32等差数列(2)

第 1 页 共 5 页

3．2等差数列（2）

黄冈中学 潘际栋

一．教学目标: 1．明确等差中的概念．

2．熟练掌握等差数列的的性质

3．培养学生的应用意识．

二．教学重点:等差数列的性质的理解及应用

三．教学难点:灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题

四．教学方法:讲练相结合

五．教学过程:

(一)复习回顾

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列定义：1n n a a d --=（n ≥2）

2． 等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-（n ≥2）

（二）新课讲解：

1．等差中项的概念：

（1）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？

解：由a ，A ，b 成等差数列，得A a b A -=-，所以2

a b A +=

，反之成立． （2）定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．其中2

a b A += a ，A ，b 成等差数列⇔2a b A +=． 2．等差数列的性质：

（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；

（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列．

如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；

（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m

-=

-()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ （5）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则数列{}n a b λ+（,b λ为常数），是公差为d λ的等差数列．

（6）若{}n a 是公差为d 的等差数列，则下标成等差数列且公差为m 的项*,2,,(,)k k m k m a a a k m N ++∈组成公差为md 的等差数列．

3．例题分析：

例1．在等差数列{}n a 中，若410a =，719a =，求18a ．

第 2 页 共 5 页

解：（法一）设首项1a ，公差为d ，则11310619

a d a d +=⎧⎨

+=⎩ ∴3d =，11a =，

∴1811752a d =+=． （法二）741910333

a a d --=

==，1871152a a d =+=． 例2．①在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，求69a a +． ②在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，求313a a +的值．

解：①由条件：69782133a a a a a a +=+=+=；

②：由条件：∵81154122a a a a a =+=+

∴82a =-

∴313824a a a +==-．

类题1：已知181318100a a a a +++=，求10a

1813187137131010222()210050a a a a a a a a a a +++=+=+==⇒=．

类题2：在等差数列{}n a 中，已知2583579,21,a a a a a a ++==-求数列的通项公式

258357559,21393a a a a a a a a ++==-⇒=⇒=，

故有37376,7,a a a a +==-从而377,1a a ==-或371,7a a =-=，

从而27n a n =-或213n a n =-+．

例3．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．

解：由题意，可设这三个数分别为a d -，a ，a d +，则

()()15()()9a d a a d a d a d -+++=⎧⎨-+=⎩54

a d =⎧⇒⎨=±⎩， 所以，当4d =时，这三个数为1，5，9；当4d =-时，这三个数为9，5，1．

说明：三个数成等差数列，这三个数可设成a d -，a ，a d +．四个数成等差数列，这五个

数可设成3a d -，a d -， a d +，3a d +．

例4．设{}n a 是首项为1的正项数列，且22*11(1)0(),n n n n n a na a a n N +++-+=∈求 .n a 解：111()[(1)]0,1

n n n n n n n a a n a na a a n +++++-=∴=+， 1111111111112n n n n n n n n a a a a a n n n n n n n

+---∴==⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅=+++ ．

六．课堂作业：1．114P 3-5．

2 ．设等差数列第m 项为α，第n 项为β，当m n ≠时，把第m n +项用m ，n ，α，β表示出来． 解：()m n m n a a a a m n d d m n m n

αβ--=+-⇒==--，

第 3 页 共 5 页

[()]m n m m n a a m n m d n m n m n

αβ

αβα+--∴=++-=+⋅=-- 3 ．首项为-24的等差数列中，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______． 解：910

08303a d a ⎧⇒<⎨>⎩≤≤ 七．课堂小结：1．等差中项的概念；

2．等差数列性质的应用；

3．掌握证明等差数列的方法．

八．课后作业：114P 习题3．2 第6，7，8，9，11题

九．板书设计：

十．本节课外拓展

一个数列问题的推广及应用

问题：如果c b a ,,成等差数列，z y x ,,成等比数列，且z y x ,,都是正数，

求证：.0log )(log )(log )(=-+-+-z b a y a c x c b d d d

该题出自高中课本，下面试图对它作两方面的推广，并予以应用．

1．问题的推广

因正数z y x ,,成等比数列，必有z y x d d d log ,log ,log 成等差数列，

故问题的等价说法是：

如果c b a ,,与R Q P ,,分别成等差数列，那么

.0)()()(=-+-+-R b a Q a c P c b

于是可推广，得

定理1 如果c b a ,,和P 、Q 、R 分别是两个等差数列的第m 、n 、k 项，则