数学七年级下册《多边形的内角和与外角和》教案

9．2多边形的内角和与外角和
【课标要求】
知识与技能
1．理解多边形的概念和正多边形的概念．
2．了解多边形的内角、外角、对角线等概念.3、在熟悉和掌握多边形内角和定理的基础上，推理并掌握多边形的外角和定理．
过程与方法
经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会和别人交流自己的思想和方法．
情感态度价值观
让学生体验猜想得到证实的喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学中充满着探索和创造．
【教学重难点】
重点：多边形内角和定理的探索和应用．
难点：多边形的内角和，外角和定理的推导．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形吗？三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？
教学说明
把学生的注意力自然的引入研究方向，为课题的研究做铺垫．
【思考探究，获取新知】
探究1多边形的概念
三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：△ABC.
四边形是由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：四边形ABCD.
五边形是由五条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形．记作：五边形ABCDE.
一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
注意：①我们现在只研究多边形，如图(2)，(3)；
②图(4)也是多边形，但不是我们现在研究范围．
③与三角形类似，如图(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，∠CBE和∠ABF都是与∠ABC相邻的外角，两者互为对顶角，称为一对外角．
探究2 正多边形
如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形． 如：正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等．
连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． 探究3 多边形的内角和
我们知道三角形的三个内角和是180度，那么四边形、五边形、六边形……的内角和是多少？
由下图可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180度，这样我们就可以求出多边形的内角和．
根据我们的分析，完成下表： 多边形的边数 3 4 5 6 … n 分成的三角形个数
1
2
3
4
…
n －2 多边形的内角和
180°
360°
540°
720°
…
(n －2)·
180°
归纳结论
n 边形的内角和为(n －2)·180°. 探究4 多边形对角线的条数
你能根据上面的分析，总结出多边形对角线的条数吗？
分析：n 边形从一个顶点可以画出(n －3)条对角线，n 边形共有n 个顶点，这样n 边形一共可以画n (n －3)条对角线，但是每条对角线计算了两遍，所以n 边形一共有n (n （n －3）
2条
对角线．
探究5多边形的外角和
与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和．
如图(1)四边形ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4分别是四个外角，求：∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数．
因为∠1＋∠DAB＝∠2＋∠CBA＝∠3＋∠DCB＝∠4＋∠ADC＝180°
又因为∠DAB＋∠CBA＋∠DCB＋∠ADC＝360°(四边形内角和等于360°)所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°.
所以四边形的外角和等于360°.
根据n边形的每一个内角与它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表：多边形的
边数
345…n
多边形的内角与外角的总和3×180°＝
540°
4×180°＝
720°
5×180°＝
900°
…n×180°
多边形的内角
和180°360°540°…
(n－2)·
180°
多边形的外角
和
360°360°360°…360°
归纳结论
任意多边形的外角和都为360°.
教学说明
我们是把多边形的问题转化成三角形，再由三角形内角和为180°，求出多边形内角和与外角和，从而使问题得到解决！
【运用新知，深化理解】
1．如果一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，那么这个多边形是(B)
A．九边形B．八边形
C．七边形D．六边形
2．若n边形的内角和与外角和的比为7∶2，则n为(D)
A．6 B．7 C．8 D．9
3．如果一个正多边形的一个内角和它相邻外角的比是2∶1，那么这个多边形是(A)
A ．正六边形
B ．正八边形
C ．正十边形
D ．正十二边形
4．四边形的内角和为 360 度，四个内角中最多可有 3 个锐角． 5．若四边形的四个内角之比为1∶3∶5∶6，则这个四边形各内角顺次是 24，72，120，144 度．
6．多边形的每一个内角都相等，它的一个外角等于正十边形的一个内角的5
12
.这个多边形为 六 边形．
7．(1)一个多边形的内角和等于2340°，求它的边数；
(2)一个正多边形的一个内角为150°，你知道它是几边形吗？ 解：(1)设边数为n ，则有(n －2)·180°＝2340° n －2＝13，n ＝15；
(2)设这个多边形为n 边形，
则有(n －2)·180°＝150°n
n ＝12，∴这个多边形是十二边形．
8．一个正多边形的一个内角比相邻外角大36°，求这个正多边形的边数． 解：设一个外角为x °，则内角为(x ＋36)° 因为多边形的内角与相邻的外角互补； 所以x °＋x °＋36°＝180° 解得x °＝72° 360°÷72°＝5
答：这个多边形是五边形． 9．(1)四边形有几条对角线？
(2)五边形有几条对角线？六边形呢？n 边形呢？
解：(1)四边形有两条对角线．
(2)如图2，以A 为顶点的对角线有两条AC 、AD 同样以B 为端点的对角线也有2条，以C 为端点也有2条，但AC 与CA 是同一条线段，以D 为端点的两条DA 、DB 与AD 、BD 分别表示同一条线段，所以只有5条，以此类推六边形有9条对角线，从以上分析可知从n 边形的一个顶点引对角线，可以引(n －3)条，那么n 个顶点就有n (n －3)条，但其中每一条都重复计算一次，所以n 边形一共有n （n －3）
2
条对角线．
10．已知多边形的内角和等于1440°，求(1)这个多边形的边数，(2)过一个顶点有几条对角线，(3)总对角线条数．
解：(1)(n －2)·180°＝1440° n ＝10
(2)n －3＝10－3＝7
(3)n （n －3）2＝10×（10－3）2
＝35
答：这个多边形是十边形，过一个顶点的对角线有7条，共有35条对角线． 教学说明
复习今天所学，了解学生学习效果． 【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充． 【课后作业】
1．布置作业：教材第88页“习题9.2”中第1、2、3题． 2．完成练习册中本课时练习．
9．3 用正多边形铺设地面
【课标要求】 知识与技能
1．通过用相同的正多边形拼地板活动，巩固多边形的内角和与外角和公式． 2．探索用多种正多边形拼地板的过程和原理．
过程与方法
结合现实世界中的美丽图案，充分感受用正多边形拼地板的意义，体会用多种正多边形拼地板与一种正多边形拼地板的相互关系．
情感态度价值观
联系多边形的内角和与外角和公式，探索用正多边形拼地板的道理．
【教学重难点】
重点：通过用两种以上正多边形拼地板，提高学生观察、分析、概括、抽象等能力． 难点：通过操作使学生发现能拼成一个平面图形的关键． 【教学过程】
【情景导入，初步认识】
小明家刚买了新房，准备装修，小明想把新房的地面铺上地板砖，所以他这段时间特别留心已铺了地板砖的地面．看了一些地板砖的铺设后，小明打算用同一种正多边形的地砖来铺满新房的地面．请你帮小明想想，他可以买哪种形状的地板砖？为什么？
教学说明
挖掘生活材料，使课堂教学尽量结合学生的生活实际，以实物图形加深对地板(地砖)铺设的认识．提出问题，导出本节要探究的课题．
【思考探究，获取新知】
探究1 用相同的正多边形
1．使用给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不相互重叠？(请同学们拿出预先准备好的若干张正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形)
教学说明
通过学生动手拼图，使他们发现能拼成既不留空隙，又不重叠的平面图形的关键是围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角相加恰好等于360°.
2．下面再通过计算，看看哪些正多边形能拼成符合以上条件的图形．完成下表：
正多边形的
边数 3
4
5
6
7
…
n
正多边形的
内角和 180°
360°
540°
720°
900°
…
(n －2)180°
正多边形每
个内角度数
60°
90°
108°
120°
900°
7
…
（n －2）180°
n
每个内角为多少度时能拼成符合以上条件的平面图形呢？
因为60°×6＝360°，用6个正三角形瓷砖就可以铺满地面； 90°×4＝360°，用4个正方形瓷砖就可以铺满地面． 为什么用正五边形瓷砖不能铺满地面呢？正八边形也不行？ 因为360°÷108°，360°÷135°得数都不是整数． 当[360°÷（n －2）·180°
n ]为正整数时；
即
2n
n －2
为正整数时，用这样的正多边形就可以铺满地面． 归纳结论
当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以拼成一个平面图形．
探究2 用多种正多边形
用正三角形和正六边形能铺满地面吗？为什么？
由正六边形和正三角形组成
因为正六边形的内角为120°，正三角形的内角为60°，这样用2块正六边形和2块正三角形，它们内角之和为一个周角360°，所以能铺满地面．(即：2×120°＋2×60°＝360°)
能不能用其他两种或两种以上的正多边形铺地板呢？
如图①：是用正八边形和正方形拼成的．因为正八边形的内角为135°，正方形的内角为90°，那么用2个正八边形和1个正方形各一内角之和正好等于360°，所以可以铺满地板．(即：2×135°＋90°＝360°)
如图②：是用正六边形、正方形、正三角形拼成的．因为正六边形的内角为120°，正
方形的内角为90°，正三角形的内角为60°，那么用1个正六边形，2个正方形和1个正三角形各一个内角之和为360°，所以可以铺满地面．(即：120°＋2×90°＋60°＝360°) 归纳结论
若几个正多边形的一个内角的和等于360°，那么这几个正多边形可铺满地面．
教学说明
借助动手操作，计算验证，将难点分解，让学生在活动过程中掌握数学知识，通过合作探索，培养他们的学习能力．
【运用新知，深化理解】
1．用下列的一样多边形不能铺满地面的是(B)
A．平行四边形B．正十边形
C．直角梯形D．任意三角形
2．下列多边形的组合中，能够铺满地面的是(B)
A．正方形与正六边形
B．正八边形和正方形
C．正五边形和正八边形
D．正五边形和正十边形
3．用三种正多边形拼地板，其中的两种是正四边形和正五边形，则第三种正多边形的边数是(D)
A．12 B．15 C．18 D．20
4．用m个正方形和n个正八边形铺满地面，则m、n满足的关系是(A)
A．2m＋3n＝8 B．3m＋2n＝8
C．m＋n＝4 D．m＋2n＝6
5．我们知道用正三角形、正方形、正六边形合在一起可以铺满平面，若用正十边形、正八边形、正九边形合在一起，能不能铺满地面，为什么？
解：正十边形，正八边形，正九边形合在一起不能铺满地面，因为正十边形，正八边形，正九边形的内角分别为144°，135°，140°，它们的和144°＋135°＋140°>360°.
6．用正三角形、正方形、正六边形中至少一种铺满地面，有几种不同的选法？请写出来．解：单独用一种正多边形铺满地面的有三种，即正三角形，正方形，正六边形；用两种组合来拼有正三角形与正方形，正三角形与正六边形两种，用这三种正多边形组合也能铺满，故共有6种不同的选法．
7．现有一批边长相等的正多边形瓷砖(如图所示)，设计能铺满地面的瓷砖图案．
(1)能用相同的正多边形铺满地面的有①②③.
(2)从中任取两种来组合，能铺满地面的正多边形组合是①和②，①和③，①和⑤，②和④ .
(3)从中任取三种来组合，能铺满地面的正多边形组合是①②③，②③⑤，①②⑤.
(4)你能说出其中的数学道理吗？
铺满地面的正多边形的边长都相等，且这些正多边形满足在同一顶点交接处各角之和恰
好360°.
教学说明
通过练习，了解学生掌握情况，再做讲解、强调．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师加以补充．【课后作业】
1．布置作业：教材第91页“习题9.3”第1、2题．
2．完成练习册中本课时练习．。