最简二次根式

典型例题一

例01．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）

A ．12-x

B ．x y x

C ．12

D ．2

11 分析 因.324312,=⨯==xy x

x x y x 26232

11== 解答 A

说明 最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数因数是整数，因式是整式；（2）被开方数不能含有开得尽方的因数或因式.

典型例题二

例02．在二次根式中45，32x ，4

x ，22n m +，11，最简二次根式的个数是（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

分析 因为5345=，x x x 223=，2

4x x =都不是最简二次根式，所以最简二次根式有2个.

解答 B

说明 最简二次根被开方数中因数次数只能小于2，且不能含有分母.

典型例题三

例03．在根式6，z y x 2)(+，b a 2，x 1，2x ，x

y ，22y x +，ab 8，3x 中，最简二次根式的个数为（ ）.

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

分析 x 1的被开方数是分式，2x 的被开方数中含有分数因数2

1，ab 8=ab 222⋅，x x x ⋅=23，它们和z y x 2)(+中都含有能开得尽方的因数或因式，

所以这几个二次根式都不是最简二次根式.

解答 C

说明 考查最简二次根式的意义.

只要全面了解了最简二次根式的定义，这样的题目就能迎刃而解. 读者可以自行编拟类似的判断题等，互相检查对二次根式的了解情况.

典型例题四

例04．化简

.______)(,2223=<+--b a ab b a a b

a a 分析 原式=)2(22

b ab a a b

a a +-- a

b a b a a b a a b a a -⋅-=--=2)( 因b a <，0<-b a ，)(b a b a --=-

故原式=a a -

解答 a a -

说明 化简时，把能开得尽方的因式移到根号外，但一定要根据其取值范围，将算术平方根移到根号外. 如果将要移出因式是多项式，必须添上括号.

典型例题五

例05．（1）化简：______;45=-x

（2）________1=-a

a . 分析 （1）因045≥-x ，则0≤x ， 故x x

x x x -=-⋅=-225224 （2）因01≥-

a ，0<a ， 故a a a

a a a a a a --=-=-=-21 解答 x x -22；a --

说明 在（1）中隐含045≥-x ，即0≤x 的条件；在（2）中隐含01≥-a

，即0<a . 典型例题六

例06．化简)10(2122<<-+a a a

解答 ∵10<<a ，∴ a a 1<，01<-a a . ∴222)1(21a

a a a -=-+ a

a a a a

a 2

1)1(1

-=-

-=-= 说明 本题中a 与a

1的大小关系，是以隐含的形式给出的. 被开方数可以写成两项差的平方的形式，从而可以利用本节所学公式.

典型例题七

例07．化简：)(2)(22y x y xy x x

x y >+-⋅-

解答1：∵y x >，∴0>-y x ，

原式=2)

()(y x x x y -⋅-x y x x y ⋅--=x x y x x y -=--= 解答2：∵y x >，∴0<-x y ，

原式=2)()(y x x y x ---x y x x y x -=-⋅--=2

2)()( 说明 可将被开方数的分母写成两项差的平方的形式移出根号，也可将根号外的因式移入根号内.

典型例题八

例08．把下列二次根式化成最简二次根式：

（1）2571； （2）)0,0,0(943

5>>>m b a m

b a ； （3）b a b a -+ （4）y

xy x --12 解答 （1）原式=25

4524253222=⨯= （2）原式=m

ab b a m ab b a 222423232=⋅=abm m b a 322 （3）原式=2221)())((b a b

a b a b a b a --=--+ （4）原式=y x x y x x 1)1()1)(1(+=--+=y x y )1(1+y xy y +=1

说明 考查二次根式的化简

（1）被开方数是带分数时，首先要将它化为假分数；（2）被开方数分解因数或因式后，若分子、分母有公因数（式），应先约去公因数（式），使运算简便.

典型例题九

例09．化简下列根式：

（1）11)1(---a a ； （2）21x

x x +-； （3）)0(253<b b a 解答 （1）由被开方式01

1>--a 知01<-a ∴原式=a a

a a a --=-⋅--=---111)1(11)1(2 （2）由根式有意义知⎩

⎨⎧≠≤+001x x 即1-≤x ∴原式=222)1()(1)(x

x x x x x +---=+---)1(+--=x 1---=x （3）∵0<b ，又03

≥b a 知0≤a