吉林省白山市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(1)

2021~2022学年上学期白山市高一期末
数学试题
一､选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.
1. 已知集合{}1,2A =,(){}
20|B x x x =-=,则A B ⋃=（ ）A {}
0,1 B. {}2 C. {}0,2 D. {}
0,1,2【结果】D 【思路】
【思路】解一圆二次方程求集合B ,再由集合地并运算求A B .【详解】由(){}
{}200,2B x x x =-==,所以{}0,1,2A B = .故选：D.2.
函数()ln 4y x =+-地定义域为（ ）
A. ()4,7
B. (]
4,7 C. (]
,7-∞ D. ()
4,+∞【结果】B 【思路】
【思路】由根式，对数地性质可得70
40x x -≥⎧⎨->⎩,即可得定义域.
【详解】由题设,70
40x x -≥⎧⎨->⎩
,解得：47x <≤,故函数定义域为(]4,7.
故选：B.
3. 已知扇形地面积为9,半径为3,则扇形地圆心角（正角）地弧度数为（ ）A. 1 B.
π
3
C. 2
D.
2π3
【结果】C 【思路】
【思路】利用扇形面积公式即可求解.
.
【详解】设扇形地圆心角地弧度数为()0αα>,由题意得21
392
α⋅=,得2α=.故选：C.4. “()π2π6
k k α=-
+∈Z ”是“1
sin 2α=-”地（ ）
A. 充分不必要款件
B. 必要不充分款件
C. 充要款件
D. 既不充分也不必要款件
【结果】A 【思路】【思路】由()π2π6
k k α=-
+∈Z 可以得到1
sin 2α=-,却反向推导不成立,故可以得到结果.
【详解】由
()π
2π6
k k α=-+∈Z 可以得到1sin 2
α=-,却由1sin 2
α=-,得π2π6
k α=-+或
()5π
2π6
k k α=-
+∈Z .故选：A.5. 函数()3
cos 12
f x x x =
在[]22-,上地图象大约为（ ）
A. B.
C. D.
【结果】D 【思路】
【思路】应用排除法,结合函数地奇偶性及π02f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
即可确定函数大约图象.
【详解】由()()3311
()|cos()||cos |22
f x x x x x f x -=--=-=-知：()f x 是奇函数,排除B ，C.由π02f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
,排除A.故选：D.6. 已知4cos 85πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 24πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭（ ）
A. 7
25
-
B.
725
C. 1625
-
D.
1625
【结果】B 【思路】
【思路】化简sin 2sin[(2)]424πππαα⎛
⎫+=-- ⎪
⎝
⎭即得解.【
详
解
】
解
：
由
题
得
2167sin 2sin[(2)]cos(2)=2cos ()121424482525πππππαααα⎛
⎫+=--=---=⨯-= ⎪⎝⎭
.
故选：B
7. 要得到函数πsin 36y x ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
地图象,只需要将函数cos3y x =地图象（ ）A. 向右平移2π
3
个单位 B. 向左平移2π
3
个单位C. 向右平移2π
9
个单位 D. 向左平移
2π
9
个单位【结果】C 【思路】
【思路】依据图象平移前后地函数思路式,结合诱导公式,写出平移过程即可
【详解】将πcos3sin 32y x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移2π
9个单位得到2sin[3()sin 3926y x x πππ⎛⎫=-+=- ⎪⎝
⎭.
故选：C.
8. 假设某地初始物价为1,其物价每年以5%地增长率递增,当该地物价不低于1.5时,至少需要经过地年数为（ ）（参考数据：取1g 20.3=,lg 30.48=,lg 21 1.32=）A. 8 B. 9
C. 10
D. 11
【结果】B
【思路】
【思路】应用指数函数表示x 年后该地物价,可得指数不等式213202x
⎛⎫
≥ ⎪
⎝⎭
,结合指对数地关系及对数地运算性质求解即可.
【详解】经过x 年后该地物价为2120x
⎛⎫
⎪⎝⎭
,
∴由题意得：213202x
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
,得21203log 2x ≥,而21203lg3lg 2lg3lg 2log 92lg 21lg 20lg 21lg 21--===---,∴9x ≥,故至少需要经过地年数为9.故选：B.
二､多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出地选项中,有多项符合题目要求,全部选对地得5分,部分选对地得2分,有选错地得0分.
9. 已知函数()log 412a y x =--（0a >且1a ≠）地图象过定点P ,且角θ地终边经过P ,则（ ）A. ()4,12P - B. 12
sin 13
θ=-C. 5cos 13θ=- D. π7tan 417
θ⎛⎫+
=- ⎪⎝
⎭【结果】BD 【思路】
【思路】先依据对数函数地性质求出定点P ,再依据三角函数地定义及两角和地正切公式计算即可【详解】令41x -=,得5x =,进而12
y =-()5,12P ∴-,
则12sin 13θ=-
,5cos 13θ=,5
t n 1a 2
θ-=,
12
πtan 1
51217tan 41tan 1715
θθθ+⎛⎫+===- ⎪-+-
+⎝⎭.
故选：BD.
10. 若函数()e x
f x =,则下面函数为偶函数地是（ ）
A ()()
y f x f x =-- B. ()1
y f
x =+.
C. ()cos y f x =
D. ()()
y f x f x =+-【结果】BCD 【思路】
【思路】利用函数奇偶性地定义判断各选项函数地奇偶性即可.
【详解】(()()()e e )x x g x f x f x g x -=----==-,故()()y f x f x =--是奇函数,A 错误.
()()1(||)1()g x f f x g x x --=+=+=,故()1y f x =+是偶函数,B 正确.
()()cos()(cos )()g x g f f x x x ==-=-,故()cos y f x =是偶函数,C 正确.()()()()g x f x f x g x -=-+=,故()()y f x f x =+-是偶函数,D 正确.
故选：BCD.
11. 函数()()sin f x A x ωϕ=+（0>ω,πϕ<）地部分图象如图所示,则（ ）
A. 2ω=
B. 3
π
ϕ=-
C. ()f x 地单调递减区间为52,
12]212
[k k π
π
ππ+-
+（k Z ∈）
D. ()f x 图象地对称轴方程为122
k x ππ=-+（k Z ∈）【结果】AD 【思路】
【思路】由图知2A =且33π
44
T =
求ω,依据五点法求参数ϕ,即可得()f x 地思路式,再由正弦型函数地性质求递减区间，对称轴方程,即可判断各选项地正误.【详解】由图可得：2A =且31134
1264
T πππ
=-=,∴T π=,则22T
π
ω=
=,A 正确.
由112si 11126n 2f πϕπ⎛⎫+= ⎪⎝⎛⎫=⎪⎭
⎝⎭,则115262k ππϕπ+=+（k Z ∈）,得223k π
ϕπ=+（k Z ∈）,即23
ϕπ
=
,B 错误.综上,有()22sin 23
f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
,由
23222232k x k π
ππ
ππ+≤+
≤+,（k Z ∈）,得51212
k x k ππππ-+≤≤+（k Z ∈）,C 错误.
由2232x k πππ+=+（k Z ∈）,得122
k x ππ=-+（k Z ∈）,D 正确.故选：AD.
12. 设函数()24,1
2,1x x x x f x a x ⎧-+>=⎨+≤⎩
,则（ ）
A. 当1a =时,()f x 地值域为(,4]-∞
B. 当()f x 地单调递增区间为(,2]-∞时,1a ≤
C. 当13a ≤≤时,函数()()3g x f x =-有2个零点
D. 当3a =时,有关x 地方程()7
2
f x =有3个实数解【结果】ABD 【思路】
【思路】对A ,先求出函数在每一段地范围,进而求出函数地值域。

对B ,先得出函数地单调区间,然后结合款件求出a 地范围。

对C ,依据函数零点地个数讨论出a 地范围,进而判断结果。

对D ,画出函数地图象即可得到结果.
【详解】对A ,当1a =时,若x >1,()()2
2424(,4]f x x x x =-+=--+∈-∞,若x ≤1,
()21(1,3]x f x =+∈,于是()f x 地值域为(],4∞-,A 正确。

()f x 地单调递增区间是(],1-∞和(]1,2,因为()f x 地单调递增区间是(],2-∞,所以214a +≤-+,即
1a ≤,B 正确。

当1x >时,由()3f x =,得3x =,当1x ≤时,令()23x
f x a =+=,得23x a =-.此方程有唯一解,得
032a <-≤,即13a ≤<,C 错误。

当3a =时,如图所示,
()f x 地图象与直线7
2
y =
有3个交点,D 正确.故选：ABD.
三､填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.把结果填在答题卡中地横线上.
13. 写出一个最小正周期为4π地奇函数：()f x =___________.【结果】1
sin 2
x (结果不唯一)【思路】
【思路】依据题设函数性质写出一个符合要求地函数即可.【详解】最小正周期为4π奇函数,有如：1sin 2a x ，1
tan 4
a x (0a ≠)等.故结果为：1
sin
2
x (结果不唯一).14. 已知0a >,0b >,且2ab =,则2a b +地最小值为___________,此时a b +=___________.【结果】 ①. 4
②. 3
【思路】
【思路】
由基本不等式可得2a b +≥结合已知款件可得2a b +地最小值,再依据等号成立地款件求出对应地a ，b ,即可求a b +.
【详解】由24a b +≥=,当且仅当2a b =,即1a =,2b =时等号成立,此时3a b +=.故结果为：4,3.
15. 已知幂函数()f x 地图象过点()2,8--,且()()13f a f a +≤--,则a 地取值范围是___________.【结果】(],1-∞【思路】
【思路】依据题意求出函数思路式,进而判断出函数地奇偶性和单调性,最后求得结果
.
的的
【详解】设()f x x α
=,则()()228f α-=-=-,得3α=,所以()3
f x x =.容易判断()f x 是定义在R 上
地增函数,且为奇函数,所以由()()13f a f a +≤--,得()()13f a f a +≤-,得13a a +≤-,故a 地取值范围是(],1-∞.故结果为：(],1-∞.
16. 若函数()πsin 14g x x ω⎛
⎫ ⎪
⎝
⎭=+-（0>ω）地图象在π[0,]4上恰有2个零点,则ω地取值范围是___________.【结果】[)9,17【思路】
【思路】依据题意,将问题转化为函数πsin 4y x ω⎛
⎫
⎪⎝
=⎭
+（0>ω）图象与直线1y =地交点个数,进而结合三角函数地图象和性质求得结果.【详解】函数()πsin 14g x x ω⎛⎫ ⎪
⎝
⎭=+
-（0>ω）地零点个数等价于函数πsin 4y x ω⎛
⎫ ⎪⎝
=⎭+（0>ω）图象与直线1y =地交点个数.因为π0,4
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,0>ω,所以
ππππ,4444x ωω⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦
.由题意得
5πππ9π
2442
ω≤+<,解得917ω≤<.故结果为：[9,17).
四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 求值：
（1）()(1
212
02
32533π8-⎛⎫--⨯+ ⎪⎝⎭。

（2）ln8
66log 2log 3lg 0.001e +++
【结果】（1）6- （2）6【思路】
【思路】（1）尽量将底数改写成幂地形式,依据分数指数幂运算可得。

（2）依据对数地运算及恒等式直接计算可得.【小问1详解】
原式1
2
8591591627⎛⎫
=-⨯+=-+=-
⎪⎝⎭
【小问2详解】
原式()3
ln86log 23lg10e 1386
-=⨯++=-+=18. 已知(
)sin πα+=,且α为第二象限角.（1）求tan α值。

（2）求()()
π2sin 2020π2sin 3cos πsin αααα⎛⎫
⎪
⎝+-+⎭+-地值
【结果】（1）2-。

（2）
3
5
.【思路】
【思路】（1）依据题意先求出sin α,进而依据同角三角函数地基本关系求得结果。

（2）先用诱导公式将式子化简,进而进行弦化切,然后结合（1）求出结果.【小问1详解】
由(
)sin πsin αα+=-=
.得sin α=.因为α
为第二象限角,
所以
cos α===,故sin tan 2cos ααα==-.【小问2详解】
()()π2sin 2020πsin 2sin cos 2sin 3cos πsin 3cos αααααααα
⎛⎫
++- ⎪+⎝⎭=
+--2tan 1tan 3αα+=-()2213
235⨯-+==--.19. 某工厂分批生产某产品,生产每批产品地费用包括前期地准备费用､生产过程中地成本费用以及生产完成后产品地仓储费用.已知生产每批产品前期地准备费用为800圆,成本费用与产品数量成正比,仓储费用与产品数量地平方成正比.记生产()x x +∈N 件产品地总费用为y 圆.当60x =时,成本费用为3000圆,仓储费用为450圆.
的
（1）求y 有关x 地函数思路式。

（2）试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？
【结果】（1）()2
508008
x y x x +=++∈N
（2）当每批产品生产80件时,平均费用最少,且平均费用最少为70圆【思路】
【思路】（1）依据已知设成本费用为1y ,仓储费用为2y 圆,则11y k x =,2
22y k x =,当60x =时,13000y =,
2450y =,代入即可求得思路式.
（2）平均费用为2
50800
800850
8
x x y x x x x ++==++,利用基本不等式计算即可.【小问1详解】
设成本费用为1y ,仓储费用为2y 圆,则11y k x =,2
22y k x =,
当60x =时,13000y =,2450y =,可得150k =,218
k =
,故()12
2800508008
y y x x x y +=++=++∈N .
【小问2详解】
平均费用2
50800
8008505070
8x x y x x x x ++==++≥+=,当且仅当
8008
x
x =,即80x =时,等号成立.故当每批产品生产80件时,平均费用最少,且平均费用最少为70圆.20.
已知函数21()cos sin 2f x x x x =
-+
,7,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
．（1）求不等式1
()2
f x …
地解集。

（2）求当()f x 得到最大值，最小值时x 地值,并求最大值，最小值．【结果】（1）π03⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.
（2）7π12x =时,()min f x =π6
x =时,()max 1f x =.【思路】
【思路】（1）运用三角函数倍角公式化简函数()f x 地表达式,再求解三角不等式可得出结果。

（2）依据函数地定义域及三角函数地单调性,求解函数在特定区间上地最值即可.
【小问1详解】
依据题意,()1cos 21π72sin 2,226612x f x x x x ππ-⎛⎫⎡⎤=-+=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()12f x …,即π1sin 262x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭7,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时 , ππ4π2,663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦解上面不等式得,ππ5π2666
x ≤+≤π
03
x ∴≤≤即不等式()12f x ≥地解集为π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【小问2详解】
由（1）可知,()π7sin 2,6612f x x x ππ⎛
⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，7,612x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时,ππ4π2,663x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
π4π263x ∴+=时,即7π12x =时,()f x 得到最小值,且最小值为()min 7π12f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
;
ππ262x +=时,即π6x =时,()f x 得到最大值,且最大值为()max π16f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.21. 已知函数()()()log 2log 1a a f x x x =++-（0a >且1a ≠）.
（1）若3a =,求()f x 地单调区间。

（2）已知()f x 有最大值,且()2,1x ∀∈-,[]0,1b ∃∈,()212b f x -<,求a 地取值范围.
【结果】（1）单调递增区间为12,2⎛⎤-- ⎥⎝⎦,单调递减区间为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭。

（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.【思路】
【思路】（1）先求出函数地定义域,进而依据复合函数单调性“同增异减”地原则求得结果。

（2）依据题意求出函数()f x 地最大值,及212b -地最大值,最后求出结果.
【小问1详解】
由20,10,x x +>⎧⎨->⎩
得21x -<<,则()f x 地定义域为()2,1-.当3a =时,()()23log 2f x x x =--+,函数3log y t =单调递增,函数22t x x =--+在1
(2,]2
--上单调递增,在1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭
上单调递减.故()f x 地单调递增区间为1(2,]2--.单调递减区间为1,12⎛⎫-
⎪⎝⎭.【小问2详解】
()()2
log 2a f x x x =--+,2219224t x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭.得90,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.因为()f x 有最大值.所以log a y t =在90,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
上有最大值,则1a >,max 9log 4a y =.因为[]0,1b ∈,所以211
2,22b -⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
.
因为()2,1x ∀∈-,[]0,1b ∃∈,()212
b f x -<,所以9log 24a <.所以294a >,解得32a >,故a 地取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
.22. 已知函数()4x f x a =-,当1x =时,()f x 得到最小值．
（1）求a 地值。

（2）若函数()()()21g x f x tf x ⎡⎤=-+⎣⎦有4个零点,求t 地取值范围．
【结果】（1）4
（2）172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
【思路】
【思路】（1）分类讨论0a ≤和0a >两种情况,由其单调性得出a 地值。

（2）令()m f x =,结合一圆二次方程根地分布得出t 地取值范围．
【小问1详解】
解：当0a ≤时,4x a a ->-,则()4x f x a =-,故()f x 没有最小值．当0a >时,由()40x
f x a =-=,得4lo
g x a =,则()f x 在()4,log a ∞-上单调递减,在()4log ,a ∞+上单调递增,故4log 1a =,即4a =．
【小问2详解】
()44x f x =-地图象如图所示．
令()m f x =,则函数()2
1h m m tm =-+在()0,4上有2个零点,
得()()240,04,2010,416410,t t h h t ⎧∆=->⎪⎪<<⎪⎨⎪=>⎪=-+>⎪⎩解得1724t <<,故t 地取值范围为172,4⎛⎫ ⎪⎝⎭．。