高中数学知识点精讲精析 比较大小

3.1.2 比较大小
1. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

设、为任意两个实数，如果是整数，那么；如果等于零，那么
；如果是负数，那么，反过来也成立，即
注：①上面的“”表示“等价于”，即可以互相推出；
②上面的“”左边的式子反应了实数的运算性质，右边的式子反应的是数的大小，而这结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系。

③这一关系是不等式的理论基础，是比较两个实数大小的依据，也是不等式性质的证明、证明不等式和解不等式的主要依据。

2. 实数比较大小的方法。

(1)作差比较：“作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、有理化等方法.常用的结论有等.
(2) 作商比较：“作商法”的一般步骤是：①作商；②变形；③判断商值与1的大小关系；④得出结论.
用“作商法”比较两个实数大小的关键是判断商值与1的大小关系，常采用约分、分解等变形方法。

注：利用作商法比较两个实数的大小时，作为比较大小的两个数必须同号切不为零；关键是正确变形和判断商的值与1的大小。

在数（式）的结构中含有幂、根式或绝对值时，常采用作商法。

3. 不等式的性质及证明。

性质1：（对称性）；
证：∵ ∴由正数的相反数是负数
性质2：（传递性），
证：∵， ∴，
∵两个正数的和仍是正数 ∴
即 ∴
由对称性、性质2可以表示为：如果且那么
性质3：（加法单调性），
证：∵ ∴
从而可得移项法则：
推论①：（相加法则） a b b a -b a >b a -b a =b a -b a <⎪⎩
⎪⎨⎧<⇔<-=⇔=->⇔>-.0;0;0b a b a b a b a b a b a ⇔⇔22
00x x ≥-≤≥≤，，|x|0，-|x|0b a >⇔a b <b a >0>-b a 0)(<--b a 0<-a b a b <b a >c b >⇒c a >b a >c b >0>-b a 0>-c b +-)(b a 0)(>-c b 0>-c a c a >b c <a b <a c <b a >R c ∈⇔c b c a +>+0)()(>-=+-+b a c b c a c b c a +>+b c a b c b b a c b a ->⇒-+>-++⇒>+)()(d b c a d c b a +>+⇒>>,
证： 推论②：（相减法则）如果且，那么 证：∵ ∴ 或证：
上式>0 ……… 性质4：（乘法单调性），；，
证： ∵ ∴
根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
时即：
时即：
推论①：（相乘法则）且 证： 推论②：（乘方法则）
推论③：（相除法则）且，那么
证：∵ ∴ 性质5：（开方法则）如果，那么
证：（反证法）假设
则：若这都与矛盾 ∴
d b c a d b c b d c c b c a b a +>+⇒⎭
⎬⎫+>+⇒>+>+⇒>b a >d c <d b c a ->-d c <d c ->-d b c a d c b a ->-⇒⎩⎨
⎧->->)()()()(d c b a d b c a ---=---d c b
a <> ⇒⎭
⎬⎫<-∴>-∴00d c b a b a >0
>c ⇒bc ac >b a >0<c ⇒bc ac <c b a bc ac )(-=-b a >0>-b a 0>c 0)(>-c b a bc ac >0<c 0)(<-c b a bc ac <0>>b a 0
>>d c ⇒bd ac >bd ac bd bc b d c bc ac c b a >⇒⎭
⎬⎫>⇒>>>⇒>>0,0,0>>b a ⇒n n b a >)1(>∈n N n 且0>>b a d c <<0d b c a >0>>c d ⇒⎪⎭
⎪⎬⎫>>>>0011b a d c d b c a >0>>b a n n b a >)1(>∈n N n 且n n b a ≤b
a b a b a b a n n n n =⇒=<⇒<b a >n n b a >
例1：有三个条件：（1）ac 2>bc 2；(2)＞；(3)a 2>b 2，其中能分别成为a>b 的充分条件的个数有（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【解析】（1）由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故ac 2>bc 2是a >b 的充分条件，（2）c <0时，a <b ，
（3）a <0时，a <b ，
故（2）、（3）不是a >b 的充分必要条件，故答案选B 。

例2：已知，且，那么（ ）
A. B. C. D. 【解析】. 由，即A 、C 错误. 由 ，即.即选B 。

例3： 比较与的大小 【解析】- 当时∵即
即， 又
∴ ∴< 当时∵即
∴ ∴> 例4：已知比较与的大小。

c a c
b 0b a >>1a b +=4422a b a b ab b a b -+<<<-44
22a b a b ab b a b
+-<<<-4422a b a b ab b a b -+<<<-44
22a b a b ab b a b
+-<<<-111,0,0,122
a b b a a b +=>>∴<<<< 4422222111(1)2()222
a b a b a a a a b -=+=+-=-+>-44
22222(1)231a b b a b b b b b b b a b
--=+-=-+-=-+-2
2(1)(1)(1)(21)0b b b b =-+-=--<44
a b b a b -<-||||,0b a ab >>a 1b 1a 1b 1ab
a b -=0,0>>b a ||||b a >b a >0<-a b 0>ab 0<-ab a b a 1b
10,0<<b a ||||b a >b a <0>-a b 0>ab 0>-ab a b a 1b
12,x >311x x +266x +
【解析】 =………………………（*）
(1)当时，（*）式，所以 ； (2)当时，（*）式，所以 ；
(3)当时，（*）式，所以
【小结】本题主要考查作差法比较两个多项式的大小。

作差的结果中含有未知数时，要对未知数进行分情况讨论，再判断正负号。

3232211(66)33116x x x x x x x +-+=--+-2(3)(32)(3)x x x x =-+-+-(3)(2)(1)x x x ---3x >0>311x x
+>266x +3x =0=311x x +=266x +23x <<0<311x x +<266x +。