MATLAB数值运算
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合就是从整体上使误差尽量的小一些。
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 线性最小二乘拟合
polyfit
❖ 非线性最小二乘拟合
lsqcurvefit
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 多项式拟合函数polyfit
p = polyfit(x,y,n)
❖ 常微分方程的数值解的思路
对求解区间进行剖分，然后对微分方程离散成在节点上
的近似公式或近似方程，最后结合给定条件求出近似解。
线性方程组的解法
❖ 直接法
通过有限步四则运算求得方程组准确解。主要有矩阵相
除和消去法。
❖ 迭代法
先给定一个解的初始值，然后按一定的法则逐步求出解
的近似值。
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3.4 线性方程组的数值解
1、直接法
❖ 矩阵相除法
对线性方程组AX=B用矩阵除法来完成，即
X=A\B
若A为m × 矩阵，
当m=n且A可逆时，给出唯一解；
当n>m时，矩阵除给出方程的最小二乘解；
当n<同时，矩阵给出方程的最小范数解。
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3.4 线性方程组的数值解
1、直接法
❖ 消去法
方程的个数和未知数的个不]）化简为简化阶梯形，若系数矩阵的秩不等于
增广矩阵的秩，则方程组无解；若两者的秩相等，则方
在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，
船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）
×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入?
x
y
z
129 140 103.5 88 185.5 195
7.5 141.5 23
147 22.5 137.5
4
8
6
8
6
8
x
y
z
157.5
-6.5
9
107.5
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
[a, jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
ch0302_lsqcurvefit.m
项式往往是高次多项式，这也就容易出现振荡现象（龙格
现象），即虽然在插值节点上没有误差，但在插值节点之
外插值误差变得很大，从“整体”上看，插值逼近效果将
变得“很差”。
❖ 所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项
式,不要求通过已知的这些点,而是要求在整体上“尽量好”
的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,数据拟
[p,ｓ] = polyfit(x,y,n)
x,x为已知数据组，n为要拟合的多项式的阶次，向量
p为返回的要拟合的多项式的系数，向量s为调用函数
polyval获得的错误预估值。
ch0302_ployfit.m
population Forecast.docx
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3.2 插值和拟合
❖ 常用的方法：
梯形法数值积分
幸普森法数值积分
科茨数值积分
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 梯形法数值积分
Z = trapz(X,Y)
doc trapz
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 幸普森法数值积分uqad
[I, n] = quad(fun, a, b, tol, trace)
计算多项式 = 4 − 3 3 + 2 + 1 在区间[-3,4]的微分。
ch0303_diff.m
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 求解定积分的数值方法的基本思想
将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1]，i=1, 2, …, n，
其中x1 = a，xn+1 = b，这样求定积分问题就分解为求和问题。
'cubic‘
Triangle-based cubic interpolation
'nearest‘
Nearest neighbor interpolation
‘v4’
MATLAB 4 griddata method
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维一般分布数据插值griddata
-81
9
77
3
8
105
85.5
8
81
162 162 117.5
56.5 -66.5 84 -33.5
8
9
4
9
%\workspace%\Demo\ch0302_griddata.m
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 用插值的方法对一函数进行近似，要求所得到的插值多项
式经过已知插值节点；在插值点比较大的情况下，插值多
3 MATLAB数值运算
3.1 多项式运算
3.2 插值和拟合
3.3 数值微积分
3.4 线性方程组的数值解
3.5 常微分方程的数值解
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3.1 多项式运算
1、多项式的表示
❖ 在MATLAB中，多项式以行向量形式表示，其元素为多项
式的系数，并从左至右按降幂排列，多项式中缺少的幂次
的一组互异的点 上的函数值 = 0,1, … , ，如
何求[, ]上的其他若个点的函数值？
寻求一个简单的函数()，使满足：
=
(i=0,1, …, n)
并用 近似代替 。
上述问题称为插值问题。常用的插值方法有：拉格
朗日（Lagrange）插值、分段线性插值、埃尔米特
其中：fun是被积函数句柄或匿名函数；a和b分别
是定积分的下限和上限；tol用来控制积分精度，
缺省时取tol=0.001（相对误差），当tol的形式是
[rel_tol abs_tol]时，分别表示相对误差与绝对误
差；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现
积分过程，取0（默认）则不展现；返回参数I即
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3.1 多项式运算
5、多项式的构造
❖ 求以向量为解的方程的函数：
p = poly(r)
❖ 由多项式向量构造符号多项式：
r = poly2sym(c)
r = poly2sym(c, v)
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3.2 插值和拟合
1、插值
通过实验或者测量，获得函数 = () 在区间[, ]上
1、插值
❖ 二维插值函数interp2
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
X，Y，Z为插值节点（X，Y必须单调），XI，YI为被插
值点，ZI为被插值点的函数值，XI，YI可为矩阵，或XI
为行向量，YI为列向量，XI的值不能超过X的范围，YI
程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程
组的解。
doc rref
doc linsolve
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3.4 线性方程组的数值解
2、迭代法
❖ Jacobi迭代法
❖ Gauss-Seidel迭代法
❖ SOR（超松驰）迭代法
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3.5 常微分方程的数值解
❖ 多项式的除法函数：
[q,r] = deconv(v,u)
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3.1 多项式运算
4、多项式求值和求根
❖ 多项式求值函数：
y = polyval(p,x)
x可以是一个矩阵或者一个向量。计算ｘ中任意元素处的
多项式p的值。
❖ 多项式求根函数：
r = roots(c)
根r是列向量!
2、数值积分
❖ 二重定积分数值求解dblquad
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)
Description：doc dblquad
计算
2
1
2
1
x2
e 2 sin(x 2 y )dydx
(1) 建立一个函数文件myfun.m：
function f=myfun(x,y)
‘nearest’ 最邻近插值；
‘linear’
线性插值（默认值）；
‘spline’
三次样条插值；
‘cubic’
立方插值（三次Hermite插值）。
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 一维插值函数interp1
检验线性插值、三次插值和样条插值3种插值方法
的效果。
【方法】在[0，2*pi]间线性间隔产生40个点做X，
global ki;
ki=ki+1; % 用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad(‘myfun',-2,2,-1,1)
ki
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3.4 线性方程组的数值解
用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合不规则的数据向量x,y,z，曲
面总是经过这些数据点（x,y,z），返回曲面z 在点（XI,YI）
处的插值。XI 和YI 是绘制3D图形所需的网格数据矩阵。
method可取值：
‘linear’
Triangle-based linear interpolation (default)
n维插值
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 一维插值函数interp1
yi= interp1(x,y,xi)
yi= interp1(x,y,xi,method)
x, y为插值节点（要求x单调），xi（不能超过x的范围）
为被插节点，yi为xi处的插值结果，method可取值：
79 63 61 65 81
84 84 82 85 86
试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
%workspace%\Demo\ch0302_interp2.m
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维一般分布数据插值griddata
ZI = griddata(x,y,z,XI,YI, ‘mehtod’)
定积分值，n为被积函数的调用次数。
ch0303_quad.m
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 科茨数值积分quadl
[I, n] = quadl(fun, a, b, tol, trace)
参数含义同quad。
精度较quad更高
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3.3 数值微积分
要用“0”来补齐。
多项式:
= 2 3 − 3 2 + 4
表示为：[2 -3 0 4]
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3.1 多项式运算
2、多项式的加减法
❖ 多项式的加减法相当于向量的加减法，须注意阶次要相同，
如不同，低阶的要补零。
多项式加法m文件
%workspace%\AddOns\polyadd.m
（Hermite）插值以及样条插值等。
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ MATLAB实现插值的常用函数：
interp1
一维插值
interp1q
快速一维插值
interpft
采用FFT法的一维插值
spline
三次样条插值
interp2
二维插值
interp3
三维插值
interpn
多项式相减，相当于一个多项式加上另一个多项式的负值。
p1=[1 2 3];
p2=[2 3];
p1Addp2=polyadd(p1,p2);
p1Subp2=polyadd(p1,-p2);
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3.1 多项式运算
3、多项式的乘法和除法
❖ 多项式的乘法函数：
w = conv(u,v)
其正弦函值为函数值 Y，用这40个点做插值节点；
再在[0，2*pi]间线性间隔产生10个点做被插节点，
分别用线性插值、三次插值和样条插值计算这10
个点的值，并与这10个点的正弦值做比较。
%workspace%\Demo\ch0302_interp1.m
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3.2 插值和拟合
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3.3 数值微积分
1、数值微分
❖ 计算数值微分可用diff函数
Y = diff(X)
Y = diff(X,n)
Y = diff(X,n,dim)
Description：doc diff
Functions->Data Analysis->Derivatives and Integrals->diff
的值不能超过Y的范围。method可取值如下：
‘nearest’
最邻近插值；
‘linear’
双线性插值（默认值）；
‘spline’
三次样条插值；
‘cubic’
双三次插值。
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维插值函数interp2
测得平板表面3×5网格点处的温度分别为：
82 81 80 82 84
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 线性最小二乘拟合
polyfit
❖ 非线性最小二乘拟合
lsqcurvefit
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 多项式拟合函数polyfit
p = polyfit(x,y,n)
❖ 常微分方程的数值解的思路
对求解区间进行剖分，然后对微分方程离散成在节点上
的近似公式或近似方程，最后结合给定条件求出近似解。
线性方程组的解法
❖ 直接法
通过有限步四则运算求得方程组准确解。主要有矩阵相
除和消去法。
❖ 迭代法
先给定一个解的初始值，然后按一定的法则逐步求出解
的近似值。
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3.4 线性方程组的数值解
1、直接法
❖ 矩阵相除法
对线性方程组AX=B用矩阵除法来完成，即
X=A\B
若A为m × 矩阵，
当m=n且A可逆时，给出唯一解；
当n>m时，矩阵除给出方程的最小二乘解；
当n<同时，矩阵给出方程的最小范数解。
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3.4 线性方程组的数值解
1、直接法
❖ 消去法
方程的个数和未知数的个不]）化简为简化阶梯形，若系数矩阵的秩不等于
增广矩阵的秩，则方程组无解；若两者的秩相等，则方
在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，
船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）
×（-50，150）里的哪些地方船要避免进入?
x
y
z
129 140 103.5 88 185.5 195
7.5 141.5 23
147 22.5 137.5
4
8
6
8
6
8
x
y
z
157.5
-6.5
9
107.5
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
[a, jm]=lsqcurvefit(Fun,a0,x,y)
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3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 非线性最小二乘曲线拟合
ch0302_lsqcurvefit.m
项式往往是高次多项式，这也就容易出现振荡现象（龙格
现象），即虽然在插值节点上没有误差，但在插值节点之
外插值误差变得很大，从“整体”上看，插值逼近效果将
变得“很差”。
❖ 所谓数据拟合是求一个简单的函数,例如是一个低次多项
式,不要求通过已知的这些点,而是要求在整体上“尽量好”
的逼近原函数。这时,在每个已知点上就会有误差,数据拟
[p,ｓ] = polyfit(x,y,n)
x,x为已知数据组，n为要拟合的多项式的阶次，向量
p为返回的要拟合的多项式的系数，向量s为调用函数
polyval获得的错误预估值。
ch0302_ployfit.m
population Forecast.docx
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3.2 插值和拟合
❖ 常用的方法：
梯形法数值积分
幸普森法数值积分
科茨数值积分
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 梯形法数值积分
Z = trapz(X,Y)
doc trapz
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 幸普森法数值积分uqad
[I, n] = quad(fun, a, b, tol, trace)
计算多项式 = 4 − 3 3 + 2 + 1 在区间[-3,4]的微分。
ch0303_diff.m
四川师范大学数学与软件科学学院
3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 求解定积分的数值方法的基本思想
将整个积分区间[a, b]分成n个子区间[xi, xi+1]，i=1, 2, …, n，
其中x1 = a，xn+1 = b，这样求定积分问题就分解为求和问题。
'cubic‘
Triangle-based cubic interpolation
'nearest‘
Nearest neighbor interpolation
‘v4’
MATLAB 4 griddata method
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维一般分布数据插值griddata
-81
9
77
3
8
105
85.5
8
81
162 162 117.5
56.5 -66.5 84 -33.5
8
9
4
9
%\workspace%\Demo\ch0302_griddata.m
四川师范大学数学与软件科学学院
3.2 插值和拟合
2、拟合
❖ 用插值的方法对一函数进行近似，要求所得到的插值多项
式经过已知插值节点；在插值点比较大的情况下，插值多
3 MATLAB数值运算
3.1 多项式运算
3.2 插值和拟合
3.3 数值微积分
3.4 线性方程组的数值解
3.5 常微分方程的数值解
四川师范大学数学与软件科学学院
3.1 多项式运算
1、多项式的表示
❖ 在MATLAB中，多项式以行向量形式表示，其元素为多项
式的系数，并从左至右按降幂排列，多项式中缺少的幂次
的一组互异的点 上的函数值 = 0,1, … , ，如
何求[, ]上的其他若个点的函数值？
寻求一个简单的函数()，使满足：
=
(i=0,1, …, n)
并用 近似代替 。
上述问题称为插值问题。常用的插值方法有：拉格
朗日（Lagrange）插值、分段线性插值、埃尔米特
其中：fun是被积函数句柄或匿名函数；a和b分别
是定积分的下限和上限；tol用来控制积分精度，
缺省时取tol=0.001（相对误差），当tol的形式是
[rel_tol abs_tol]时，分别表示相对误差与绝对误
差；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现
积分过程，取0（默认）则不展现；返回参数I即
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3.1 多项式运算
5、多项式的构造
❖ 求以向量为解的方程的函数：
p = poly(r)
❖ 由多项式向量构造符号多项式：
r = poly2sym(c)
r = poly2sym(c, v)
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3.2 插值和拟合
1、插值
通过实验或者测量，获得函数 = () 在区间[, ]上
1、插值
❖ 二维插值函数interp2
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)
ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)
X，Y，Z为插值节点（X，Y必须单调），XI，YI为被插
值点，ZI为被插值点的函数值，XI，YI可为矩阵，或XI
为行向量，YI为列向量，XI的值不能超过X的范围，YI
程组有解，方程组的解就是行简化阶梯形所对应的方程
组的解。
doc rref
doc linsolve
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3.4 线性方程组的数值解
2、迭代法
❖ Jacobi迭代法
❖ Gauss-Seidel迭代法
❖ SOR（超松驰）迭代法
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3.5 常微分方程的数值解
❖ 多项式的除法函数：
[q,r] = deconv(v,u)
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3.1 多项式运算
4、多项式求值和求根
❖ 多项式求值函数：
y = polyval(p,x)
x可以是一个矩阵或者一个向量。计算ｘ中任意元素处的
多项式p的值。
❖ 多项式求根函数：
r = roots(c)
根r是列向量!
2、数值积分
❖ 二重定积分数值求解dblquad
q = dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)
Description：doc dblquad
计算
2
1
2
1
x2
e 2 sin(x 2 y )dydx
(1) 建立一个函数文件myfun.m：
function f=myfun(x,y)
‘nearest’ 最邻近插值；
‘linear’
线性插值（默认值）；
‘spline’
三次样条插值；
‘cubic’
立方插值（三次Hermite插值）。
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 一维插值函数interp1
检验线性插值、三次插值和样条插值3种插值方法
的效果。
【方法】在[0，2*pi]间线性间隔产生40个点做X，
global ki;
ki=ki+1; % 用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
(2) 调用dblquad函数求解。
global ki;ki=0;
I=dblquad(‘myfun',-2,2,-1,1)
ki
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3.4 线性方程组的数值解
用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合不规则的数据向量x,y,z，曲
面总是经过这些数据点（x,y,z），返回曲面z 在点（XI,YI）
处的插值。XI 和YI 是绘制3D图形所需的网格数据矩阵。
method可取值：
‘linear’
Triangle-based linear interpolation (default)
n维插值
四川师范大学数学与软件科学学院
3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 一维插值函数interp1
yi= interp1(x,y,xi)
yi= interp1(x,y,xi,method)
x, y为插值节点（要求x单调），xi（不能超过x的范围）
为被插节点，yi为xi处的插值结果，method可取值：
79 63 61 65 81
84 84 82 85 86
试作出平板表面的温度分布曲面z=f(x,y)的图形。
%workspace%\Demo\ch0302_interp2.m
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维一般分布数据插值griddata
ZI = griddata(x,y,z,XI,YI, ‘mehtod’)
定积分值，n为被积函数的调用次数。
ch0303_quad.m
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3.3 数值微积分
2、数值积分
❖ 科茨数值积分quadl
[I, n] = quadl(fun, a, b, tol, trace)
参数含义同quad。
精度较quad更高
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3.3 数值微积分
要用“0”来补齐。
多项式:
= 2 3 − 3 2 + 4
表示为：[2 -3 0 4]
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3.1 多项式运算
2、多项式的加减法
❖ 多项式的加减法相当于向量的加减法，须注意阶次要相同，
如不同，低阶的要补零。
多项式加法m文件
%workspace%\AddOns\polyadd.m
（Hermite）插值以及样条插值等。
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3.2 插值和拟合
1、插值
❖ MATLAB实现插值的常用函数：
interp1
一维插值
interp1q
快速一维插值
interpft
采用FFT法的一维插值
spline
三次样条插值
interp2
二维插值
interp3
三维插值
interpn
多项式相减，相当于一个多项式加上另一个多项式的负值。
p1=[1 2 3];
p2=[2 3];
p1Addp2=polyadd(p1,p2);
p1Subp2=polyadd(p1,-p2);
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3.1 多项式运算
3、多项式的乘法和除法
❖ 多项式的乘法函数：
w = conv(u,v)
其正弦函值为函数值 Y，用这40个点做插值节点；
再在[0，2*pi]间线性间隔产生10个点做被插节点，
分别用线性插值、三次插值和样条插值计算这10
个点的值，并与这10个点的正弦值做比较。
%workspace%\Demo\ch0302_interp1.m
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3.2 插值和拟合
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3.3 数值微积分
1、数值微分
❖ 计算数值微分可用diff函数
Y = diff(X)
Y = diff(X,n)
Y = diff(X,n,dim)
Description：doc diff
Functions->Data Analysis->Derivatives and Integrals->diff
的值不能超过Y的范围。method可取值如下：
‘nearest’
最邻近插值；
‘linear’
双线性插值（默认值）；
‘spline’
三次样条插值；
‘cubic’
双三次插值。
四川师范大学数学与软件科学学院
3.2 插值和拟合
1、插值
❖ 二维插值函数interp2
测得平板表面3×5网格点处的温度分别为：
82 81 80 82 84