广西崇左高级中学2020-2021学年高一上学期第三次月考数学试题

2020年秋季学期崇左高中高一第三次月考
数学试题
本卷命题范围：必修1~必修2第三章．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列命题为假命题的是（ ） A ．平行于同一平面的两条直线平行 B ．两个平面相交，有且仅有一条交线 C ．垂直于同一平面的两条直线平行
D ．两个平面垂直，则这两个平面所成的二面角为直二面角
2．函数log (1)a y x =-（0a >且1a ≠）图象所过定点的坐标为（ ） A ．(1,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0)
3．函数1
()3
f x x =
+- ） A ．[2,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．[2,3)(3,)⋃+∞ D ．(2,3)(3,)⋃+∞ 4．斜率为2，且过直线4y x =-和直线2y x =+交点的直线方程为（ ） A ．21y x =+ B ．21y x =- C ．22y x =- D ．22y x =+ 5．函数()42
x x
f x -=-
的零点所在区间是（ ） A ．(1,0)- B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
6．点(2,1)关于直线y x =对称的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3,1)- D ．(1,3)-
7．设集合{}
{}13|21,|log ,x A x B y y x x A -===∈，则B A =（ ） A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1]
8．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）
A ．)256cm +
B ．)248cm +
C ．)280cm +
D ．)
272cm + 9．若01c a b <<<<，则（ ）
A ．a b c c <
B ．lg lg lg c a b >>
C ．log 1c b a >
D ．log log 0a b b c ⋅< 10．函数2
ln ||
()1
x x f x x =
+的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，G 分别是,AB AD 的中点，则异面直线EG 与1B C 所成角的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
12．设αβγ、、是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题： ①若//,//m m αβ，则//αβ ②若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ③若,m m αβ⊥⊥，则//αβ ④若//,m n αα⊥，则//m n 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．底面直径和母线长都是2cm 的圆柱的表面积为__________2cm ．
14．某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y （桶）与销售单价x （元）的关系式为30450y x =-+，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为______元．
15．半径为R 的球放在墙角，同时与两墙面和地面相切，如果球心到墙角顶点的距离为6，则
R =_____．
16．已知函数,0
()ln ,0
x e x f x x x ⎧=⎨>⎩，()()2g x f x x a =+-，若()g x 存在2个零点，则实数a 的取
值范围为__________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说眀、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知直线123
:1,:(2)l y x l y a x a a
=
-=-+，其中0a ≠． （1）若12//l l ，求实数a 的值； （2）若12l l ⊥，求实数a 的值． 18．（本小题满分12分） 化简求值：
（1）1111
2
222
11
22
11a b
A a b b a a b ⎛⎫⎛⎫-=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，其中a 、b 为正数； （2）23lg 400lg 2lg5log 3log 2
B =-++⋅． 19．（本小题满分12分）
如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点F ，H 分别为11
,A D AC 的中点．
（1）证明：1//A B 平面AFC ． （2）证明：平面11A B H ⊥平面AFC ． 20．（本小题满分12分）
已知幂函数()
221()22m f x m m x +=+-在(0,)+∞上是增函数． （1）求()f x 的解析式；
（2）若f f <，求4a 的取值范围． 21．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，D 为BC 的中点，点P 在棱1BB 上，
12,2AB AC BC AA ====．
（1）求证：AD ⊥平面11BCC B ；
（2）若点B 到平面APC 的距离为21
，请确定点P 的位置． 22．（本小题满分12分）
已知函数22()log (2),()2f x x g x x ax =+=-+-．
（1）判断函数()()(6)h x f x f x =+-的单调性，并说明理由；
（2）若对任意的()()1212,[1,2],x x f x g x ∈<恒成立，求a 的取值范围．
2020年秋季学期崇左高中高一第三次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1．A 2．B
3．C
因为1
()3f x x =
+-30240
x x -≠⎧⎨->⎩，解得23x <或3x >． 4．A 交点坐标为(1,3)，所求直线方程为32(1)y x -=-，整理为21
y x =+．
5．D 易知函数()f x 为减函数，又1
211111140,(1)0242442f f -⎛⎫
=-=->=-< ⎪⎝⎭
，根据零点存在
性原理，可知函数()42x x f x -=-的零点所在的区间是1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
． 6．A
7．B 由题意得{|1},{|0}A x x B y y ==，则[0,1)B A =．
8．D
根据几何体的三视图，该几何体为两个四棱柱的组合体，所以该几何体的表面积是
1
3164(24) 24722⨯+⨯⨯+⨯+⨯=+．
9．D log log log log log 0log a a b a a a c
b c b c b
⋅=⋅
=<． 10．A 因为()()f x f x -=-，所以()f x 的图象关于原点对称，故排除C ，D ；当1x =时，()0f x =，当01x <<时，ln ||ln 0x x =<，所以()0f x <，排除B ．
11．C 连接111,,BD B D CD ．因为E ，G 分别是,AB AD 的中点，所以//EG BD ． 又因为11//B D BD ．所以11CB D ∠为异面直线EG 与1B C 所成角． 在11CB D 中，因为1111CB B D CD ==，所以1160CB D ︒∠=．
12．A
13．6π 表面积为22226cm πππ+⨯=．
14．10 由题意得该桶装水经营部每日利润为(30450)(5)420W x x =-+--，整理得
2306002670W x x =-+-，则当10x =时，利润最大．
15
．
6=
，解得R =
16．(,1]-∞ 令()0g x =，有()2a f x x =+，又由2,0
()2ln 2,0x e x x f x x x x x ⎧++=⎨+>⎩
，由函数
()2y f x x =+的图象可知，若函数()g x 有2个零点，必有1a ．
17．解：（1）若12//l l ，有3
2
1
a a a ⎧=-⎪⎨⎪≠-⎩，解得3a = 5分
（2）若12l l ⊥，有3(2)1a a ⨯-=-，解得：3
2
a = 10分
18．解：（1）111122221111111111222222222211
22
0a b a b A a b a a b b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+--+=--+=+ 6分
（2）lg3lg 2
lg(40025)lg100014lg 2lg3
B =÷⨯+
⨯=+=． 12分 19．证明：（1）连接BD ，并交AC 于点E ，则E 为BD 的中点，连接EF ． 因为F 为1A D 的中点，所以1//EF A B ． 2分 又EF ⊂平面AFC ，1A B ⊂/平面AFC ，
∴1//A B 平面AFC ． 4分
（2）连接1B C ．在正方体中，四边形11A B CD 为长方形． ∵H 为1A C 的中点，∴H 也是1B D 的中点，
∴只要证1B D ⊥平面ACF 即可． 6分 由正方体的性质得1,AC BD AC B B ⊥⊥，
∴AC ⊥平面1B BD ，∴1AC B D ⊥． 8分 又F 为1A D 的中点，∴1AF A D ⊥， 又11AF A B ⊥，∴AF ⊥平面11A B D ．
∴1AF B D ⊥，又AF 、AC 为平面ACF 内的相交直线， 10分 ∴1B D ⊥平面ACF ，即1B H 平面ACF ，
∵1B H ⊂平面11A B H ，∴平面11A B H ⊥平面AFC ． 12分
20．解：（1）因为()
221()22m f x m m x +=+-是幂函数，所以2221m m +-=，即3
2
m =-或
1m =． 2分
因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以210m +>，即1
2m >-，则1m =． 4分
故3()f x x =． 5分
（2）因为()f x 为R 上的增函数， 6分
所以201021a a a a -⎧⎪
-⎨⎪-<-⎩
， 9分
解得
3
22
a <． 10分 故4a 的取值范围为(8,16]． 12分
21．（1）证明：∵,AB AC BD CD ==，∴AD BC ⊥． 1分 ∵1AA ⊥底面,ABC AD ⊂平面ABC ，∴1AA AD ⊥． 3分 又∵11//AA BB ，∴1BB AD ⊥， 4分 ∵111,,,,AD BC AD BB BC BB B BC BB ⊥⊥⋂=⊂平面11BCC B ， ∴AD ⊥平面11BCC B ． 6分
（2
）由1AB BD CD ===，可得2AD = 设BP h =
112
22323P ABC V h h -=⨯⨯⨯⨯= 5分
在Rt ABP
中，AP == 6分 在Rt BCP
中，PC == 7分 在
APC 中，
2
22545
cos h h APC +++-∠=
=
8分
sin APC
∠==
9分
有
1
22
APC
S ==
10分
有
1
3
B ACP
V
-
==11分
又由
P ABC B ACP
V V
-
-
=
2
3
h
=，解得1
h=
故若点B到平面APC的距离为
21
，则点P为
1
BB的中点．12分
22．解：（1）
22
()log(2)log(4)
h x x x
=++-的定义域为(4,)
+∞，1分
因为()
2
2
()log28
h x x x
=--，2分
且228
y x x
=--在(4,)
+∞上单调递增，3分
2
log
y x
=在(0,)
+∞上单调递增，4分
所以()
h x在(4,)
+∞上单调递增．5分
（2）因为
2
()log(2)
f x x
=+，所以()
f x在[]
1,2上的最大值为
2
(2)log42
f==．6分
对任意的()()
1212
,[1,2],
x x f x g x
∈<恒成立等价于
max
()()
f x
g x
<恒成立，
即240
x ax
-+<．7分
①当1
2
a
，即2
a时，
4240
a
-+<，即4
a>，无解；8分
②当2
2
a
，即4
a时，
140
a
-+<，即5
a>，又4
a，所以5
a>．9分
③当12
2
a
<<，即24
a
<<时，
140
4240
a a -+<⎧⎨
-+<⎩，即5a >， 又24a <<，此时无解． 11分 综上，a 的取值范围为(5,)+∞． 12分。