§10.5对坐标的曲面积分-文档资料
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n i 1 n
类似可定义:
组合形式: P ( xBaidu Nhomakorabea, y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
物理意义: 流量问题 P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
1
2
P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
2. 积分曲面的反向性: P ( x , y , z ) dydz P ( x , y , z ) dydz ;
3. 存在性定理: 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在 有向光滑曲面 上连续时, 对坐标的曲面积分存在.
性质: 由定义可知, 对坐标的曲面积分具有与对坐 标的曲线积分相类似的性质. 1. 对积分曲面的可加性: 1与2的侧要相容. P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx
1 1
P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx
z
i
1. 分割: 把曲面 分成n小 块Si(Si同时也代表第i小块曲 面的面积), 在Si上任取一点 o (i, i, i), 则该点流速为 v , i y 法向量为 n i . Si x (i, i, i) v v ( , , ) P ( , , ) i Q ( , , ) j R ( , , ) k , i i i i i i i i i i i i i 0 cos i cos j cos k , 该点处的单位法向量 n i i i i
i 1 n
n
0 i 1
积分曲面
被积函数
有向面积元
积分和
Q ( x , y , z ) dzdx lim Q ( , , )( S ) . i i i i zx 0
i 1
P ( x , y , z ) dydz lim P ( , , )( S ) ; i i i i yz 0
lim R ( S i, i, i)( i) xy
存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面 上对坐 标x, y的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 记作 ( x ,y ,z ) dxdy , R 即
lim R ( S . ( x ,y ,z ) dxdy i, i, i)( i) xy R 0
i 1
三、对坐标的曲面积分的概念及性质
定义: 设 为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在 上有界, 把 任意分割成 n 块小曲面Si (Si同时又表 示第 i 块小曲面的面积) (i=1, 2, , n), Si在xoy面上的 投影为(Si)xy, (i, i, i)是Si上任意取定的一点, 如果 当各小块曲面的直径的最大值0时, 极限
§10.5 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
牟彼乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的 速度场由以下向量函数给出 : v ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k 是速度场中的一有向曲面, 函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)都在 上连续, 求在单位时间内流向 指定侧 的流体的质量. ni v
2. 近似: 通过Si流向指定侧的流量的近似值为: v n S , (i=1, 2, , n) i i i 3. 求和: 通过 流向指定侧的流量: n v S i n i i
[ P ( , , ) cos Q ( , , ) cos i i i i i i i i
i 1
i 1 n
R ( ,i ,i ) cos ] S i i i
[ P ( ,i ,i )( S ) Q ( ,i ,i )( S ) i i yz i i xz
n
R ( , , )( S ) i i i i xy
4.取极限: 令0, 得到流量 的精确值.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. v ( 1 )流 速 场 为 常 向 量 , 有 向 平 面 区 域 A , 求 单 位 时 间 流 过 A 的 流 体 的 质 量 ( 假 定 密 度 为 1 ) .
v
A
流量
0 n
A v cos 0 Av n
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
• 设 为有向曲面, 曲面元 S 在 xoy 面上的投影记为 ( S)xy, (S)xy 的面积为 ( ) 0 , 则规定 x y
( )xy, 当 cos 0 时 类似可规定 ( S)xy ( )xy, 当 cos 0 时 ( S ) ,( S ) yz zx 当 cos 0 时 0,
类似可定义:
组合形式: P ( xBaidu Nhomakorabea, y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
物理意义: 流量问题 P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
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P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx .
2. 积分曲面的反向性: P ( x , y , z ) dydz P ( x , y , z ) dydz ;
3. 存在性定理: 当P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)在 有向光滑曲面 上连续时, 对坐标的曲面积分存在.
性质: 由定义可知, 对坐标的曲面积分具有与对坐 标的曲线积分相类似的性质. 1. 对积分曲面的可加性: 1与2的侧要相容. P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx
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P ( x , y , z ) dydz Q ( x , y , z ) dzdx R ( x , y , z ) dx
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i
1. 分割: 把曲面 分成n小 块Si(Si同时也代表第i小块曲 面的面积), 在Si上任取一点 o (i, i, i), 则该点流速为 v , i y 法向量为 n i . Si x (i, i, i) v v ( , , ) P ( , , ) i Q ( , , ) j R ( , , ) k , i i i i i i i i i i i i i 0 cos i cos j cos k , 该点处的单位法向量 n i i i i
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积分曲面
被积函数
有向面积元
积分和
Q ( x , y , z ) dzdx lim Q ( , , )( S ) . i i i i zx 0
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P ( x , y , z ) dydz lim P ( , , )( S ) ; i i i i yz 0
lim R ( S i, i, i)( i) xy
存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面 上对坐 标x, y的曲面积分(也称为第二类曲面积分). 记作 ( x ,y ,z ) dxdy , R 即
lim R ( S . ( x ,y ,z ) dxdy i, i, i)( i) xy R 0
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三、对坐标的曲面积分的概念及性质
定义: 设 为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在 上有界, 把 任意分割成 n 块小曲面Si (Si同时又表 示第 i 块小曲面的面积) (i=1, 2, , n), Si在xoy面上的 投影为(Si)xy, (i, i, i)是Si上任意取定的一点, 如果 当各小块曲面的直径的最大值0时, 极限
§10.5 对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
牟彼乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
• 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向用法向量指向 表示 : 方向余弦
侧的规定
cos
cos
cos
封闭曲面
外侧
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为1)的 速度场由以下向量函数给出 : v ( x , y , z ) P ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k 是速度场中的一有向曲面, 函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)都在 上连续, 求在单位时间内流向 指定侧 的流体的质量. ni v
2. 近似: 通过Si流向指定侧的流量的近似值为: v n S , (i=1, 2, , n) i i i 3. 求和: 通过 流向指定侧的流量: n v S i n i i
[ P ( , , ) cos Q ( , , ) cos i i i i i i i i
i 1
i 1 n
R ( ,i ,i ) cos ] S i i i
[ P ( ,i ,i )( S ) Q ( ,i ,i )( S ) i i yz i i xz
n
R ( , , )( S ) i i i i xy
4.取极限: 令0, 得到流量 的精确值.
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. v ( 1 )流 速 场 为 常 向 量 , 有 向 平 面 区 域 A , 求 单 位 时 间 流 过 A 的 流 体 的 质 量 ( 假 定 密 度 为 1 ) .
v
A
流量
0 n
A v cos 0 Av n
< 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧
内侧
• 设 为有向曲面, 曲面元 S 在 xoy 面上的投影记为 ( S)xy, (S)xy 的面积为 ( ) 0 , 则规定 x y
( )xy, 当 cos 0 时 类似可规定 ( S)xy ( )xy, 当 cos 0 时 ( S ) ,( S ) yz zx 当 cos 0 时 0,