量子力学 第7章-2(第20讲)

H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2
A3
幺正变换
设算符 Aˆ 的正交归一
本征函数系为 n x
算符 Bˆ 的正交归一本
征函数系为 x
1 2 1 2
Sn
n
(
x)
(x)dx
S11 S21
S12 S22
S S I, SS I
结论: 一个表象到另一个表象的变换是幺正 变换。
(4) 幺正变换不改变厄米矩阵的厄米性
两个量子体系，如果能用某个幺正变换联系起来， 它们在物理上是等价的。这里，“物理上等价”的 含义是从实验观测角度说的：如果全部可观测力学 量在两个体系中的观测值以及得到这些值的概率都 对应相等，从实验观测角度看它们之间无法区别， 就说这两个体系在物理上是等价的。
bm(t) m
un*(x)um (x)(dx) am t
m
un* x Fˆ (x, i
x )um ( x)dx
mn
bn (t) Fnmam (t)
m
记为 Fnm
Q表象的表 达方式
b 1(t) b 2(t)
F11
F21
F12
b
n
(t)
Fn1
Fn2
F1m
Pˆx px Tˆ px 2
2m
问题
力学量算符 Fˆ
在 Q 表象中如 何表示？
在坐标表象中，力学量 F 用算符 Fˆ (x, i ) 表
示，设 Fˆ 作用于 (x, t) 得到 (x, t) 。 x
即 Fˆ (x, i ) (x, t) (x, t) （1）
x
选定力学量 Q 表象， Qˆ 算符的正交归一的本征函
q1 0 0 0 0
0
q2 0
0
0
Q 0 0
0 0
0 0 0 qn 0
0 0 0 0
3．当 Qˆ 具有连续本征值谱 q 时，力学量算符的表
示
Fqg
uq*(x)Fˆ (x, i
x)ug (x)dx
Fˆ 在Q 表象中仍是一个矩阵，不过其行列不再
是可数的，故用连续变化的下脚标表示。
求力学量算符矩阵的关键是求其矩阵元
数完备系记为
{
u
(
n
x)}
将 (x, t)
和
(x,
t)
分别按函数系
{
u
(
n
x)
}展开
(x, t) am (t)um (x) (x, t) bm (t)um (x)
m
m
代入坐标表象表达式（1）
bm(t)um(x) am(t)Fˆ(x, i
m
m
x )um ( x)
以 un* (x) 乘该式，对 x全部范围积分
（1）幺正变换不改变算符的本征值
算符 Fˆ 在 A表象中的矩阵为 F,本征矢为 a
本征方程 Fa a
（1）
F在ˆ 表B 象中的矩阵为 F,本 征矢为 b
本征方程 Fb b
b S 1a
F S1FS
S 1FS S 1a S 1a
S 1Fa S 1a
Fa a （2）
比较(1)、(2) 式,可知 本征值不变
S
m
Fmn S n
mn
mn
F ' SFS
此为力学量 Fˆ从表象A变换到表象B的变换公式
F ' SFS
具体地可以写成:
F11 F21
F12 F22
S11 S12
* *
S21 * S22 *
F11 F21
F12 F22
S11 S 21
S12 S 22
5.幺正变换的几个重要性质
am t
Sm1
Sm2
.....
Sm
......
b
t
.........
.....
.....
.....
....
...... ......
其中
Sm
m
(
x)
(x)d
x
简写为 a Sb 从B表象变换到A表象
反之， b S1a Sa 从A表象变换到B表象
§2 力学量（算符）的矩阵表示
第7章 量子力学的矩阵形式与表象变换
§1 量子态的不同表象，幺正变换 §2 力学量（算符）的矩阵表示 §3 量子力学的矩阵形式 §4 Dirac符号
上一讲要点简单回顾
态在任意表象中的表示
Q 表象
力学量算符 Qˆ的正交归一完备函数系 { un (x) }
构成Hilbert空间中的一组正交归一完备基矢。
（2）幺正变换不改变矩阵的迹
矩阵A的对角元素之和称为矩阵A的迹，以 SpA表
示，则
SpA= Ann
n
由此定义有: Sp(AB C)=Sp(C BA)
F S FS
SpF '=SpS FS =SpSS F =SpF
故迹不变， F的迹等于 F 的迹
3. 对易关系在么正变换下保持不变
设在 A 表象中对易关系：
几何空间坐标系
某一表象本征态矢量
某一坐标系的一组基矢
u1 x, u2 x, un x,
um xun x dx
mn
正交 归一
x,t an t un x
n
an t un x x,tdx
a1
t
量子态矢量：
an
t
e1, e2 , e3
ei ej ij
正交 归一
3
A A1e1 A2e2 A3e3 Aiei i 1
证
Fnm un* (x)Fˆum (x)dx
Fn
* m
un(x) Fˆum(x) * dx
um* (x)Fˆun (x)dx Fm n
F F 即 F 是厄米矩阵。
显而易见，对角矩阵元为实数
F* nn
Fnn
2．力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵
Qnm un*(x)Qˆ um(x)dx un*(x)qmum (x)dx qmnm
态的表象变换 任意态矢量 u(x,t)
在A表象中：{ n }
在B表象中：{ }
a1 a2
t t
S11
S21
S12 S22
..... S1 ..... S2
...... ......
b1 b2
t t
........ .... .... ..... .... ....... ......
例 设一维粒子Hamilton量
H p2 V x
2m
1、求x表象中x,p和H的“矩阵元”，
2、求p表象中x,p和H的“矩阵元”。
解
1、 在 x 表象中，xˆ 的本征函数
ux ' x x x '
x x ' x"
x
x
'x
x
x "
dx x ' x ' x"
p x'x"
x
x
'
i
d dx
x
x
"
dx
在B表象
xpˆ x pˆ x x i
x pˆ x pˆ x x S 1 xSS 1 pˆ x S S 1 pˆ x SS 1 xS
x S 1xS S 1 xpˆ x S S 1 pˆ x xS S 1( xpˆ x pˆ x x)S
pˆ x S 1 pˆ x S iS 1S i
对易关系在么正变换下保持不变
(4) 幺正变换不改变厄米矩阵的厄米性
设 A 表象
B表象
Fˆ Fˆ
F’ + = (S-1F S)+ = F’
F’ = S-1 F S = S+ F+ (S-1)+ = S-1 F S
幺正变换性质
（1）幺正变换不改变算符的本征值
（2）幺正变换不改变矩阵的迹
(3) 对易关系在么正变换下保持不变
i
d x ' x"
dx '
H
x ' x"
2
2m
d2 dx '2
x'x源自"Vx'
x
'
x "
2、在 p 象中，pˆ 算符的本征函数
p p p p
x
p' p"
* p
'
(
p)
xˆ
p
''
(
p)dp
p pi
d p p dp
dp
i d p ' p"
dp '
pp' p" p p pˆ p p" dp p ' p ' p"
a 1(t) 记为
a
2(t)
F
矩阵 和 分别是
Fnm
波函数 (x, t) 和
a m(t)
(x, t) 在Q 表象中
的形式。
可见，算符 Fˆ 在Q表象中是一个矩阵 F (Fmn ) ，其矩
阵元为
Fnm
un*
(
x)
Fˆ
(
x,
i
x
)um
(
x)dx
讨 论 1． F (Fnm) 是厄米矩阵