初一数学暑假讲义 第10讲.含字母系数的方程和不等式.教师版

学习是一件很有意思的事
定 义
示例剖析
含字母系数的方程：当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．
含字母系数的一元一次方程总可以化为ax b =的形式，方程的解由a 、b 的值来确定：
⑴ 当0a ≠时，b
x a
=，原方程有唯一解；
⑵ 当0a =且0b =时，解是任意数，原方程有无数个解； ⑶ 当0a =且0b ≠时，原方程无解．
【例1】 ⑴ 已知方程
24(1)2x a
x +=-的解为3x =，则a = ； ⑵ 已知4-是方程3
602
kx -=的解，则1999k = ．
【解析】⑴ 根据方程解的意义，把3x =代入原方程，得234(31)2
a
⨯+=-，解这个关于a 的方
程，得10a =．
⑵ 根据题意可得3
(4)602
k ⨯--=，1k =-，则19991k =-．
【例2】 如果3826x x +--
与21
13
x +-互为相反数，且x 满足方程3ax a x -=+，求a 的值． 夯实基础
模块一 含字母系数的一元一次方程
10
含字母系数的 方程和不等式
【解析】 212x =，27
19
a =.
【拓展】若12x m =
是方程21423x m x m ---=
的解，求代数式()211428142m m m ⎛⎫
-+--- ⎪⎝⎭
的值． 【解析】将12x m =代入方程21423x m x m
---=
， 得112()122423
m m m m
---=，解得3m =．
化简代数式：
原式2211
21122
m m m m =-+--+=--
当3m =时，原式9110=--=-．
【例3】 ⑴ 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；
当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；
当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解．
⑵ 解关于x 的方程()()1
34
m x n x m -=-．
【解析】 ⑴ 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，.
⑵ 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-
当34m ≠时，方程的解为4343mn m
x m -=-；
当34m =，3
4n =时，解为任意值；
当34m =，3
4
n ≠时，方程无解．
【例4】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+有无穷多个解，那么a = ，
b = ；
⑵ 已知关于x 的方程3(2)(21)5a x b x +=-+有无穷多个解，求a 与b 的值．
【解析】⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，
故350a -=且230a b +=，即53a =，10
9
b =-；
⑵ 方程可以化为：(321)56a b x a -+=-，
因为方程有无数多个解，所以3210,560a b a -+=-=，解得：56a =，7
4
b =．
【巩固】已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无穷多个解，
能力提升
学习是一件很有意思的事
试求2011()5ab
a b x x a b a b
+-
=-++的解. 【解析】 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，
所以23a b ==-，，
把23a b ==-，代入2011()5ab
a b x x a b a b
+-=-++得610x x --=，
解得10
7
x =-.
【例5】 已知关于x 的方程(21)32a x x -=-无解，试求a 的值．
【解析】由题意得：(23)2a x a -=-，故230a -=且20a -≠，即3
2
a =时方程无解．
【例6】 ⑴ 若a ，b 为定值，关于x 的一元一次方程2236
ka x bx
--=，无论k 为何值时，
它的解总是1x =，求a 和b 的值．
⑵ 如果不论k 为何值，1x =-总是关于x 的方程2123
kx a x bk
+--=-的解，
则a = ，b = ．
【解析】⑴ 因为该方程的解为1x =，代入原方程可得到：21236
ka b
--=，即413ak b =-①，
又因为原方程的解不论k 取何值时都是1x =，这说明方程①有无数多个解， 即40a =且130b -=，所以0a =，13b =．
⑵ 原方程整理为以k 为未知数的方程(32)310b k a -=+．
对于任何实数k 的方程有1x =-，所以有3203100
b a -=⎧⎨+=⎩，求得103a =-，3
2b =．
【例7】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的
解互为相反数，求关于x 的方程
115
x p -+=的解．
（人大附中期中练习）
【解析】 由题意可知，312
211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩
，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，
由上述两个方程的解互为相反数可知，1
14205
p p p -++=⇒=-，
故方程115x p -+=变为11
11655
x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．
探索创新
定 义
示例剖析
含字母系数的不等式：当不等式中的系数用字母表示时，这样的不等式叫做含字母系数的不等式，也叫做含参数的不等式．
对于含字母系数的不等式，未知数的系数含有字母时需要分类讨论： 如不等式ax b <：
① 当0a >时，不等式的解集为b x a <； ② 当0a <时，不等式的解集为b
x a
>；
③ 当0a =时，若0b >，则不等式的解集为任意数；若0b ≤，则这个不等式无解．
【例8】 解关于x 的不等式：
⑴ 13kx +> ⑵ 132kx x +>- ⑶ 36mx nx +<--
⑷ ()
212m x +<
【解析】 ⑴ 移项得：2kx >
当0k >时，解集为2
x k
> 当0k <时，解集为2x k
<
当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑵ 移项，合并同类项得：()33k x ->-
当30k ->，即3k >时，不等式解集为3
3
x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为3
3
x k -<
- 当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑶ 不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论
夯实基础
模块二 含字母系数的一元一次不等式
学习是一件很有意思的事
①当0m n +>，即m n >-时，解集为9
x m n <-
+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9
x m n
>-+
③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.
⑷ ∵210m +>，∴不等式解集为22
1
x m <+
【例9】 ⑴ 已知关于x 的不等式()()3419x a x -<-+的解集是1x >，求a 的值．
⑵ 已知关于x 的不等式
24132m x mx +-≤
的解集是3
4
x ≥，那么m 的值是多少？ 【解析】⑴ 解这个不等式：
33449x a x -<-+
34349x x a -<-+ 35x a >--
∵解集是1x >，∴351a --=，解得2a =-． ⑵ 由24132
m x mx +-≤
得(102)3m x -≥， 要使其解集为34x ≥，则1020m ->且331024m =-，即3
5
m =
【巩固】当3a >时，不等式23ax x b +<+的解集是0x <，则b =
（重庆市竞赛题）
【解析】 2b =
【例10】 ⑴ 已知3x =是关于x 的不等式22323
ax x
x +-
>
的解，求a 的取值范围． ⑵ 已知关于x 的不等式()110m x m -+->的解集是1x <-，求m 的取值范围．
【解析】⑴ 将3x =代入不等式，得32
922
a +-
>．解这个不等式，得4a <． ⑵ ∵()110m x m -+->
∴()()11m x m ->-- ∵最终的解集为1x <-， ∴10m -<， ∴1m <．
【例11】 已知12(3)(21)3a a -<-，求关于x 的不等式(4)
5a x x a ->-的解集．
【解析】由12(3)(21)3a a -<-解得17
4
a <，故有50a -<，
能力提升
所以解关于x 的不等式
(4)5a x x a ->-可得5
a
x a <-
-．
【例12】 已知关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解是10
7
x <．求0ax b +>的解集． 【解析】根据题意有20a b -<且51027b a a b -=-，
可得35b a =，0a <，所以0ax b +>的解集为3
5
x <-．
【巩固】已知m 、n 为实数，若不等式(2)340m n x m n -+-<的解集为4
9
x >， 求不等式(4)230m n x m n -+->的解集．
【解析】由不等式(2)340m n x m n -+-<得(2)43m n x n m -<-，
因为它的解集为49x >，所以有20m n -<，且434
29
n m m n -=-，
可得：7
8n m =且0m <，
把78n m =代入(4)23m n x m n -+-＞0得52m x -＞
58
m ， 由m ＜0，得解集为 1
4
x >-．
学习是一件很有意思的事
知识模块一 含字母系数的一元一次方程 课后演练
【演练1】 已知关于x 的方程332
ax
a x +=+的解为4x =，
求代数式23456...99100a a a a a a a a -+-+-++-的值．
【解析】方程332ax a x +=+的解为4x =，则有43432
a
a +=+，求得1a =-，
23456...991005050a a a a a a a a a -+-+-++-=-=．
【演练2】 ⑴ 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ；
⑵ 如果关于x 的方程2(3)15(23)
326
kx x +++=
有无穷多个解，求k 值． 【解析】 ⑴ 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，
即53a =，109
b ≠-
⑵ 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，5
2
k =．
【演练3】 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236
kx a x bk
+--=，无论k 为何值时，
它的解总是1x =，求23a b +的值． 【解析】方程2236
kx a x bk
+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知
41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 值为任意，故40
1320b a +=⎧⎨
-=⎩，231a b +=．
知识模块二 含字母系数的一元一次不等式 课后演练
【演练4】 ⑴ 解关于x 的不等式：
21
123
x a x a --+>+
； ⑵ 解关于x 的不等式：23mx +＜3x n +； ⑶ 解关于x 的不等式：32(1)x a x +≥-．
【解析】⑴ 去分母，得336642x a a x -+>+-
移项，合并同类项得98x a ->- ∴98x a <-+
⑵ 由原不等式，得：(23)m x -＜3n -
当230m ->，即32m >时，其解集为3
23n x m -<-
实战演练
当230m -<，即32m <
时，其解集为323n x m ->- 当230m -=，即3
2
m =时，
若30n ->，即3n >，解集为所有数；若30n -≤，即3n ≤，原不等式无解． ⑶ 由不等式32(1)x a x +≥-得(3)2a x a -≤+
若30a ->，则2
3
a x a +≤-；
若30a -=，即3a =，原不等式可变形为：23≥-恒成立，所以x 可取任意数；
若30a ->，则2
3a x a +≥-．
【演练5】 ⑴ 若不等式ax a <的解集是1x >，则a 的取值范围是______．
⑵ 已知a 、b 为常数，若0ax b +>的解集为1
3
x <，则0bx a -<的解集是（ ）
A. 3x >-
B. 3x <-
C. 3x >
D. 3x <
【解析】⑴ 0a <；⑵ B
【演练6】 已知关于x 的不等式()230a b x a -+>的解集为3
2x >
，求不等式ax b >的解集． 【解析】原不等式可化为()23a b x a ->-．由于它的解集是3
2
x >，
∴2033
22a b a a b ->⎧⎪
⎨-=⎪-⎩①②，化简②，得4b a =，代入①，解得0a <． 所以不等式ax b >的解集为b
x a
<
，即4x <．
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