的圆周角的性质。
在解题过程中，需要灵活运用和转化弧度和度数的关系、圆周角和的性质等概念。
只有真正理解并掌握这些概念，才能在数学问题中正确地运用它们。
圆周角作为圆的一个重要性质，不仅存在于初三数学中，也在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在建筑中，为了保证圆形构件的连接稳定，需要正确地计算和设计圆周角。
因此，对圆周角的学习不仅仅是应试的需要，更是培养学生逻辑思维和数学运算能力的重要一环。
通过不断练习和巩固，相信大家在初三数学中的圆的圆周角问题上将能够得心应手，取得良好的成绩。
圆的经典例题 适合中上学生
圆的经典例题
例一：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．
例二：(2010·陕西)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，斜边AC的垂直平分线交BC 于点D，交AC于点E，连结BE.
(1)若BE是△DEC外接圆的切线，求∠C的大小；
(2)若AB＝1，BC＝2时，求△DEC外接圆的半径．
例三、如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连结AB并延长交⊙O2于点C，连结O2C.
(1)求证：O2C⊥O1O2；
(2)证明：AB·BC＝2O2B·BO1；
例四、
1、将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．
2、如图是圆心角为30°，半径分别是1、
3、5、7、……的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、……，则S50＝________(结果保留π)．
例五、如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB 相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．。
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是___________。
7.
已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高
CD=4cm，那么拱形的半径是___________。
8. 若PA是⊙O的切线，A为切点，割线PBC交⊙O于B，若BC=20， PA=，则PC的长为___________。
9．如图5，△内接于⊙O，点是上任意一点（不与重合），的取值范
∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD
例5. 于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？
在同一条直线上，在
中，若
，
，
，则斜边
旋转到
所扫过的扇形面积为
．
C B A （15题图） O A D P E B C （第17题图）
17．如图，从圆O外一点 引圆O的两条切线 ，切点分别是 ，若 ， 是
上的一个动点（点
与
两点不重合），过点
作圆O的切线，分别交
于点
，则
的周长是
．
18、在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与
图7
（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；
（2）由于图纸中圆的半径的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中是 坡面的坡度），求的值． 第12题图 C O B A D M E N
12．已知，如图，直线 交 于 两点， 是直径， 平分 交 于 ，过
作 于 ． （1）求证： 是 的切线； （2）若 cm， cm，求 的半径．
同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交 于D，
（1）求证：△ABC是直角三角形；
分析： 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线；
（2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB， ∴△ADF
旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积
．（
取3.14，结果保留两个有效数字）
14．如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，，则阴影部分的面积为 图8 第14题图 f A B C
A O B N M
15．如图，
是
的直径，
为弦，
，过
点的
的切线交
延长线于点
．若
，则
的半径为 16．如图，
cm．
是由
绕
点顺时针旋转而得，且点
5、（８分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边 AB相交于点D，切线DE⊥AC，垂足为点E． A
D
B O C E
求证：（1）△ABC是等边三角形；（2）．
6、已知：如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交 于点，且．
D C O A B E （1）判断直线与的位置关系，并证明你的结论； （2）若，，求的长．
线长为___________。
4.
如图所示CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于M，则可得出
AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：
___________。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5. ⊙O1与⊙O2的半径分别是3和4，圆心距为，那么这两圆的公切线的条
数是___________。
6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积
分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使 ∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。
解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则∠OCA=∠FAH， ∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH， ∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。
即AD2=DE·DF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什 么条件时，PC与⊙O相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探 索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为 条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。
例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的 值。
是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． C A B E F M N 图① C A B E F M N 图②
9．如图， 内接于 ，过点 的直线交 于点 ，交 的延长线于点 ， ．（1）求证： ；（2）如果 ， 的半径为1，且 为 的中点，求 的长．
10．(本题满分10分)已知：如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直 径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC．连结DE，DE=.
分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证 ∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则 ∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。
（2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直 观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上， 连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故 CA=CD，可得结论CO2⊥AD。
点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定 理，得到相等线段。
例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上， （1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证 CO2⊥AD；
（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C， 那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。
⊙O的位置关系是
.
19．如图8，在
中，
．将其绕
点顺时针旋转一周，则分别以
为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为
．
20．如图9，点
是
上两点，
，点
是
上的动点（
与 不重合）连结 ，过点 分别作 于点 ， 于点 ，则
． A C B 图8 A E O F B P 图9
三、解答题：
1. 已知：如图所示，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过B点作⊙O1的切 线交⊙O2于D，连结DA并延长与⊙O1相交于C点，连结BC。过A点作 AE∥BC与⊙O2相交于E点，与BD相交于F点。
分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切 的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性 质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。
解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC ∴AB、DC切⊙O于点B和点C， ∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x，
解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E
又∵AD=DC
∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA
例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ）
分析：
解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90° 又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在△AO2C与△DO2C中
∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB ∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD， ∴△CAD为等腰三角形， ∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。
围是
．
10．如图，量角器外沿上有A、B两点，它们 的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为 .
（第9题图）
° ° O
11．已知的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系
是
．
12．如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧
的三等分点，
，则
的度数为
．
13．如图，
中
，
，
．将
绕
所在的直线
7、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点， （Ⅰ）求
的度数；（Ⅱ）若
cm，
cm，求OE的长．
8、已知Rt△ABC中，
，
，有一个圆心角为
，半径的长等于
的扇形
绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线
交于点M，N． （Ⅰ）当扇形
绕点C在
的内部旋转时，如图①，求证：
；
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式
（1）求证：EF·BC=DE·AC； （2）若AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于 管理和美观，相同颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相 同，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。 请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图，不写作法）。 3. 已知：△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P 为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于 点F。 （1）如图所示，当点P在线段AB上时，求证：PA·PB=PE·PF； （2）当点P为线段BA延长线上一点时，第（1）题的结论还成立吗？ 如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； （3）若AB，求⊙O的半径。 4．如图，是的内接三角形，点是优弧上一点（点不与重合），设，． （1）当时，求的度数；（2）猜想与之间的关系，并给予证明．