高三文科数学试题带答案

2020届湖北省部分重点高中
高三11月期中联考
数学（文科）试题
命题学校：钟祥一中
命题人：苏军阳
审题人：董若冰
王成钧
本试卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.1．已知复数2
z=
1-i
（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为()
A ．-1
B ．1
C ．i
D ．i
-2．已知集合{}M=1,0,1-，N=cos ,M 2π⎧⎫
=∈⎨⎬⎩⎭
x y y x ，则集合M N=⋂()
A ．{}
101,,-B ．{}01,-C ．{}01,D ．{}
11,-3.已知1
222
11
222
,(),()a b c --===-，则(
)
A.a b c <<
B.a c b
<< C.c b a
<< D.c a b
<<4．已知等比数列{}n a 中,262,8a a ==,则345a a a =（
）
A ．128
B ．64
C ．32
D ．16
5．若变量,x y 满足约束条件02202-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥-⎩
x y x y x ，则目标函数z x y =+的最小值为（
）
A ．6
-B ．2
-C ．4
-D ．4
6．已知命题:p 若∀∈x R ，21+>x x ；命题:q 存在,αβ，使得sin()sin sin αβαβ+=-，则下
列命题为真命题的是()
A ．()
p q ∧⌝B ．()()
p q ⌝∧⌝C ．p q
∧D ．()p q
⌝∧7．已知平行四边形ABCD ，54(,)AB = ,12(,)BC = ,则BD =
(
)
A ．24(,)--
B ．42(,)--
C ．24(,)
D ．42(,)
8．为了得到函数sin(2)4
π
=-
y x 的图象，可以将函数cos 2=y x 的图象()
A ．向右平移
38π
个单位B ．向左平移38π
个单位C ．向右平移34
π
个单位D ．向左平移34
π
个单位9．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（
）
A ．()2sin 2=
x f x x B ．()
2
cos 2=x
f x x C ．()2cos 2=x
f x x
D ．()cos 2=
x f x x 10．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的两条渐近线分别为12,l l ，经过右焦
点F 垂直于1l 的直线分别交12,l l 于,A B 两点．若FA AB =
，则该双曲线的离心率为(
)
A ．2
B ．3
C ．5
D ．
52
11．已知,,a b c 分别为ABC ∆的内角,,A B C 所对的边，且222334a b c ab +-=，则下列不等式一定
成立的是（）A ．sin cos ≤A B
B ．sin sin ≤A B
C ．cos sin ≤A B
D ．cos cos ≤A B
12．已知函数{
32
410
,()log ,x x x x f x x -+≤=>，则[]1()y f f x =-的零点个数为()
A.7
B.8
C.10
D.9
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若直线210x y -+=与直线410ax y +-=平行，则a 的值为__________．
．
14．已知抛物线2:4=M y x ，过焦点的直线l 交抛物线M 于,A B 两点，且12AB =,则弦AB 的中
点到抛物线M 的准线的距离为__________．
15．已知圆224210:C x y x y +--+=，
直线340:l x y k -+=，若圆C 上有且仅有两点到直线l 的距离为1，则实数k 的取值范围为_________．
16.已知定义在R 上的连续函数()f x 满足2()()cos f x f x x +-=-，且0x ≥时，()sin f x x '<恒
成立，则不等式33
()(
)cos()f x f x x ππ
--≤-+的解集为__________.
三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分
17．
（本小题满分12分）已知n S 是正项等差数列{}n a 的前n 项和，且满足241()n n S a =+．
（Ⅰ）求数列{}n a 通项公式；
（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ．
18．(本小题满分12分)
已知直角梯形ABCP ,AB AP ⊥,//AP BC ,2222CP AB BC ===,D 是AP 的中点。

现沿线段CD ,将CDP ∆折起，使得平面CDP ⊥平面ABCD ,得到如图所示四棱锥P ABCD -,,E F 分别是PC ,BC 的中点．（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；
（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点M ，使得//PA 平面MEF ,若存在，请说明点M 的位置；否则，请
说明理由．
19．（本小题满分12分）
为全面贯彻落实党的十九大精神，建设美丽乡村，提高人民群众的幸福指数，某工业园开展健康普查，为了了解员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，设计如下的列联表．
患有颈椎疾病没有患颈椎疾病合计
白领
蓝领x
合计
50
已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为09.；抽到白领人的概率为06.（Ⅰ）已知患有颈椎疾病的蓝领人员有x 名，请将上面的列联表补充完整；并计算在全部50人中随机抽取1人，抽到没有患有颈椎疾病的人的概率为多少?
（Ⅱ）设（Ⅰ）列联表中x 的取值集合为A ，若有99．5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质有关，试指出集合A 中的元素x 的取值．
附参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc k a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++．
下面的临界值表仅供参考：
20()p k k ≥0．150．10
0．050．0250．0100．0050．0010
k 2．0722．706
3．841
5．024
6．635
7．879
10．828
20．(本小题满分12分)
已知ABC ∆中，顶点10(,)A -,坐标原点00(,)O ，B ，C 关于原点00(,)O 对称,且满足
4AB AC +=．
（Ⅰ）求动点B 的轨迹M 的方程；
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+总与定圆：222x y r +=相切，与点B 的轨迹M 交于点,P Q 两点，当满
足0OP OQ ∙=
时，求此定圆半径r 的取值．
21．(本小题满分12分)
设函数()(,x g x xe ax a R a =+∈为常数，e 为自然对数的底数)．
（Ⅰ）若函数()g x 在1x =-处的切线l 方程为0x y b -+=，试求实数,a b 的值；（Ⅱ）若不等式2()()g x a x k >+-恒成立，其中k N ∈,求k 的最小值。

（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，圆1C 的参数方程为1cos sin x t
y t
=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），圆2
C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离123C C =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求圆1C 和圆2C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的极坐标方程：4
π
θ=
，设直线l 与圆1C 和圆2C 另外两交点分别为,A B ，求AB ．23．(本小题满分10分)
设()211f x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()3f x ≤；
（Ⅱ）若不等式()m x f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围．
2020届湖北省部分重点高中
高三11月期中联考
数学(文科)参考答案
一．选择题：题号123456789101112答案
B
C
D
B
C
C
B
A
D
A
A
C
二、填空题13．2-14．6
15．177313(,)(,)
--⋃16．6,π⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
三、解答题：
17．（Ⅰ）当1n =时，21141(),a a =+211101(),a a -=∴=………（2分）当2n ≥时，由1n n n a s s -=-得，22
11144
()()n n n a a a -++=
-，………（4分）2211422n n n n n a a a a a --∴=+--，于是1112()()()n n n n n n a a a a a a ---+=+-，10n n a a -∴+=舍去，12n n a a --=，
通项公式为12121()n a n n =+-=-………（6分）（Ⅱ）由（1）得
111111
212122121
()()()n n a a n n n n +==--+-+，………（8分）数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和111111111
21323522121(()(
)n T n n =-+-++--+ 11122121
()n n n =-=++………（12分）
18．
（Ⅰ）证明：∵平面CDP ⊥平面ABCD ，PD CD ⊥,PD ∴⊥平面ABCD ，∴PD AC ⊥．
………（2分）又∵ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥,PD BD D ⋂=,
AC ∴⊥平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,∴PB AC ⊥,
………（4分）又∵点,E F 分别PC ,BC 的中点,//PB EF ,故EF AC ⊥………（6分）
（Ⅱ）连结AC ，取AC 中点O ，连结,EO FO ，延长FO 交AD 于点M ,
则//PA 平面MEF ．
证明∵E 为PC 的中点，O 是AC 的中点，
∴//EO PA ．又∵EO ⊂平面MEF ，PA ⊄平面MEF ，∴//PA 平面MEF ．………（10分）
此时点M 是线段AD 的中点………（12分）
19．（Ⅰ）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率
为09.，可得患颈椎疾病的为500945.⨯=人；其中抽取白领为500630.⨯=人。

故可得列联表如下：
…………（4分）
在全部50人中随机抽取1人，没有患有颈椎疾病人数为5人，其概率为5
0150
.=…（6分）（Ⅱ）由列联表知200,x -≥150x -≥且x N ∈,故{}151617181920,,,,,A =；…………（8分）由[]
2
2504520154552030
()()()x x x x k ⨯----=
⨯⨯⨯22
50900502518455203027
()()x x ⨯-⨯-==⨯⨯⨯，…（10分）于是，2
251827
()x ⨯-7879.>，
当15x =时2
251822583332727
().x ⨯-=≈，符合条件；
当16x =或20,2
25181004
2727
()x ⨯-=<当17x =或19,2
2518251
2727
()x ⨯-=<当18x =，2
25180
27
()x ⨯-=所以15x =为所求
………（12分）
20．（Ⅰ）设动点(,)B x y ，则两点,B C 关于坐标原点O 对称，(,)C x y --，满足4AB AC +=2222114()()x y x y ++-+，………（2分）即动点(,)B x y 轨迹是以1010(,),(,)-为焦点的椭圆，………（4分）
其轨迹方程为22
1043
()
x y y +=≠………（5分）
（Ⅱ）直线:l y kx m =+总与定圆：222x y r +=相切，
2
1
m r k =+，2221()m r k =+，
………（6分）
设1122(,),(,)P x y Q x y 由22
222348412014
3,()y kx m x y k x kmx m =+⎧⎪∴+++-=⎨+=⎪⎩，患有颈椎疾病
没有患颈椎疾病
合计白领45x -15x -30蓝领x
20x
-20合计
45
5
50
2121222
8412
3434,km m x x x x k k --∴+==++………（8分）
又当0OP OQ ∙=
,12120x x y y +=，
又把11y kx m =+，22y kx m =+代入得，22121210()()k x x km x x m ++++=，故22
222
4128103434()((),m km
k km m k k
--+++=++22712120m k --=2227127120()r k r ∴-+-=对任意k 恒成立，
………（10分）所以27120,r ∴-=
即r ………（12分）
21．
（Ⅰ）由切线l 方程为0x y b -+=，11(),g '-=由1()()x g x x e a '=++，
………（2分）
1()g a '-=，1
a ∴=………（3分）又111()g a
b e -=-
-=-+，∴1b e
=-………（5分）
(Ⅱ)若不等式2()()g x a x k >+-恒成立，即使2x k x xe >-，记
221(),()()x x f x x xe f x x e '=-=-+，记21()()x h x x e =-+，2()()x h x x e '=-+，
当2(,)x ∈-∞-时,0()h x '>，函数()h x 在2(,)-∞-上单调递增；当2(,)x ∈-+∞时,0()h x '<,函数()h x 在2(,)-+∞上单调递减。

又∵1(,)x ∈-∞-时,0()h x >,且010()h =>，21220()h e =-<．∴存在唯一的001(,)x ∈,使得0()h x 00210()x x e =-+=，即0021
x e x =
+………（8分）
当0(,)x x ∈-∞时,0()f x '>,函数()f x 在0(,)x -∞上单调递增；当0(,)x x ∈+∞时,0()f x '<,函数()f x 在0(,)x +∞上单调递减∴当0x x =时,()f x 取到最大值0()f x ，
00000002221
()x x f x x x e x x =-=-
+001
214
1()x x =++-+………（10分）
∵001(,)x ∈,∴0112(,)x +∈，0015
1212
(,)x x ++
∈+，001()(,)f x ∈．从而使0()k f x >的最小正整数k 的值为1．
………（12分）
22．（Ⅰ）由圆1C 的参数方程1cos sin x t
y t =-+⎧⎨
=⎩
（t 为参数），
得22(1)1x y ++=，所以11(1,0),1C r -=，
………（2分）
又因为圆2C 与圆1C 外切于原点O ，且两圆圆心的距离12||3C C =，可得12(2,0),2C r =，则圆2C 的方程为22(2)4x y -+=，
所以由cos sin x y ρθ
ρθ
=⎧⎨=⎩，得圆1C 的极坐标方程为2cos ρθ=-，
圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=．………（5分）
（Ⅱ）由已知设1(,)ρθB ，2(,)ρθπ+A ：由
{
12422cos cos()cos ρθρθπθ
==-+=，
………（8分）
∴126cos AB ρρθ=+=，当4
π
θ=
时，AB =………（10分）23．（Ⅰ）当1x <-时，()(21)(1)33f x x x x =---+=-≤，得1x ≥-，故此情况无解；
当112x -≤≤时，()(21)(1)23f x x x x =--++=-+≤，解得1x ≥-，故1
12x -≤≤；
当12x >时，()(21)(1)33f x x x x =-++=≤，解得1x ≤，故1
12x <≤．
综上所述，满足()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤．………（5分）（Ⅱ）当0x =时，可知对于m R ∀∈，不等式均成立；
当0x ≠时，由已知可得()|21||1|11
|2||1|||||-++≤==-++f x x x m x x x x
，………（8分）又1111
|2||1||(2)(1)|3-
++≥-++=x x x x
综上所述，使得不等式恒成立的m 的取值范围为3m ≤．………（10分）
如另有解法，请酌情给分！。