高中数学 新高考 复习试卷讲义 第10章 §10.2 排列与组合

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§10.2 排列与组合 考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题.
知识梳理
1.排列与组合的概念
名称
定义 排列
从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素 按照 排成一列 组合
作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有 的个数,用符号 表示.
(2)组合数:从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有 的个数,用符号 表示.
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A m n = = (n ,m ∈N *,且m ≤n ). (2)C m n =A m n A m m
= (n ,m ∈N *,且m ≤n ).特别地,C 0n =1 性质
(1)0!= ;A n n = .
(2)C m n =C n -m n ;C m n +1=
常用结论 1.排列数、组合数常用公式
(1)A m n =(n -m +1)A m -
1n
. (2)A m n =n A m -1n -1. (3)(n +1)!-n !=n ·n !.
(4)k C k n =n C k -
1n -1.
(5)C m n +C m n -1+…+C m m +1+C m m =C m +1n +1. 2.解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排.
(2)合理分类与准确分步.
(3)排列、组合混合问题要先选后排.
(4)相邻问题捆绑处理.
(5)不相邻问题插空处理.
(6)定序问题倍缩法处理.
(7)分排问题直排处理.
(8)“小集团”排列问题先整体后局部.
(9)构造模型.
(10)正难则反,等价转化.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()
(3)若组合式C x n=C m n,则x=m成立.()
(4)A m n=n(n-1)(n-2)…(n-m).()
教材改编题
1.A24+C37等于()
A.35 B.47 C.45 D.57
2.从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女生都有的选法种数是() A.18 B.24 C.30 D.36
3.将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动,每个地方至少安排一名学生参加,则不同的安排方案共有________种.
题型一排列问题
例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演,现安排两名男队员和两名女队员组队参演,参演选手每人展示其中一个不同的项目,雪上技巧项目必须由女队员展示,则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()
A.576 B.288 C.144 D.48
(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数.
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思维升华对于有限制条件的排列问题,分析问题时,有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时,一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.
跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望,航天事业在21世纪获得了长足的发展.太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件,宇航员常常在太空旅行中进行科学实验.在某次太空旅行中,宇航员们负责的科学实验要经过5道程序,其中A,B两道程序既不能放在最前,也不能放在最后,则该实验不同程序的顺序安排共有()
A.18种B.36种C.72种D.108种
(2)8人站成前后两排,每排4人,其中甲、乙两人必须在前排,丙在后排,则共有________种排法.
题型二组合问题
例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有()
A.如果4人全部为男生,那么有30种不同的选法
B.如果4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法
C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法
D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法
(2)在某场新闻发布会上,主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问,要求3人中既有国内记者又有国外记者,且不能连续选国内记者,则不同的选法有() A.80种B.180种C.260种D.420种
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思维升华组合问题常有以下两类题型
(1)“含有”或“不含有”问题:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.
(2)“至少”或“最多”问题:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.
跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动,要求至少有一名女生参加,则不同的选派种数为()
A.12 B.24 C.34 D.60
(2)如图,从上往下读(不能跳读,即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字,又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念),构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________.
题型三排列与组合的综合问题
命题点1相邻、相间问题
例3(多选)有3名男生,4名女生,在下列不同条件下,正确的是()
A.全体站成一排,女生必须站在一起有144种排法
B.全体站成一排,男生互不相邻有1 440种排法
C.任选其中3人相互调整座位,其余4人座位不变,则不同的调整方案有70种
D.全体站成一排,甲不站排头,乙不站排尾有3 720种排法
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命题点2定序问题
例4有4名男生,3名女生,其中3名女生高矮各不相同,将7名学生排成一行,要求从左到右,女生从矮到高排列(不一定相邻),不同的排法共有________种.
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命题点3分组、分配问题
例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久,源远流长,书法作为一门艺术,以文字为载体,不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观,谈到书法艺术,就离不开汉字,汉字是书法艺术的精髓,汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性,使汉字书写成为一门独特的艺术,我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体,如图,以“国”字为例,现有5张分别写有一种书体的临摹纸,将其全部分给3名书法爱好者,每人至少1张,则不同的分法种数为()
A.60 B.90 C.120 D.150
(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验,其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,则不同的安排方案共有()
A.20种B.36种
C.72种D.84种
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思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法
跟踪训练3(1)(多选)已知A,B,C,D,E五个人并排站在一起,则下列说法正确的有() A.若A,B不相邻,共有72种排法
B.若A不站在最左边,B不站在最右边,有72种排法
C.若A在B右边有60种排法
D.若A,B两人站在一起有48种排法
(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,同类节目不相邻的排法种数是()
A.72 B.120 C.144 D.168
(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动,每天分别安排3人,每人参加一次,则不同的安排方案共有________种.(用数字作答)。

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