7圆锥曲线定点定值-拔高难度-讲义

圆锥曲线定点定值

知识讲解

一、直线过定点问题

方法：要证明直线y kx m =+过定点，只需要找到k 与m 之间的关系即可.

确定定点(,)P m n ，可以证明,,AP BP AB 任意两个斜率相等即可.

二、定值问题

基本思路：转化为与,A B 两点相关的斜率1k ⇔与2k 1212,x x x x ⇔+的关系式

三、椭圆经典结论

1.椭圆（0a b ＞＞）的两个顶点为,，与y 轴平行的直线交椭

圆于12,P P 时1122A

P A P 与交点的轨迹方程是. 2.过椭圆 (0a b ＞0,＞上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭

圆于,B C 两点，则直线BC 有定向且（常数）.

3.若P 为椭圆（0a b ＞＞）上异于长轴端点的任一点，12, F F 是焦点,

, ，则

. 4.设椭圆（0a b ＞＞）的两个焦点为12,F F P 、（异于长轴端点）为椭圆上任意

一点，在12PF F ∆中，记, ,，则有

.

5.P 为椭圆（0a b ＞＞）上任一点, 12,F F 为二焦点，A 为椭圆内一定点，则

,当且仅当三点共线时，等号成立.

22

221x y a b

+=1(,0)A a -2(,0)A a 22

221x y a b

-=22

221x y a b

+=00(,)A x y 20

20BC b x k a y =22

221x y a b +=12PF F α∠=21PF F β∠=tan t 22

a c co a c αβ

-=+22

221x y a b

+=12F PF α∠=12PF F β∠=12F F P γ∠=sin sin sin c

e a

αβγ==+22

221x y a b +=2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+2,,A F

P

6.椭圆与直线有公共点的充要条件是.

7.已知椭圆（0a b ＞＞），O 为坐标原点，,P Q 为椭圆上两动点，且.

1）

; 2）2

2

OP OQ +的最大值为;

3）的最小值是. 8.过椭圆（0a b ＞＞）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于,M N 两点，弦MN 的

垂直平分线交x 轴于P ，则

. 9.已知椭圆（ 0a b ＞＞），,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴

相交于点, 则. 10.设P 点是椭圆（0a b ＞＞）上异于长轴端点的任一点, 12,F F 为其焦点记

，则(1).(2) 122

tan 2

PF F S b θ∆=.

22

0022

()()1x x y y a b

--+=0Ax By C ++=2222200()A a B b Ax By C +≥++22

221x y a b +=OP OQ ⊥22221111

||||OP OQ a b +=+22

22

4a b a b +OPQ S ∆22

22

a b a b

+22

221x y a b

+=||||2

PF e

MN =22

221x y a b

+=0(,0)P x 2222

0a b a b x a a ---<<22

221x y a b +=12F PF θ∠=2122||||1cos b PF PF θ=+

经典例题

一．解答题（共16小题）

1．（2018•天津）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，点A的坐标为（b，0），且|FB|•|AB|=6．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q．若=sin∠AOQ（O为原点），求k的值．

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2c，

由椭圆的离心率为e=，

∴=；

又a2=b2+c2，

∴2a=3b，

由|FB|=a，|AB|=b，且|FB|•|AB|=6；

可得ab=6，

从而解得a=3，b=2，

∴椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），由已知y1＞y2＞0；∴|PQ|sin∠AOQ=y1﹣y2；

又|AQ|=，且∠OAB=，

∴|AQ|=y2，

由=sin∠AOQ，可得5y1=9y2；

由方程组，消去x，可得y1=，

∴直线AB的方程为x+y﹣2=0；

由方程组，消去x，可得y2=；

由5y1=9y2，可得5（k+1）=3，

两边平方，整理得56k2﹣50k+11=0，

解得k=或k=；

∴k的值为或．

2．（2018•河西区校级模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F （﹣1，0），经过点F的直线l0与椭圆交于A，B两点．当直线l0⊥x轴时，|AB|=．（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）作直线l⊥x轴，分别过A、B作AA1⊥l，垂足为A1，BB1⊥l，垂足为B1，且△A1FB1是直角三角形．问：是否存在直线l使得∠A1FO=2∠B1FO？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得c=1，=，

又a2=b2+c2，

解得a2=2，b2=1，

∴椭圆C的方程+y2=1；

（Ⅱ）不妨设点A在x轴上方，由题意可知∠A1FB1=90°，

要使∠A1FO=2∠B1FO，则当且仅当∠A1FO=2∠B1FO=60°，

即tan∠A1FO=，tan∠B1FO=，

设直线l与x轴交与点H，则|A1H|=3|B1H|，