数字信号处理(第三版)(高西全)第3章

。后面要讨论的频域采样理论将会
加深对这一关系的理解。我们知道，周期延拓序列频谱
完全由其离散傅里叶级数系数 X ( k ) 确定，因此，X(k) 实质上是x(n)的周期延拓序列x((n)) N的频谱特性，这就
是N点DFT的第二种物理解释（物理意义）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
现在解释DFT［R4(n)］4=4δ(k)。根据DFT第二种物 理解释可知，DFT［R4(n)］4表示R4(n)以4为周期的周期
i 为整数 i 为整数
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
所以，在变换区间上满足下式：
IDFT［X(k)］N=x(n) 0≤n≤N－1 由此可见，(3.1.2)式定义的离散傅里叶逆变换是唯一的。 【例3.1.1】 x(n)=R4(n), 求x(n)的4点和8点DFT。 解 设变换区间N=4，则
3 3 j 2π 4
X (k )
x ( n )W
n0
kn 4

e
n0
kn

1 e 1 e
j2 π k 2π 4
j
k
4 0
k 0 k 1, 2, 3
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
设变换区间N=8，则
X (k )

7
x ( n )W 8 sin ( sin (
式中，a、b为常数，取N=max［N1, N2］, 则y(n)的N点
DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］N=aX1(k)+bX2(k) 0≤k≤N－1
X (k ) X ( z )
ze
j 2π N k
k 0,1, , N 1
(3.1.3)

第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X ( k ) X (e
j
)|

2π N
k 0,1, , N 1
k
(3.1.4)
(3.1.3)式表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在
实时处理和设备的简化得以实现。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
因此，时域离散系统的研究与应用在许多方面取 代了传统的连续时间系统。所以说，DFT不仅在理论
上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心
作用。 本章主要讨论DFT的定义、物理意义、基本性
质以及频域采样和DFT的应用举例等内容。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
变换，即本章要讨论的离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。DFT之所以更为重要，是因为其实质 是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现 了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运 算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活 性。更重要的是，DFT有多种快速算法，统称为快速傅 里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)，从而使信号的
单位圆上的N点等间隔采样。(3.1.4)式则说明X(k)为x(n)
的傅里叶变换
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
X(ejω)在区间［0, 2π］上的N点等间隔采样。 这就是DFT的物理意义。由此可见，DFT的变换区 间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0, 2π］上的 采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果不
N 1
k , m为 整 数 ,N 为 自 然 数
所以(3.1.1)式中，X（k)满足：
X (k m N )


x ( n )W N
(k mN )n

n0

N 1
x ( n )W N X ( k )
kn
n0
实际上，任何周期为N的周期序列
~ (n) x
都可以看做
长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 ~ x(n)的一个周期，即
X(k)的离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete Fourier
Transform, IDFT)为
x ( n ) ID F T[ X ( k )]
1 N

N 1
X ( k )W N
1,
kn
k 0
n 0,
式中，W N
e
j 2π N
,
N 1
(3.1.2)
，N称为DFT变换区间长度，N≥M。通
Xk32=fft(xn, 32);
%计算xn的32点DFT
%以下为绘图部分（省略，程序集中有） 程序运行结果如图3.1.3所示。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.3 程序ep312.m 运行结果
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.2.1 线性性质
如果x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1 和N2，且 y(n)=ax1(n)+bx2(n)
图3.1.1 R4(n)的FT和DFT的幅度特性关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1.3 DFT的隐含周期性
前面定义的DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长
序列，但由于 W Nkn 的周期性，使(3.1.1)和(3.1.2)式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m，总有 W Nk W N( k m N )，
延拓序列R4((n))4的频谱特性，因为R4((n))4是一个直流
序列，只有直流成分（即零频率成分）。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1.4 用MATLAB计算序列的DFT
MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT(算法见第4
章介绍)计算DFT的函数fft，其调用格式如下:
Xk = fft (xn, N)； 调用参数xn为被变换的时域序列向量，N是DFT变换区间长 度，当N大于xn的长度时，fft函数自动在xn后面补零。函数 返回xn的N点DFT变换结果向量Xk。当N小于xn的长度时， fft函数计算xn的前面N个元素构成的N长序列的N点DFT， 忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同，可参考
设xn是长度为mmn的有限长序列yn为xn的循环移位即ynxnmnrnn则时域循环移位定理323其中xkdftxnn0kn1dftkmnnykynwxk???第3章离散傅里叶变换dft证明令nmn则有1100dftnwn?n?knnknnnnnnnnykynxnmrxnmw?????????11xnxnxnxnnmnmknnmkmknnykykwwwwww???n??????n????????????nknnwnx??由于上式中求和项以n为周期因此对其在任一周期上的求和结果相同
kn
n0

N 1
x ( n )W N
kn
(3.1.8)
n0
x(n)
1 N

N 1
kn X ( k )W N
1 N
k 0

N 1
X ( k )W N
kn
(3.1.9)
k 0
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
式中

X (k ) X (k ) R
N
(k )
(3.1.10)
的主
值区间，而主值区间上的序列称为
因此x(n)与 周期延拓序列，x(n)是
~ (n) x
的主值序列。
的上述关系可叙述为： ~ ( n ) 是x(n)的 x 的主值序列。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
为了以后叙述简洁，当N大于等于序列x(n)的长度时， 将(3.1.5)式用如下形式表示：
x ( n ) x (( n )) N
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.1.1 DFT的定义
设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为
X ( k ) D F T[ x ( n )]

N 1
x ( n )W N
kn
k 0,
1,
,
N 1
n0
(3.1.1)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。为了叙述简 洁，常常用DFT［x(n)］N和IDFT［X(k)］N分别表示N点离 散傅里叶变换和N点离散傅里叶逆变换。下面证明IDFT ［X(k)］的唯一性。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
把(3.1.1)式代入(3.1.2)式，有
1 N
同。上例中， x(n)=R4(n)，DFT变换区间长度N分别
取8、16时，X(ejω)和X(k)的幅频特性曲线图如图 3.1.1所示。由此容易得到x(n)=R4(n)的4点DFT为 X(k)=DFT［x(n)］4=4δ(k)，这一特殊的结果在下面 将得到进一步解释。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
help文件。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
【例3.1.2】 设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别计
算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样， 并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。
解 由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区间
x (9 ) x ((9 )) 8 x (1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
图3.1.2 x(n)及其周期延拓序列
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
应当说明，若x(n)实际长度为M，延拓周期为N，则当 N<M时，(3.1.5)式仍表示以N为周期的周期序列，但(3.1.6) 和 (3.1.7)式仅对N≥M时成立。图3.1.2（a）中x(n)实际长度 M=6，当延拓周期N=4时，
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
x(n)
m


x(n m N )
(3.1.5) (3.1.6)
x(n) x(n) RN (n)
上述关系如图3.1.2（a）和（b）所示。一般称周期 序列
~ (n) x
中从n=0到N－1的第一个周期为
~ (n) x ~ (n) x
~ (n) x
knLeabharlann n0en0
3
j
2π 8
kn
π 2 π 8
e
3 j πk 8
k) k 0, k) 1, , 7

由此例可见，x(n)的离散傅里叶变换结果与变换
区间长度N的取值有关。对DFT与Z变换和傅里叶变 换的关系及DFT的物理意义进行讨论后，上述问题 就会得到解释。
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 3.1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
3.2 离散傅里叶变换的基本性质
3.3 频率域采样
3.4 DFT的应用举例
习题与上机题
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要
数学变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学
即X(k)为 X ( k ) 的主值序列。将(3.1.8)和(3.1.9)式与DFT 的定义(3.1.1)和(3.1.2)式相比较可知，有限长序列x(n)的
N点离散傅里叶变换X(k)正好是x(n)的周期延拓序列
x((n))N的离散傅里叶级数系数 X ( k ) 的主值序列，
即
~ X (k ) X (k ) R N (k )

(3.1.7)
式中x((n)) N表示x(n)以N为周期的周期延拓序列，((n))N表
示模N对n求余，即如果
n=MN+n1 0≤n1≤N－1, M为整数 则 ((n))N=n1 例如， N 8, x ( n ) x (( n )) 8 , 则有 x (8) x ((8)) 8 x (0 )
N 1
ID F T[ X ( k )] N
[ x ( m )W N ]W N
mk k 0 m0
N 1
N 1
kn
由于
1 N

m 0

x(m )
1 N
WN
k 0
N 1
k (m n)
W
k 0
N 1
k (m n) N
1， 0，
m n iN ， m n iN ，
~ (n) x 如图3.1.2（c）所示。
如果x(n)的长度为M，且 ~ ( n ) x (( n )) N ，N≥M，则可 x 写出 ~ ( n ) 的离散傅里叶级数表示式 x
X (k )

N 1
x ( n )W N
kn
n0

N 1
x (( n )) N W N
［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，分别是x(n)的16点 和32点DFT。调用fft函数求解本例的程序ep312.m如下:
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
% 例3.1.2程序ep312.m % DFT的MATLB计算 xn=［1 1 1 1］; Xk16=fft(xn, 16); %输入时域序列向量xn=R4(n) %计算xn的16点DFT
设序列x(n)的长度为M，其Z变换和N(N≥M)点 DFT分别为
M 1
X ( z ) Z T[ x ( n )]

x(n) z
M 1
n
n0
X ( k ) D F T[ x ( n )] N

x ( n )W N
kn
k 0,1, , N 1
n0
比较上面二式可得关系式 或