河北省定州中学2017-2018学年高一承智班上学期期末考试数学试题 含答案 精品

河北定州中学2017—2018学年度高一上学期数学期末考试试题 一、单选题 1．已知函数()2|log ,0{ 21,0
x x f x x x =+-≤，若函数()y f x m =-有四个零点,,,a b c d ，则a b c d
的取值范围是（ ）
A. [)0,2
B. [)0,3
C. [)1,2
D. [
)2,3
2．在正方体1111ABCD A BC D -中， ,M N 分别是1,AB BB 的中点，则直线MN 与平面11A BC 所成角的余弦值为（ ）
2
13
3．形如()0,0b
y c b x c
=
>>-的函数因其函数图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”.若函数()2
1
x
x f x a
++= (0a >且1)a ≠有最小值，则当1,1c b ==时
的“囧函数”与函数log a y x =的图象交点个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4．设函数()x
f x a =， (0a >且1)a ≠在(),0-∞上单调递增，则()()12f a f +与的大小
关系为
A . ()()12f a f += B. ()()12f a f +> C. ()()12f a f +< D.不能确定 5．已知函数()f x 是定义在1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上的单调函数，
且()()112f x f f x x ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，则()1f 的
值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6．设函数()2
22f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的
取值范围为（ ） A. 1a ≥ B.
112a << C. 12a ≥ D. 1
2
a >
7．已知函数()(](]
1101,{ 22110x
x x f x x +⎛⎫
∈ ⎪=⎝⎭
-∈-，，，， 若方程()20f x x m --= 有且仅有一个实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A. 11m -<< B. 112m -≤<- 或1m = C. 112m -<≤- D. 1
12
m -<<- 或1m =
8．己知函数()()12
log 1,1
{
3
1,1x x f x x x
-<=-≥，若方程()0f x a -=有三个不同的实数根，则实
数a 的取值范围是（ ）
A. ()01，
B. ()02，
C. (]
0,2 D. ()0+∞， 9．已知函数()1
2,0
{ 21,0
x e
x f x x x x ->=--+≤，若方程()()220f x bf x ++=有8个相异实根，
则实数b 的取值范围
A. ()4,2--
B. (4,--
C. ()3,2--
D. (3,--
10．定义：对于一个定义域为D 的函数()f x ，若存在两条距离为d 的直线1y kx m =+和
2y kx m =+，使得x D ∈时，恒有()12kx m f x kx m +<<+，则称()f x 在D 内有一个宽度
为d 的通道。

下列函数： ①()()2
0f x x x =≥；②(
)f x =
③()1,0
{
1,0
x x e x f x e x --≤=->；④()()2
4f x x x
=
≥. 其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为 A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ②③④
11．
1111ABCD A BC D -内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A. B. C.
4 D. 8
12．已知函数(),{
,sinx sinx cosx
f x cosx sinx cosx
≥=<，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数()f x 的最小正周期为2π
B. 当且仅当()22
x k k Z π
π=+
∈时， ()f x 的最大值为1
C. 函数()f x 的值域是[]
1,1- D. 当()3222
k x k k Z π
πππ+<<+∈时， ()0f x ＞
二、填空题
13．点A B 、分别为圆()2
2
:31M x y +-=与圆()()2
2
:384N x y -+-=上的动点，点C 在
直线0x y +=上运动，则AC BC +的最小值为__________． 14．给出以下四个结论：
①若函数()
2x
f 的定义域为[]
1,2，则函数2x f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的定义域是[]4,8； ②函数()()log 211a f x x =--（其中0a >，且1a ≠）的图象过定点()1,0；
③当0α=时，幂函数y x α
=的图象是一条直线；
④若1log 12a
>，则a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
； ⑤若函数()()
22
lg 21f x x ax a =-++在区间(]
,1-∞上单调递减，则
a 的取值范围是
[)1,+∞.
其中所有正确结论的序号是___________.
15．已知函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=+， (),x y R ∈，则下列各式恒成立的是__________．
①()00f =；②()()331f f =；③()11
122
f f ⎛⎫=
⎪⎝⎭；④()()0f x f x -<．
16．若0m >，且关于x 的方程()2
1mx m --=[]0,1上有且只有一个实数解，则
实数m 的取值范围是__________．
三、解答题
17．已知函数()22sin cos f x x x x =+（1）求函数在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的值域；
（2）若函数在,
2m π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上的值域为2⎡⎤⎣⎦ ，求m 的最小值；
（3）在ABC ∆中， 2,sin 4A f B C ⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，求sin C . 18．己知函数()x
f x e =, ()()2
2g x x x b b R =-++∈，记()()()
1
h x f x f x =-
(I)判断()h x 的奇偶性，并写出()h x 的单调区间，均不用证明；
(II)对任意[]1,2x ∈，都存在[]
121,2x x ∈，，使得()()1f x f x ≤， ()()2g x g x ≤．若
()()12f x g x =．求实数b 的值．
19．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池()ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆， H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的
接口H 是AB 的中点， ,E F 分别落在线段,BC AD 上.已知20AB =米， AD =记BHE θ∠=.
（1）试将污水净化管道的总长度L (即Rt FHE ∆的周长)表示为θ的函数，并求出定义域； （2）问θ当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.
（提示： 5sin cos ,sin 412ππθθθ⎛
⎫+=
+=
⎪⎝⎭
） 参考答案
BCCBA DDADD DA 13．7 14．①④⑤ 15．①②③ 16．(][
)0,13,⋃+∞
17．（1）2⎡⎤⎣⎦
；（2）3
π
-
；（3）sin 7
C =
.
（1）())
2sin22cos 1sin22sin 23f x x x x x x π⎛⎫
=+-==+
⎪⎝
⎭
，
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，
所以2sin 23x π⎛
⎫⎡
⎤+
∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭，即函数的值域为2⎡⎤⎣⎦. （2）因为,
2x m π⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，所以422,333x m π
ππ⎡
⎤+
∈+⎢⎥⎣⎦
，
当2
x π
=
时， min y =
结合图象分析知： 23
3
2
m π
π
π
-≤+
≤
，
所以3
12
m π
π
-
≤≤
，所以m 的最小值为3
π
-
，
（3）由2sin 2423A A f π⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，得,232A k k Z πππ+=+∈， 又A 是ABC ∆的内角，所以3
A π
=
，
2sin sin 3B C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，化简整理得1sin 02C C =，
则tan 0C =
>，所以sin C =
18．(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) 21e -.
（Ⅰ）函数()1
x
x
h x e e =-
， -x ∈∞+∞（，）
函数为奇函数，
函数单调递增为(),-∞+∞
（Ⅱ）据题意知，当[]
1,2x ∈时， ()()1max f x f x =， ()()2max g x g x = ∵()x
f x e =在区间[]
1,2上单调递增，
∴()()()2
2
12,max f x f e f x e ===即，
又∵()()2
2
211g x x x b x b =-++=--++
∴函数()y g x =的对称轴为1x =
∴函数()y g x =在区间[]
1,2上单调递减 ∴()()11max g x g b ==+，即()21g x b =+ 由()()12f x g x =，得2
1b e +=，
∴2
1b e =-.
19．（1）101010cos sin sin cos L θθθθ=
++，定义域为,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.（2）当6πθ=或3πθ=时
所铺设的管道最短，为)
201米.
（1）101010
,,cos sin sin cos EH FH EF θθθθ
=
===.
由于10tan BE θ=≤ 10tan AF θ=
≤tan θ≤≤，故,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
.管道的总长度101010cos sin sin cos L θθθθ=
++，定义域为,63ππθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
. (2) 101010sin cos 110cos sin sin cos sin cos L θθθθθθθθ
++=
++=⋅. 设sin cos t θθ+=，则21
s i n c o s
2
t θθ-=，
由
于
,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦
，所以
sin cos 4t πθθθ⎛
⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭⎣. 因为201L t =-在t ∈⎣内单
调递减，于是当t = L 取的最大值)
201米. （此时6
π
θ=或3
π
θ=
）.
答：当6
π
θ=
或3
π
θ=
时所铺设的管道最短，为)
20
1米.。