3.1 赋范线性空间和Banach空间

第3章 赋范线性空间
3.1 赋范线性空间和Banach 空间
3.1.1 赋范线性空间
定义3.1.1 (范数，赋范线性空间) 设X 为是实（或：复）数域F 的线性空间，若对x X ∀∈，存在一个实数x 于之对应，且满足下列条件：
(1) 0≥x ; 且0=x ⇔=0x ； （非负性 (non-negativity)）
(2) αα=x x ，α∈F ； （正齐（次）性 (positive homogeneity)） (3) +≤+x y x y ，,X ∈x y ； （三角不等式(triangle inequality)） 则称x 为x 的范数(norm)，称(,)X ∙
（或：X ）为赋范线性空间(normed linear space)，
简称赋范空间(normed space).
例3.1.1 空间[,]C a b 是闭区间[,]a b 上的连续函数全体所成的线性空间。

对[,]f C a b ∀∈，规定
[,]
max ()t a b f f t ∈=, (3.1.1)
易证f 是f 的范数，则[,]C a b 按上述范数成为赋范线性空间。

例 3.1.2 设[,]a b L 是闭区间[,]a b 上的Lebesgue 可积函数全体所成的线性空间。

对
[,]f a b ∀∈L ，规定
()d b
a
f f t t =⎰, (3.1.2)
若将在[,]a b 上满足()()f t g t ∙=的两个函数,f g 视为同一个函数，即将在[,]a b 上满足
()0f t ∙
=的函数f 视为恒等于零的函数，即0f =，则在[,]a b L 上，f 是f 的范数，从而
[,]a b L 按上述范数成为赋范线性空间。

例 3.1.3 在n 维实向量空间n R 或n 维复向量空间（称为酉空间）n C 中，对
12(,,,)n n x x x x ∀=∈R （或n C ），令
12
21n
i i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑， (3.1.3)
或
11
n
i i x x ==∑ 或 21m a x i i n
x x ≤≤=,
它们都是x 的范数，称(3.1.3)中的范数为Euclidean 范数，n R 按范数(3.1.3)所得到的赋范线性空间称为Euclidean 空间。

例3.1.4（空间()[,]k C a b ） ()[,]k C a b 是闭区间[,]a b 上连续，在[,]a b 中处处k 次连续可微的函数全体所成的线性空间。

对()[,]k f C a b ∀∈，令
{}
()[,]
max (),(),,()k t a b f f t f t f t ∈'= ， (3.1.4)
则f 是f 的范数，()[,]k C a b 按上述范数成为赋范线性空间。

定义3.1.2 设(,)X 是赋范线性空间，对,x y X ∀∈，令
(,)x y x y ρ=-， (3.1.5)
则称(,)x y ρ为由范数
∙
决定的度量。

注1 易验证(,)x y x y ρ=-满足度量的3个条件。

注2 我们今后对每个赋范线性空间总是按照(3.1.5)引入度量，使之成为度量空间。

这样我们就可以在赋范线性空间中引入极限的概念。

定理3.1.1 设(,)X ρ是线性的度量空间（即：(,)X ρ既是线性空间，又是度量空间），若度量ρ是由某个范数
∙
决定的，则ρ满足：对,x y X ∀∈，α是数，有
(,)(,0)x y x y ρρ=-，(,0)(,0)x x ρααρ=. (3.1.6)
反之，若ρ满足(3.1.6)，则(,0)x x ρ=就是x 的范数。

也就是说：(3.1.6)是线性的度量空间成为赋范线性空间（指范数与度量满足(3.1.5)）的充分必要条件。

证 设度量ρ是由某个范数
∙
决定的，即
(,)x y x y ρ=-，
则对,x y X ∀∈，α是数，有
(,)()0(,0);x y x y x y x y ρρ=-=--=-
(,0)00(,0)x x x x x x ρααααααρ=-===-=.
反之，若度量ρ满足(3.1.6)，定义
(,0)x x ρ=.
(1) 若(,0)00x x x ρ==⇔=；(由度量的定义立得。

) (2) (,0)(,0)x x x x αρααρα===. (由(3.1.6)得) (3) (,0)((),0)(,)x y x y x y x y ρρρ+=+=--=-
(,0)(,0)1x y x y x y x y ρρ≤+-=+-=+-=+.
证毕！
注 并不是所有的度量都是由某个范数所决定的。

例如,在数列空间11123{(,,,)
()}i s x x x x ==∈R C 或x 中，度量为
1
1(,)21i i
i
i i i
x y x y ρ∞
=-=+-∑
x y ， 若令
11(,)21i
i
i i
x x ρ∞
===+∑x x 0， 则对常数0α≠，显然它不满足正齐（次）性条件αα=x x .
又如离散度量空间。

设X 为任一非空集，1:X X R ρ⨯→定义如下：
对(,)x y X X ∀∈⨯， 0,,
(,)1,.x y x y x y ρ=⎧=⎨
≠⎩
若令
0,0,
(,0)1,0,
x x x x ρ=⎧==⎨
≠⎩， 则对常数0,1α≠，显然它也不满足正齐（次）性条件x x αα=.
(0,0
(,0)(,0)(,0)1,0
x x x x x x x αραραρα=⎧===≠=⎨
≠⎩
.)
由此可知：由范数所决定的度量主要是针对线性空间定义的度量，它除了满足一般度量的3个条件，还必须满足正齐（次）性，这是一般度量所不具备的。

另外，范数是向量长度的推广，因此向量αx 的长度αx 当然要满足：αα=x x ，而一般度量（距离）却没有这样的要求。

例3.1.5（空间p
l ）
11
1231
{(,,,)(1,2,)(),
,1}p
i i
i x x x x x i x
p ∞
====∈<∞≥∑R C 或p l
（即p 方绝对收敛的实（或：复）数列的全体），p l 按照对每个坐标(1,2,)i x i = 的线性运算成为线性空间。

对123(,,,)x x x ∀=∈ p x l ，
11p
p i p
i x ∞=⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑x
是x 的范数，p l 按照p x 成为赋范线性空间。

例3.1.6（空间∞l ） 设∞l 是有界实（或：复）数列123(,,,)x x x = x 全体按通常的线性运算所成的线性空间（它是s 的线性子空间）。

对于123(,,,)x x x ∞∀=∈ x l ，
sup i i
x ∞
=x
是x 的范数，则∞l 按照∞x 成为赋范线性空间。

例3.1.7（空间[,]V a b ） 设[,]V a b 是区间[,]a b 上的实（或：复）有界变差函数的全体，按照通常的线性运算，它是一个线性空间。

对[,]f V a b ∈，令
()()V b
a
f f a f =+， (3.1.8)
则f 是f 的范数，则[,]V a b 按范数f 成为赋范线性空间。

令
0[,]{[,],(,)()0}V a b f
f V a b f a b f a =∈=在中每点都是右连续的，且,
它是[,]V a b 的线性子空间。

在0[,]V a b 上，范数f 等于全变差()V b
a
f .
证 [,]V a b 按照通常的线性运算是线性空间，这一点是显然的。

今证(3.1.8)定义的范数满足定义3.1.1的3个条件。

(1) 对[,]f V a b ∈，显然0f ≥;
()()0()0V b a
f f a f f a =+=⇒= 且 ()0V b
a
f =0f ⇒≡.
(2)
f f αα=显然；
(3) ()()()()()()()V V V b
b
b
a
a
a
f g f a g a f g f a g a f g f g +=+++≤+++=+;
故由定义3.1.1知：f 是f 的范数，且[,]V a b 按范数f 成为赋范线性空间。

证毕！
3.1.2 Banach 空间
定义3.1.3 设(,
)X ∙
是赋范线性空间，(1,2,)n x n x X =∈ 、，若当n →∞时，
0n x x -→，
则称点列{}n x
依范数
∙
收敛于x ({}n x converges to x in norm)，记作
lim n n x x →∞
= (或：()n x x n →→∞).
并称{}n x 为收敛点列 (convergent sequence)，称x 为点列{}n x 的极限 (limit). 定义3.1.4 设(,)X ρ是度量空间，{}n x 是X 中的点列。

若
对0ε∀>，存在()0N ε>，当,()m n N ε≥时，恒有(,)m n x x ρε<，
则称{}n x 是X 中的基本点列，或Cauchy 点列。

定理3.1.2 (1) 度量空间X 中的收敛点列{}n x 必是基本点列.
(2) 设{}n x 是度量空间X 中的基本点列，若{}n x 有子点列{}k
n x 收敛于X 中的点x ，则
{}n x 也收敛于x .
定义3.1.5 设(,)X ρ是度量空间，若X 中的每个基本点列都收敛，则称X 是完备（度量）空间。

若A 是度量空间X 的子空间，若A 作为度量空间是完备的，则称A 是X 中的完备子空间。

完备的赋范线性空间称为巴拿赫（Banach ）空间。

注1 一个不完备的度量空间可以有完备的子空间。

注2 完备度量空间X 的闭子空间A 必是完备的子空间；
任何度量空间X 的完备的子空间A 必是X 的闭子集。

例3.1.8 n 维Euclidean 空间n R 按范数
121n i i x x =⎛⎫
= ⎪⎝⎭
∑，12(,,,)n n x x x x =∈R ，
是Banach 空间。

例3.1.9 [,]C a b 按范数
[,]
max ()
([,])x a b f f x f C a b ∈=∈
是Banach 空间。

证 在空间[,]C a b 中，因为对{[,]1,2,}n f C a b n ∈= ，
lim 0
n n f f →∞
-= ⇔ {}n f 在[,]a b 上一致收敛于f ,
所以由数学分析知：[,]f C a b ∈. 只要证明[,]C a b 中的任意基本点列{}n f 是[,]a b 上的一致收敛点列即可。

In fact 设{}n f 是[,]C a b 中的任意基本点列，即对0ε∀>，存在自然数()0N ε>，当
,()m n N ε≥时，恒有
(,)max ()()
n m n m n m a t b
f f f f f t f t ρε≤≤=-=-<.
从而只要,()m n N ε≥，对任何[,]t a b ∈，必有()()n m f t f t ε-<.
由数列的Cauchy 收敛条件知：{}n f 在[,]a b 上收敛于某一个函数f . 再在上式中令m →∞，得
()()n f t f t ε-≤
因此由[,]t a b ∈的任意性得：
max ()()n a t b
f t f t ε≤≤-<，
即{}n f 在[,]a b 上一致收敛于f . 证毕！
例3.1.10 [,]a b L 按范数
()
1
()d [,]b
a
f
f t t f a b =∈⎰L
是Banach 空间。

证 （自证！）
例3.1.11 若在[,]C a b 中定义范数
1
()d ([,])b
a
f
f t t f C a b =∈⎰， 即将[,]C a b 看成[,]a b L 的子空间，则(
)1
[,],
C a b
是不完备的空间。

In fact 因为[,]C a b 按范数
1
()d ([,])b
a
f
f t t f C a b =∈⎰
在[,]a b L 中稠密，又[,][,]C a b a b ≠L ，所以[,]C a b 不可能完备。

反例(Counterexample)：任取()c a c b <<, 作函数序列{}n f ：
11111,,
()(),
,1,.
n n n n n a t c f t n t c c t c c t b ⎧⎪⎪
⎨⎪⎪⎩
-≤≤-=--≤≤++≤≤
证明：上述连续函数序列{}n f 按范数
1
的极限函数不是连续函数。

（自证！）。