1.2 行列式的性质(《线性代数》闫厉 著)

a
0
xa
小结
掌握5个性质2个推论
掌握计算行列式的常规方法，见例一
掌握具有特殊结构行列式的计算方法，
见例三
1 1
0 2
D
1
2 1 0
2 1
1 0
解
0 1 1
1 1 0
D
1
2 1
2 1
1
1 1
r1 r2
0 1

1
2
2 1
0
1
1
1
2
2
0
0
2
2
0
0

r3 r1
r4 2r1

1 1
0 1
0 1
2 1
0
1
1
1
2 2
2

2
0
1 1 0 2
0 1 1 2
x n 1 a
D x n 1 a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x n 1 a
a
a
x
1
1
x ( n 1)a 1
a
x
a
a
a
x
a
a
a
1
a
a
x
1
x ( n 1)a
a
xa
a
xa
0
x ( n 1)a ( x a )n1 .
推论1
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
把这两行互换，有D D ，故 D 0 .
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个
倍数 k ，等于用数 k 乘以此行列式。
证明
D1

j1 j2
k
( 1) ( j1 j2
a1 j1
kaiji
anjn
aiji
anjn

a11
a1i
a1 j
a1n
a21
a2 i
a2 j
a2 n
a n1
ani
a2 j
ann
a11
ka1 j
a1 j
a1n
a21
ka2 j
a2 j
a2 n
a n1
kanj
a2 j
ann
D0 D
测试
二、行列式的计算
计算行列式常用方法：常利用行列式的性质，将其化为
三角形行列式来计算．
例１
0 1 1 2
ji
jn )
jn
j1 j2
jn


j1 j2
( 1) ( j1
jn
D1 D2
a1 j1
anjn
biji
anjn
anjn
性质5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后
加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．
备注：以数 k 乘第 j 行（列）加到第 i 行（列）上，记作
ri krj (ci kc j ).
2a31
a12
a22
a32
a11
3 ( 2) 3 a21
a31
18 2
36
3a13
3a23
3a33
a12
a22
a32
a13
a23
a33
x
a
例3 计算n阶行列式 D a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
a
a
a
x
解 将第 2,3,, n 列都加到第一列得
x n 1 a
1 1 2 2
4
常规做法：依次考虑主对角线元素
性质
=
O
. →简单的数，e.g.1,-1…
. 将 下面的数化成零，
即 →0
. →简单的数
. →0
…
注：首先，掌握常规做法；
其次，根据行列式的结构特点，灵活使用性质（行或
性质1
T
行列式与它的转置行列式相等,即 D D 。
性质1
行列式与它的转置行列式相等。
证明
若记 D det(aij ), DT det(bij ) ，则
bij a ji i , j 1, 2,
, n
根据行列式的定义，有
DT

p1 p2


p1 p2
( 1)t ( p1 p2
推论3 行列式如果有两行（列）元素成比例，则此行列式
等于零。
性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,
例如：
D
a11 a12
a21 a22
a1i b1i
a2i b2i
a1n
a2 n
a n1 a n 2
ani bni
ann
则
D
a11 a12
a21 a22
jn

j1 j2
jn )
( 1) ( j1 j2
jn )
a1 j1
jn
kD
备注：第 i 行（列）乘以 k ，记作 ri k (ci k ) 。
推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提
到行列式符号的外面。
备注：第 i 行（列）提出公因子 k，记作 ri k (ci k ) 。

0 1 1
2
0 3
1 4

1 1 0 2
r3 r2
0 1 1 2 3

0 0 2 4

0 3 1 4
1 1 0 2
0 1 1 2 1
r4 3r2


0 0 2 4

0 0 2 2
r4 r3
1 1 0 2
0 1 1 2

0 0 2 4
0 0 0 2
anpn
其中， 1
i
j
n 为自然排列，t为排列 p1
的逆序数。设排列 p1
pj
pi
pj
pn
pn 的逆序数为 t1，则
pi
( 1)t ( 1)t1
故
D1 ( 1)t1 a1 p1
aip j
a jpi
anpn D
备注：交换第 i行（列）和第 j 行（列），记作 ri rj (ci c j ) .
例如
ci kc j

a11
a1i
a1 j
a1n
a21
a2 i
a2 j
a2 n
a n1
ani
a2 j
ann
(i j )
a11
(a1i ka1 j )
a1 j
a1n
a21
(a2 i ka2 j )
a2 j
a2 n
a n1
(ani kanj )
a2 j
a nn
证明
根据性质4可得
D1
a1i
a2 i
a1n
a2 n
a n1 a n 2
ani
ann

a11 a12
a21 a22
b1i
b2 i
a1n
a2 n
a n1 a n 2
bni
ann
证明
D

j1 j2


( j1
( 1)
ji
jn )
a1 j1
(aiji biji )
( 1) ( j1
ji
jn )
a1 j1
aiji
到的，
即
当 k i, j时，bkj akj ；
当 k i, j时，bip a jp ，b jp aip
于是
D1 ( 1)t b1 p1
bipi
b jp j
bnpn
( 1)t a1 p1
a jpi
aip j
anpn
( 1)t a1 p1
aip j
a jpi
pn )
b1 p1 b2 p2
bnpn
( 1)t ( p1 p2
pn )
a p1 1a p2 2
a pn n
pn
pn
D
行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行
成立的对列也同样成立.
性质2
互换行列式的两行（列）,行列式变号。
证明
若设 D1 det(bij ) 是由行列式 D det(aij )对换i, j两行得
§2
行列式的性质
● n阶行列式的性质
● n阶行列式的运算
一、n阶行列式的性质
记 D
a11 a12
a21 a22
a1n
a2 n
a n1 a n 2
ann
, DT
a11
a12
a21
a22
a n1
an 2
a1n
a2 n
a nn
行列式 DT 称为行列式 D 的转置行列式。
T
若记 D det(aij ), D det(bij ) ，则 bij a ji 。
列），将其化成六种结构。
a11
例2 设 a21
a31
解
6a11
2a21
2a31
a12
a22
a32
3a12
a22
a32
a13
6a11 3a12 9a13
3a23 。
a23 2 ，求 2a21 a22
2a31
a32
3a33
a33
9a13
2a11
3a23 3 2a21
3a33