2022届高考数学二轮复习：导数与函数零点的综合问题(大题细做)
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1 2022届高考数学二轮复习
第4讲 导数与函数零点的综合问题(大题细做)
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2
C 领悟
高考怎么考 1核心考点
考点一 函数零点个数的判断与证明 ——导数工具，“形”定个数
典题引领——深剖析、细研究 (2020·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝x3＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点12，f12处的切线 与 y 轴垂直． (1)求 b； (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
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13
(2)若选①，证明过程如下： 因为 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，则 f(0)＝b－1>0，而 f－ ba＝－ ba－1·e－ ab<0， 由(1)知，当 a>12时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，根据函数零点存在定理知 f(x)在(－∞， 0)上有唯一零点． 由(1)知，当 a>21时，f(x)在(0，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增． 所以当 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥f(ln(2a))＝[ln(2a)－1]·2a－a[ln(2a)]2＋b＝aln(2a)[2－ ln(2a)]＋b－2a>aln(2a)[2－ln(2a)]，
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4
[怎么解] 解：(1)f′(x)＝3x2＋b. 依题意得 f′12＝0，即34＋b＝0，故 b＝－34. (2)证明：由(1)知 f(x)＝x3－34x＋c，f′(x)＝3x2－34. 令 f′(x)＝0，解得 x＝－21或 x＝21.
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5
f′(x)与 f(x)的情况为：
x
－∞，－12
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11
解：(1)因为 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，所以 f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)． ①当 a≤0 时，ex－2a>0，所以当 x∈(－∞，0)时， f′(x)<0，当 x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ②当 a>0 时，令 ex－2a＝0，则 x＝ln(2a)． 当 0<a<12时，ln(2a)<0，当 x∈(－∞，ln(2a))∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞， ln(2a))，(0，＋∞)上单调递增，当 x∈(ln(2a)，0)时，f′(x)<0，f(x)在(ln(2a)，0)上单调递 减．
－12
f′(x)
＋
0
－12，12 －
Байду номын сангаасf(x)
c＋41
因为 f(1)＝f－21＝c＋14， 所以当 c<－14时，f(x)只有大于 1 的零点．
因为 f(－1)＝f12＝c－14，
1 2
0 c－41
12，＋∞ ＋
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6
所以当 c>41时，f(x)只有小于－1 的零点． 由题设可知－41≤c≤14. 当 c＝－14时，f(x)只有两个零点－21和 1. 当 c＝14时，f(x)只有两个零点－1 和21. 当－14<c<14时，f(x)有三个零点 x1，x2，x3，且 x1∈－1，－12，x2∈－12，12，x3∈12，1. 综上，若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，则 f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
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10
好题精练——练技巧、练规范 1．(2021·新高考卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
①12<a≤e22，b>2a；②0<a<12，b≤2a．
注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．
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3
考什么 怎么考 怎么思
第(1)问，导数的几何意义；第(2)问，利用导数研究函数零点，导数的 应用；逻辑推理，数学运算． 第(1)问，利用斜率为零列方程求解；第(2)问，研究函数的单调性，利 用零点定理推理证明． 第(1)问，对函数求导，利用导数的几何意义列关于 b 的方程； 第(2)问，确定单调区间，求 f(－1)，f－12，f12，f(1)，进而推理证明.
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12
当 a＝12时，ln(2a)＝0，此时 f′(x)≥0，故 f(x)在 R 上单调递增． 当 a>12时，ln(2a)>0，当 x∈(－∞，0)∪(ln(2a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)， (ln(2a)，＋∞)上单调递增，当 x∈(0，ln(2a))时，f′(x)<0，f(x)在(0，ln(2a))上单调递减． 综上，当 a≤0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当 0<a<12时， f(x)在(－∞，ln(2a))，(0，＋∞)上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减；当 a＝21时，f(x) 在 R 上单调递增；当 a>21时，f(x)在(－∞，0)，(ln(2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(2a)) 上单调递减．
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7
[思维拓展] 已知函数f(x)＝sin x＋ln x－1.当x∈(0，π)时，讨论函数f(x)的零点个 数．
解：因为 f′(x)＝cos x＋1x，
所以当 x∈0，π2时，f′(x)>0，则 f(x)在0，π2上单调递增，且 fπ2＝lnπ2>0，fπ6＝ln
π 6
－12<0，
所以 f(x)在0，π2内有唯一零点；
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8
当 x∈π2，π时，由 f″(x)＝－sin x－x12<0，知 f′(x)在π2，π上单调递减，且 f′π2＝2π>0， f′(π)＝－1＋1π<0，知存在唯一 x0∈π2，π使得
f′(x0)＝0； 当 x∈π2，x0时 f′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x∈(x0，π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减且 fπ2>0， f(π)＝ln π－1>0，所以 f(x)在π2，π上无零点． 综上可知 f(x)在区间(0，π)内有且只有一个零点．
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9
判断函数零点个数的思路 判断函数在某区间[a，b]((a，b))内的零点个数时，主要思路为：一是由f(a)·f(b)<0及 零点存在性定理，说明在此区间上至少有一个零点；二是求导，判断函数在区间(a，b) 上的单调性，若函数在该区间上单调递增或递减，则说明至多只有一个零点，若函数在 区间[a，b]((a，b))上不单调，则要求其最大值或最小值，借用图象法等，判断零点个 数．
第4讲 导数与函数零点的综合问题(大题细做)
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C 领悟
高考怎么考 1核心考点
考点一 函数零点个数的判断与证明 ——导数工具，“形”定个数
典题引领——深剖析、细研究 (2020·全国卷Ⅲ)设函数 f(x)＝x3＋bx＋c，曲线 y＝f(x)在点12，f12处的切线 与 y 轴垂直． (1)求 b； (2)若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，证明：f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
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(2)若选①，证明过程如下： 因为 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，则 f(0)＝b－1>0，而 f－ ba＝－ ba－1·e－ ab<0， 由(1)知，当 a>12时，f(x)在(－∞，0)上单调递增，根据函数零点存在定理知 f(x)在(－∞， 0)上有唯一零点． 由(1)知，当 a>21时，f(x)在(0，ln(2a))上单调递减，在(ln(2a)，＋∞)上单调递增． 所以当 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥f(ln(2a))＝[ln(2a)－1]·2a－a[ln(2a)]2＋b＝aln(2a)[2－ ln(2a)]＋b－2a>aln(2a)[2－ln(2a)]，
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[怎么解] 解：(1)f′(x)＝3x2＋b. 依题意得 f′12＝0，即34＋b＝0，故 b＝－34. (2)证明：由(1)知 f(x)＝x3－34x＋c，f′(x)＝3x2－34. 令 f′(x)＝0，解得 x＝－21或 x＝21.
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f′(x)与 f(x)的情况为：
x
－∞，－12
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解：(1)因为 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b，所以 f′(x)＝xex－2ax＝x(ex－2a)． ①当 a≤0 时，ex－2a>0，所以当 x∈(－∞，0)时， f′(x)<0，当 x∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故函数 f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． ②当 a>0 时，令 ex－2a＝0，则 x＝ln(2a)． 当 0<a<12时，ln(2a)<0，当 x∈(－∞，ln(2a))∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞， ln(2a))，(0，＋∞)上单调递增，当 x∈(ln(2a)，0)时，f′(x)<0，f(x)在(ln(2a)，0)上单调递 减．
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f′(x)
＋
0
－12，12 －
Байду номын сангаасf(x)
c＋41
因为 f(1)＝f－21＝c＋14， 所以当 c<－14时，f(x)只有大于 1 的零点．
因为 f(－1)＝f12＝c－14，
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0 c－41
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所以当 c>41时，f(x)只有小于－1 的零点． 由题设可知－41≤c≤14. 当 c＝－14时，f(x)只有两个零点－21和 1. 当 c＝14时，f(x)只有两个零点－1 和21. 当－14<c<14时，f(x)有三个零点 x1，x2，x3，且 x1∈－1，－12，x2∈－12，12，x3∈12，1. 综上，若 f(x)有一个绝对值不大于 1 的零点，则 f(x)所有零点的绝对值都不大于 1.
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好题精练——练技巧、练规范 1．(2021·新高考卷Ⅱ)已知函数 f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．
①12<a≤e22，b>2a；②0<a<12，b≤2a．
注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分．
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考什么 怎么考 怎么思
第(1)问，导数的几何意义；第(2)问，利用导数研究函数零点，导数的 应用；逻辑推理，数学运算． 第(1)问，利用斜率为零列方程求解；第(2)问，研究函数的单调性，利 用零点定理推理证明． 第(1)问，对函数求导，利用导数的几何意义列关于 b 的方程； 第(2)问，确定单调区间，求 f(－1)，f－12，f12，f(1)，进而推理证明.
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当 a＝12时，ln(2a)＝0，此时 f′(x)≥0，故 f(x)在 R 上单调递增． 当 a>12时，ln(2a)>0，当 x∈(－∞，0)∪(ln(2a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，0)， (ln(2a)，＋∞)上单调递增，当 x∈(0，ln(2a))时，f′(x)<0，f(x)在(0，ln(2a))上单调递减． 综上，当 a≤0 时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当 0<a<12时， f(x)在(－∞，ln(2a))，(0，＋∞)上单调递增，在(ln(2a)，0)上单调递减；当 a＝21时，f(x) 在 R 上单调递增；当 a>21时，f(x)在(－∞，0)，(ln(2a)，＋∞)上单调递增，在(0，ln(2a)) 上单调递减．
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[思维拓展] 已知函数f(x)＝sin x＋ln x－1.当x∈(0，π)时，讨论函数f(x)的零点个 数．
解：因为 f′(x)＝cos x＋1x，
所以当 x∈0，π2时，f′(x)>0，则 f(x)在0，π2上单调递增，且 fπ2＝lnπ2>0，fπ6＝ln
π 6
－12<0，
所以 f(x)在0，π2内有唯一零点；
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当 x∈π2，π时，由 f″(x)＝－sin x－x12<0，知 f′(x)在π2，π上单调递减，且 f′π2＝2π>0， f′(π)＝－1＋1π<0，知存在唯一 x0∈π2，π使得
f′(x0)＝0； 当 x∈π2，x0时 f′(x)>0，f(x)单调递增； 当 x∈(x0，π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减且 fπ2>0， f(π)＝ln π－1>0，所以 f(x)在π2，π上无零点． 综上可知 f(x)在区间(0，π)内有且只有一个零点．
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判断函数零点个数的思路 判断函数在某区间[a，b]((a，b))内的零点个数时，主要思路为：一是由f(a)·f(b)<0及 零点存在性定理，说明在此区间上至少有一个零点；二是求导，判断函数在区间(a，b) 上的单调性，若函数在该区间上单调递增或递减，则说明至多只有一个零点，若函数在 区间[a，b]((a，b))上不单调，则要求其最大值或最小值，借用图象法等，判断零点个 数．