线性代数第1章第4节行列式按行展开

故
4A12+2A22－3A32+6A42=0．
26
44411 32145 例：已知5阶行列式 D 3 3 3 2 2 23542 45613
试求 (1) A21 A22 A23; (2) A24 A25. 其中A2j为D中元素a2j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．
解： 由行列式展开定理有
故 16 2(x) 019 (4)(2) 0 所以 x = 7．
25
例：设
21 41
3 4 2 1
D
,
1 2 3 2
50 62
求4A12+2A22－3A32+6A42，其中Ai2为D中元素ai2(i =1, 2, 3, 4) 的代数余子式．
解：因4, 2,－3, 6 恰好为D中第3列元素，而A12，A22， A32，A42 为D中第2列元素的代数余子式．
an1 an2 ann
11
则
a11 a12 a1n
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
ak1
ak 2
akn
第i行
ak1 ak 2 akn
an1 an2 ann
右端的行列式含有两个相同的行，值为 0 ．
12
综上，得公式
ak1 Ai1
ak 2 Ai 2
akn Ain
D, （当k 0，（当k
(i 1) ( j 1) i j 2 次交换行与交换列的步骤．
7
由性质2，行列式互换两行（列）行列式变号，
得，
aij 0 0
D (1)i j2 ai1, j ai1, j1 ai1,n
anj an, j1 ann
(1)i j aij Mij (1)i j Aij
8
(3) 一般情形
a11 a12 a1n
D ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
a11
a12
a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
an1
an2
ann
9
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
ai1 0 0 0 ai2 0 0 0 ain
24
例：已知四阶行列式D中第一行上元素分别为1, 2, 0, －4; 第三行上元素的余子式依次为6, x, 19, 2．试求x 的值． 解： 由题意知
a11=1，a12=2，a13=0，a14=－4 ； A31=6，A32=－x，A33=19，A34=－2．
而 a11A31 a12 A32 a13 A33 a14 A34 0,
D
a21
a22
a2n
an1 an2 ann
5
由行列式定义，D 中仅含下面形式的项
(1) a a a a (1, j2 , j3 ,, jn )
11 2 j2 3 j3
njn
a (1) a a a (1, j2 , j3 ,, jn )
11
2 j2 3 j3
njn
其中
(1) a a a (1, j2 , j3 ,, jn )
a45 A45 a25 A45
27 0
有
2A4A141
A42 A43 A42 A43
2
A44 A44
A45 A45
27 0
解方程组得
A41 A44
A42 A45
A43 18
9 .
30
10 40
例：设 D 2 0
1 6
1 0
2 0
,
D中元素aij 的代数余子式依
D 0 (1) (1)23 2 3 1 3 (1)33 1 4 5 0
3 1 2
3 1 2
92.
16
解法三：先调整，再展开．
1 2 0 1 1 4 1 5 D 233 1 3 1 0 2
r3 3r2
1 2 0 1 1 4 1 5 1 15 0 16 3 1 0 2
1 2 1 (1) (1)23 1 15 16
例如：
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23
1
M 2 3 23
M23.
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
1
一、行列式按某一行（列）展开
对于三阶行列式，容易验证：
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
aa3111AA2211
a12 A22 a32 A22
a13 A23 a33 A23
a14 A24 a34 A24
a15 A25 a35 A25
0 0
27
由
aa3111AA2211
a12 a32
A22 A22
a13 a33
A23 A23
a14 A24 a34 A24
a15 A25 a35 A25
an1 an2 ann
an1 an2 ann
an1 an2 ann
ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain
3 5 例如，行列式 D 0 1
77
i 1,2,,n 证毕．
3 0 按第一行展开，得 2
1 D 3
7
0
0
5 (5)
2
7
00 3
27
1
27.
7
10
定理2：行列式任一行（列）的元素与另一行(列) 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
r2 r1
5 11
6 2 0 (1)13 6 2
5 5 0
5 5
8 2
40.
0 5
19
122
2
222
2
例：计算 Dn 2 2 3
பைடு நூலகம்
2
222
n
解：
Dn
第二列乘(1)加到各列上
1 2 0 0 20 0 21
20 21 (1)
20
0
0 20
0
2(n 2)!.
n2
0 0 0
n2 nn
20
00
4
定理1：行列式等于它的任一行（列）的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai1 Ai1 ai 2 Ai2 ain Ain i 1,2,, n
证明：（先特殊，再一般） 分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理．
(1) 假定行列式D的第一行除 a11 外都是 0 ．
a11 0 0
观察三阶行列式定义
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11(a22a33 a23a32 ) a12 (a23a31 a21a33 ) a13 (a21a32 a22a31)
ak1 Ai1 ak 2 Ai2 akn Ain 0, k i.
证明：由定理1，行列式等于某一行的元素分别与它们代数 余子式的乘积之和．
a11 a12 a1n
ai1 ai 2 ain 在 D 中，如果令第 i行的元素等于
ak1 ak 2 akn 另外一行，譬如第k行的元素.
3 1 0 2
解法一：按第一行展开
4 1 5
1 1 5
D 1 (1)11 3 3 1 2 (1)12 2 3 1
1 0 2
3 0 2
1 4 1
0 (1) (1)41 2 3 3 92.
310
15
解法二：按第三列展开
1 2 0 1
1 4 1 5
D
.
233 1
3 1 0 2
1 2 1
1 2 1
3 1 2
92.
17
3 1 1 2
例: 计算行列式
5 1 D
3 4
2 0 1 1
解:
原式 c1 2c3
c4 c3
1 5 3 3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010
5 5 3 0
5 11
(1)33 11 1 1
5 5 0
18
5 11 D (1)33 11 1 1
5 5 0
0 0
有
34AA2121AA2222AA23232AA2244AA225500
解方程组得
A21 A24
A22 A25
A23 0
0 .
28
12345 22211 例：已知5阶行列式 D 3 1 2 4 5 27. 11122 43150 试求 (1) A41 A42 A43 ; (2) A44 A45 . 其中A4j为D中元素a4j ( j =1,2,3,4,5)的代数余子式．
00 例：计算行列式 D
2006 0
解：
00 0
D 2007 (1)20072007 0
01 0 20 0
00 0 0 0 2007
0
01
0
20
2006 0
00
20062005
2007 (1) 2 2006! 2007!
21
ab0
00
0ab
00
例: 计算 n 阶(n > 1)行列式 Dn 000
i） i）
a1l A1 j
a2l A2 j
anl Anj
0D，, （ （当 当ll
j） j）
在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定 简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列 式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一 列含有较多的零时，应用展开定理才有意义．但展开定理 在理论上是重要的．
. ab
b00
0a
解一：按第一列展开
ab
00
b00
00
0a Dn a(1)11
00
00
ab0
b(1)n1 0 a b
ab
00 00
00
0a
000
ab
an (1)n1bn .
22
解二：按第一行展开
ab
00
0b
00
0a Dn a(1)11
00
00
0a
b(1)12
ab
00
00 ab
而 0b
00 00
解： 由行列式展开定理有
aa2411AA4411
a42 A42 a22 A42
a43 A43 a23 A43
a44 A44 a24 A44
a45 A45 a25 A45
27 0
29
由
aa2411AA4411
a42 A42 a22 A42
a43 A43 a23 A43
a44 A44 a24 A44
解： 由题意知 A13 (1)31 5 5,
A23 (1)23 3 3,
A33 (1)33 (7) 7, A43 (1)43 4 4.
而 D a13 A13 a23 A23 a33 A33 a43 A43.
所以 D (1)5 2(3) 0(7) 1(4) 15.
a21 a31
a22 a32
可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算.
问题：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n－1 阶行 列式来计算？
2
定义1：在 n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和
第 j 列划去后，余下的 n－1 阶行列式叫做元素
aij 的 余子式，记为 Mij
称 Aij 1 i j Mij 为元素 aij 的代数余子式．
0a
b0
0a
b 0 a b 00 0 0 0
0a 00
00
a b 0 a 0b 0 0 0
按第一列展开 b(1)n Dn
(1)n bn.1
ab
0 0 0 0 b0 0 a b
b0
0a
0 0 b 0 a0 b 0 a
Dn an (1)n1bn .
23
例：已知四阶行列式D中第三列元素依次为－1, 2, 0, 1．它们的余子式依次分别为5, 3, －7, 4，求D =？
2 j2 3 j3
njn
恰是
M11 的一般项．
所以， D a11M11
a11(1)11 M11
a11 A11
6
(2) 设 D 的第 i 行除了 aij 外都是 0 ．
a11 a1 j a1n
D 0 aij 0
把D转化为(1)的情形
an1 anj ann
把 D 的第 i 行依次与第 i 1 行，第 i 2 行，······， 第2行，第1行交换；再将第 j 列依次与第 j 1 列， 第 j 2 列，······，第2列，第1列交换，这样共经过
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a11 a12 a13 M44 a21 a22 a23
a31 a32 a33
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34
a41 a43 a44
A12 1 12 M12 M12
A44
1
M 44 44
M44
注意：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式．
13
利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式 性质，可简化行列式计算：
计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行 （列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展 开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化 为三阶或二阶行列式．
14
例：按某行（列）展开计算行列式
1 2 0 1
1 4 1 5
D
.
233 1