沪科版数学九年级上册 反比例函数

到关于待定系数的方程；
③ 解方程，求出待定系数的值；
④ 写出反比例函数的表达式.
练一练
已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 y k . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有 x
6
4…
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？
你还能举出这样的例子吗？
合作探究
反比例函数的概念
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，
请写出它们的表达式. (1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速
度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化； v 1463.
4 k . 解得 k =－12. 因此 y 12 .
3
x
(2) 把 y = 6 代入 y 12 ，得 6 12 . 解得 x = －2.
x
x
例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它
的受力面积 S m2 的反比例函数，如图.
(1) 求 p 与 S 之间的函数表达式；
(2) 当 S = 0.5 时，求物体承受的压强 p 的值.
4. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 y k ，因为当 x = 3 时，y =4 ， x 1
所以有
4
k ，解得 31
k
=
16，因此
y
16 x 1
.
(2) 当 x = 7 时，y 16 2.
x
并写出该反比例函数的表达式.
解：因为 y k 2 4 k 2 是反比例函数，
x
所以
4－k2 = 0， k－2 ≠ 0.
解得
k
=－2.
所以该反比例函数的表达式为 y 4 .
x
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根
据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可.
练一练 1. 已知函数 y (k 2)(k 1) 是反比例函数，则 k 必须
－3 =－k1 + k2，
∴
1
1 2
k2 .
解得 k1 = 1，k2 =－2.
∴ y x 1 2 .
x 1
(2) 当 x = 1 时，y 的值.
2
解：把 x = 1 代入 (1) 中函数关系式，得 y = 11.
2
2
反比例函数：定义/三种表达方式
反
比
例 函
用待定系数法求反比例函数表达式
数
建立反比例函数模型
解：当 t = 25 时，v 1000 40； 25
当 t = 8 时，v 1000 125. 8
125－40 = 85 (m/min)．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
能力提升： 6. 已知 y = y1 + y2，y1 与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1)
2x
B.
y
1 x2
C. y 1
2 x
D. y 1 1
x
3. 填空：
(1) 若 y m 1 是反比例函数，则 m 的取值范围是
x
m≠1 .
(2) 若 y m(m 2) 是反比例函数，则 m 的取值范
x
围是 m ≠ 0 且 m ≠ －2 .
(3) 若 y
m2 xm2 m1
是反比例函数，则 m 的值是 －1 .
问题：观察以上三个表达式，你觉得它们有什么共同
特点？
v 1463，
y 1000，
1.68 104
S
.
t
x
n
都具有 分式 的形式，其中 分子 是常数．
一般地，表达式形如 y k (k 为常数，k ≠ 0) 的函数 x
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数..
思考：反比例函数 y k (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围 x
表示之外，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式 (注意 k ≠ 0)：
y k， x
y kx1，
xy k.
练一练
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
y 3x1 y 1
11x
是，k = 3 是，k 1
11
yx 3
y 3x 1
不是 不是
y
1 x2
不是
例1 若函数 y k 2 4 k 2 是反比例函数，求 k 的值，
t
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化； y 1000 . x
(3) 已知某市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有
面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
S 1.68104 . n
第21章 二次函数与反比例函数
21.5 反比例函数
第1课时 反比例函数
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数 量 y/本
20
15
12
10
建立简单的反比例函数模型
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司 机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视 野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数.
x
满足 k≠2 且 k≠-1 .
2. 当 m = ±1 时，y 2x m 2 是反比例函数.
确定反比例函数的表达式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
解：提设示：y 因kx为. 因y 是为当x 的x反= 2比时例，函y数=，6，所所以以设有y k .
解：(1) 设 p k . 函数图象过点 (0.1，1000)，p/Pa
S
代入上式，得 1000
k
.
解得 k = 100.
所以
p
与
S
0.1
的函数表达式是
p
100 .
1000
(2) 当 S = 0.5 时，p 100 200. S
0.5
答：物体承受的压强 p 的值为 200.
O 0.1 S/m2
是什么？
因例为如，x 作在为前分面母得，到不的能第等一于个零表，达因式此v自变14t量63 x 的中取，值作范为围行是驶所时有间非的零t 的实数取.值应满足 t＞0，且当 t
取每但一实个际确问定题的中值，时应，根v 都据有具唯体一情确况定来的确值定与反其比对例 函应数. 自变量的取值范围.
想一想：反比例函数除了可以用 y k (k ≠ 0) 的形式 x
7 1
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有 时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速 度为 v (m/min)，所用的时间为 t (min)． (1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
解：v 1000 (t > 0)． t
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行 车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均 速度比星期二快多少？
为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用
铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为
y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放
满一桶水的时间为 y.
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( A )
A. y 1
成反比例，当 x = 0 时，y =－3；当 x = 1 时，y = －1，
求：
(1) y 关于 x 的关系式；
解：设
y1
=
k1(x－1)
(k1
≠
0)，y2
k2 x 1
(k2
≠
0)，
则
y
k1 x 1
k2 . x 1
对于
y
Fra Baidu bibliotek
k1 x
1
k2 x 1
，
∵ x = 0 时，y =－3；x = 1 时，y = －1，
两条对角线 AC，BD 的长分别为 x，y. 写出变量 y 与 x
之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
解：因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
所以
S菱形ABCD
1 2
xy
180.
所以变量 y 与 x 之间的关系式为
y
B 360 ，
D
它是反比例函数.
x C
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中， y 和 x 成反比例函数关系的有 ( B ) ① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径
把
x
=
62 和k
y ，=
6
解代得入上k式=，12就. 可求出常数
k
x 的值.
2
因此 y 12 . x
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把
x
=
4
代入
y 12 ，得 x
y
12 4
3.
方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：
① 设出含有待定系数的反比例函数表达式；
② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得
解：设 f k . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以 v
80 k . 解得 k = 4000. 50
因此 f 4000 . v
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
练一练 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180，设它的