第07讲 利用导数研究双变量问题(原卷版)

第07讲利用导数研究双变量问题(精讲+
精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：分离双参，构造函数
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
高频考点四：变更主元法
高频考点五：指定主元法
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第07讲利用导数研究双变量问题（精练）
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量12,x x 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于12,x x 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及12,x x 的式子转化为关于
12x x 的式子，将问题转化为关于自变量12x x （2
1
x x 亦可）的函数问题；②通过12,x x 的乘积关系，用1x 表示2x （用2x 表示1x 亦可），将双变量问题替换为1x （或2x ）的单变量问题； （3）构造关于
12x x 或1x 的新函数，同时根据已知条件确定出1
2
x x 或1x 的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
1．（2022·重庆市第七中学校高二阶段练习）已知函数2()e x f x ax =-的定义域为1,22⎛⎫
⎪⎝⎭
，且对
()()12121212121,,2,,2f x f x x x x x x x x x -⎛⎫
∀∈≠<+ ⎪-⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．2e 1,4⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
B ．)
1,+∞
C ．e ,12⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
D ．e ,12⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭
2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知函数ln ,01()1,1x x f x x x -<≤⎧⎪
=⎨>⎪⎩
，若0a b <<且满
足()()f a f b =，则()()af b bf a +的取值范围是（ ） A ．11,1e ⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
B ．1,1e ⎛
⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
C ．(1
1,e )1+
D ．1
(0,1)e
+
3．（2022·全国·高三专题练习）若存在两个正实数x ，y ，使得等式2x +a （y ﹣2ex ）（lny ﹣lnx ）＝0成立，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．112e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
B ．20e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
C ．()20e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，
， D ．112e ⎛⎫⎡⎫
-∞-⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
，
， 4．（2022·全国·高二）若函数32()36f x x x ax =-+存在两个极值点1x ，2x ，（12x x <），则()1f x 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞
B ．(,1)-∞
C ．(1,)+∞
D ．[0,)+∞
高频考点一：分离双参，构造函数
1．（2022·全国·高二）设函数()ln k
f x x x =+，k ∈R .若对任何120x x >>，
()()12121f x f x x x -<-，恒成立，求k 的取值范围______.
2．（2021·重庆巴蜀中学高三开学考试）]12,1,e x x ⎡∀∈⎣，均有1221
21
ln ln x x x x m x x -<-成立，则m 的取值范围为
___________.
3．（2021·湖南省邵东市第一中学高二期中）已知函数2
1()ln 1()2f x m x x m R =-+∈，若m 为区间[1,4]上的
任意实数，且对任意12,(0,1]x x ∈，总有()()1212
11
f x f x t x x -≤-成立，则实数t 的最小值为______________．
4．（2022·全国·高三专题练习）设函数21()(1)2
f x x ax a lnx =-+-，1a >． (1)曲线()y f x =在点()()2, 2f 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值； (2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)证明：若5a <，则对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212
()()
1f x f x x x ->--．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2
221ln f x x ax a =-++x ．
(1)若函数()f x 有两个极值点，求a 的取值范围；
(2)证明：若13a -<<，则对于任意的1x ，2(0,)x ∈+∞，12x x ≠，有1212
()()
2f x f x x x ->-．
6．（2021·山东·高三阶段练习）设函数()ln k
f x x x
=+，k ∈R .
（1）若曲线()y f x =在点()()e,e f 处的切线与直线30y -=平行，求()f x 的极小值； （2）若对任意210x x <<，()()1212f x f x x x -<-恒成立，求实数k 的取值范围.
高频考点二：糅合双参（比值糅合）
1．（2022·贵州·模拟预测（理））已知函数2
()2ln ()a
f x x a x =+∈R 有两个零点. (1)求a 的取值范围.
(2)记两个零点分别为x 1，x 2，证明：121x x +>.
2．（2022·陕西·二模（理））已知函数()ln f x x =．
(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1
2h x f x b x
=+-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>．
3．（2022·宁夏·银川二中一模（理））已知函数()2
ln f x mx x x =+，0m ≠.
(1)若2m =-，求函数()f x 的单调区间；
(2)若()()120f x f x ==，且12x x ≠，证明：12ln ln 2x x +>.
4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三期末（理））已知函数()()ln R f x a x x a =-∈. (1)求函数()y f x =的单调区间； (2)若120x x <<，且1212ln ln x x a x x ==，证明：1211
2ln x
x x x <-.
5．（2022·山西长治·高二阶段练习）已知函数21()ln 2
f x x x ax =-．
(1)若()f x 在(0,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围． (2)若12,x x 是方程()0f x =的两个不相等的实数根，证明：121x x a
+>
．
高频考点三：糅合双参（差值糅合）
1．（2022·全国·高三专题练习）若12ln x
e x =，令21t x x =-，则t 的最小值属于（ ）
A ．31,2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．5,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．（2021·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））已知函数2()x g x e ax ax =--，()2ln x h x e x x =--．其中
e 为自然对数的底数．
（1）若()()()f x h x g x =-，讨论() f x 的单调性；
（2）已知0a >，函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：()2
12ln 4x x a +<．
3．（2022·天津滨海新·高三阶段练习）已知函数()()2
e R x
f x ax a =--∈.
(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)当0a >时，若函数()()e x
g x x f x =+，求()g x 的单调区间；
(3)当0a >时，若函数()()2e x
h x f x ax =+-恰有两个不同的极值点1x 、2x ，且12x x <，求证：
12
ln 22
x x a +<.
高频考点四：变更主元法
在处理导数试题的过程中，我们经常会遇到涉及两个变量的不等式问题，比如一个变量为x ，另个一变量（也可以是参数）为a .在这种情况下，我们潜意识里总会把函数看作是关于变量x 的函数，希望通过利用导数研究()f x 的性质，从而得出结论.如果说x 与a 具有一定的关联，这种思维定势会为我们的解决问题带来方便.但在绝大多数情况下，x 与a 是没有关联的，这个时候这种思维定势就会给我们的解题带来障碍.此时，我们不妨转换一下视角，将字母a 作为主要未知数，然后来解决问题.这种选择主要未知数 （简称主元）的方法，我们称之为变更主元法.
1．（2021·全国·高一专题练习）当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求x 的取值范围．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()f x 满足()()145f x f x x +-=+，且()f x 的图象经过点
()1,13A -.
（1）求()f x 的解析式：
（2）若对任意[]2,3m ∈-，不等式()f x mx ≤恒成立，求实数x 的取值范围.
3．（2022·广东·高州市长坡中学高二阶段练习）已知函数()322121(0)32
a f x x x a x a =--+>
(1)求函数()f x 的极值；
(2)若函数()y f x =的图象与直线0y =恰有三个交点，求实数a 的取值范围；
(3)已知不等式()2
'1f x x x <-+对任意(1,)∈+∞a 都成立，求实数x 的取值范围．
4、(武汉市2021届高中毕业生三月质量检测)已知函数()(1)ln x a
f x x e x -=--.
(1)当1a =时,求()f x 的最小值;
(2)证明:当01a <时,()ln f x a 恒成立.
高频考点五：指定主元法
1、已知0m n ≤<，试比较ln(1)n m
e
m -++与1ln(1)n ++的大小，并证明.
高频考点六：利用根与系数的关系转单变量
1．（2022·安徽合肥·高三期末（文））已知函数()()2
1ln R 2
f x x x ax a =
+-∈．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：()21230x f x ⋅+<．
2．（2022·湖南常德·高三期末）已知函数()()2
2ln R f x x a x a x
=--∈．
(1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)若函数()f x 有两个极值点1x 、2x ，且(]11,e x ∈（e 为自然对数底数，且e 2.71828=），求()()
12f x f x -的取值范围．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数221
()2ln (0)2
f x ax x a x a =-+≠ (1)讨论()f x 的单调性；
(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212
()()11
f x f x x x x x -<+-
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.
(1)求函数()f x 的单调区间；
(2)设()f x 存在两个极值点12,x x ，且12x x <，若11
02x <<
，求证：()()123ln 24
f x f x ->-.
高频考点七：利用对数平均不等式解决双变量问题
当0a >，0b >时，有：
ln ln 2
a b a b
a b -+≤
≤-（当且仅当a b =时等号成立）
1、已知函数()x
f x xe -=，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>
2、已知函数()ln f x x x =的图象与直线y m =交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证122
1x x e <
.
1．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：11
2e a b
<+<.
2．（2011·湖南·高考真题（文））设函数1
()ln ()f x x a x a R x
=--∈
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．
一、单选题
1．（2021·湖北·宜昌市夷陵中学高二阶段练习）已知函数()x f x xe =，()ln g x x x =，若12()()f x g x t ==，
t >0，
则
12
ln t
x x 的最大值为（ ） A ．
2
1e B ．
24e C ．1e
D ．2e
2．（2021·安徽·屯溪一中高二期末（文））已知函数1
()ln f x x a x x
=-+，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中(]11,2x ∈，
则()()12f x f x -的最小值为（ ） A ．35ln2-
B ．34ln 2-
C ．53ln2-
D ．55ln 2-
3．（2019·辽宁葫芦岛·高三阶段练习（理））已知函数()32cos f x x x =+，()()2()15x x g x e e =--，若1(,0]x ∀∈-∞，
2x ∀∈R ，()()12f x a g x +≤，则a 的取值范围是（ ）
A ．(,2]-∞-
B ．40,27⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
C ．(,3]-∞-
D ．,2794⎛
⎤-∞- ⎥⎝
⎦
4．（2021·山西运城·高三期中（理））已知在函数()()0,0f x ax b a b =+>>，()()ln 2g x x =+，若对2x ∀>-，()()f x g x ≥恒成立，则实数b
a
的取值范围为（ ）
A ．[)0,+∞
B ．[)1,+∞
C ．[)2,+∞
D ．[),e +∞
5．（2021·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习（理））若对于任意的120x x a <<<，都有2112
12
ln ln 2x x x x x x ->-，
则a 的最大值为（ ） A ．1
B ．e
C ．1
e
D ．1
2
6．（2021·福建·莆田一中高二期末）已知e 为自然对数的底数，若对任意[]1,x e ∈，总存在唯一的[]1,1y ∈-，使得2ln 0y x y e a +-=成立，则实数a 的取值范围是 A ．[]1,e B ．11,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦
C ．1,1e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦
D ．11,1e e ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
二、填空题
7．（2021·全国·高二单元测试）已知实数,a b 满足2024a a e -=，3ln 2021ln b b e -+=，则ab =_______．
8．（2021·江苏·高二单元测试）已知函数()2ln f x x ax bx =-+，当0x >，()0f x ≤恒成立，则b a
的最大值
为___________.
9．（2019·河南郑州·高二期中（理））已知函数31()e x f x -=，1
()ln 3
g x x =+，若()()f m g n =，则n m -的最
小值为________.
10．（2018·湖南省宁远县第一中学高二阶段练习（理））设0a >，函数2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=-，若对
任意的12,[1,]x x e ∈，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为_______. 三、解答题
11．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（理））已知函数()()1
ln f x x ax a R x
=--∈.
(1)当3a =时，证明：()sin 3f x x <--；
(2)若()f x 的两个零点分别为()1212,x x x x <，证明：2
122e x x ⋅>.
12．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（文））已知函数()()32
11132
a f x x x ax a R +=-++∈. (1)求函数()y f x =的单调区间；
(2)设1a <，若[]1,x m n ∀∈，[]2,x m n ∃∈，且12x x ≠，使得()()12f x f x =，求n m -的最大值.
13．（2022·甘肃武威·模拟预测（理））已知()()22ln R f x x ax a =+∈.
(1)讨论函数()f x 的单调性； (2)当2
1
e a =-时，证明：函数()
f x 有且仅有两个零点12,x x ，且122e x x +>.
14．（2022·山西长治·模拟预测（理））已知函数()ln f x x x =. (1)证明：()1f x x ≥-；
(2)若()f x a =有两个不相等的实数根12,x x ，求证：121x x +<.
15．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知函数()1
ln f x x a x x
=--，当1≥x 时，()0f x ≥恒成立． (1)求实数a 的最大值；
(2)若2a =，证明：对任意121x x <<，()()1212122x x f x f x f +⎛⎫
+>⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
．。