河南省豫北重点中学2018年高考数学二模试卷理科 含解

2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）
A．B．C．D．
2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
5．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）
A．10 B．12 C．18 D．28
6．下列命题正确的是（）
A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”
B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件
C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2
7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）
A．1升B．升C．升D．升
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．5πD．
9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）
A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣
，0]
10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）
A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]
11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）
A．﹣B．﹣6 C．6 D．
12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存
在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是______．
14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为
M=______．
15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）的值为______．
16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值为______．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；
（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．
18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式
（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；
（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．
（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．
21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．
（1）求证：AB=3AC；
（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，
以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；
（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；
（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．
2018年河南省豫北重点中学高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z=（2a+1）+i的模等于（）
A．B．C．D．
【考点】复数求模．
【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，又根据为纯虚数，列出方程组，求解即可得a的值，然后代入复数z，再由复数求模公式计算得答案．
【解答】解：==，
∵为纯虚数，
∴，
解得：a=1．
复数z=（2a+1）+i=，
则．
故选：D．
2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）
A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}={x|（2x+1）（x﹣1）≤0}={x|﹣≤x≤1}=[﹣，1]，
集合B={x|y=}={x|}={x|}=（0，1）∪（1，+∞），
∴A∩B=（0，1）．
故选：A．
3．已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y+4=0平行，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．2
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合直线平行的关系，建立斜率关系，利用离心率的定义进行转化求解即可．
【解答】解：双曲线的焦点在x轴，则双曲线的渐近线方程为y=±x，
直线x﹣y+4=0的斜截式方程为y=x+4，
∵双曲线渐近线与直线x﹣y+4=0平行，
则=，即b=a，
平方得b2=3a2=c2﹣a2，
即c2=4a2，
则c=2a，
即离心率e==2．
故选：D．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i，p的值，当i=4时，不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
i=1，p=1，s=0
满足条件i≤3，s=1，i=2，p=3
满足条件i≤3，s=4，i=3，p=6
满足条件i≤3，s=10，i=4，p=10
不满足条件i≤3，退出循环，输出s的值为10．
故选：C．
5．某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加某种测试，为此将题目随机编号1，2，…，800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A，编号落入区间[201，560]的人做试卷B，其余的人做试卷C，则做试卷C的人数为（）
A．10 B．12 C．18 D．28
【考点】系统抽样方法．
【分析】由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为a n=20n﹣2，由561≤20n﹣2≤800，求得正整数n的个数，即为所求．
【解答】解：∵800÷40=20，
∴由题意可得抽到的号码构成以18为首项、以20为公差的等差数列，
且此等差数列的通项公式为a n=18+20（n﹣1）=20n﹣2．
落入区间[561，800]的人做问卷C，
由561≤20n﹣2≤800，
即563≤20n≤818
解得28≤n≤40．
再由n为正整数可得29≤n≤40，
∴做问卷C的人数为40﹣29+1=12，
故选：B．
6．下列命题正确的是（）
A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2≤0”
B．“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的充分不必要条件
C．∃m∈R，使f（x）=mx是幂函数，且函数f（x）在（0，+∞）上单调递增
D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可，
B．根据复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断，
C．根据幂函数的定义先求出m，然后结合幂函数的性质进行判断，
D．根据数据方差之间的关系进行判断即可．
【解答】解：A．命题“∀x∈R，均有x2﹣3x﹣2≥0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣3x﹣2＜0”，故A错误，
B．当p真q假时，满足命题p∨q为真命题，但命题p∧q为假命题，则充分性不成立，故B错误，
C．若f（x）=mx是幂函数，则m=1，此时f（x）=x3，此时函数f（x）在（0，+∞）
上是增函数，故C正确，
D．若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4，故D错误，
故选：C
7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）
A．1升B．升C．升D．升
【考点】等差数列的性质．
【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积．
【解答】解：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列，
根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，
即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=，
把d=代入①得：a1=，
则a5=+（5﹣1）=．
故选B
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．5πD．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧的半球，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．
【解答】解：由三视图知几何体是一个组合体，包括三部分，左侧是半圆锥，中间是圆柱，右侧为半球，
左侧是半圆锥，高为1，底面半径为1，体积为：=．
中间是圆柱，底面半径为1，高为2，体积为：12π×2=2π，
右侧的半球，半径为1，体积为：=．
∴几何体的体积是：．
故选：A．
9．已知函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）的图象的相邻两对称轴间的距离为，则当x∈[﹣，0]时，f（x）的最大值和单调增区间分别为（）
A．1，[﹣，﹣]B．1，[﹣，﹣]C．，[﹣，0]D．，[﹣
，0]
【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．
【分析】利用两角和的正弦函数公式化简可得函数解析式f（x）=2sin（ωx﹣），由题意
可求周期T，利用周期公式可求ω，由x∈[﹣，0]，可得2x﹣∈[﹣，﹣]，利用正弦函数的图象和性质即可求f（x）的最大值，单调增区间．
【解答】解：∵f（x）=sinωx﹣cosωx=2sin（ωx﹣）的图象的相邻两对称轴间的距离
为，
∴周期T=π=，解得：ω=2，
∴f（x）=2sin（2x﹣），
∵x∈[﹣，0]时，2x﹣∈[﹣，﹣]，
∴利用正弦函数的图象和性质可得f（x）的最大值为．
单调增区间为：[﹣，0]．
故选：D．
10．实数x，y满足，则z=ax+y的最大值为2a+3，则a的取值范围是（）
A．[﹣3，1] B．[﹣1，3] C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1]
【考点】简单线性规划．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，进一步分目标函数z=ax+y的最大值为a+3，构造一个关于a 的不等式，解不等式即可求出a的范围．
【解答】解：由变量x，y满足约束条件，
作出可行域：
∵z=ax+y，A（0，1），∴z A=1；
解方程组，得B（2，3），∴z B=2a+3；
C（3，0），∴z C=3a．
∵线性目标函数z=ax+y的最大值为2a+3，
∴，解得﹣1≤a≤3．
故选：B．
11．已知直线2mx﹣y﹣8m﹣3=0和圆（x﹣3）2+（y+6）2=25相交于A，B两点，当弦AB 最短时，m的值为（）
A．﹣B．﹣6 C．6 D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】直线过定点，根据直线和圆相交的性质确定线段AB最短时的等价条件即可求出直线斜率，求出m值．
【解答】解：将直线l变形得：2m（x﹣4）+（y+3）=0，
由得，即直线L恒过A（4，﹣3），
将圆C化为标准方程得：（x﹣3）2+（y+6）2=25，
∴圆心C为（3，﹣6），半径r=5，
∵点A到圆心C的距离d==＜5=r，
∴点A在圆内，
则L与C总相交；
若线段AB最短，
则满足CA⊥L，
∵直径AC所在直线方程的斜率为=3，
∴此时l的斜率为﹣，可得2m=，解得m=
故选：A．
12．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A．[1， +2]B．[1，e2﹣2]C．[+2，e2﹣2]D．[e2﹣2，+∞）
【考点】对数函数的图象与性质．
【分析】由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．
【解答】解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx⇔﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，
∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），
∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）
极大值
故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
故选B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13．二项式（2﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣192．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2项的系数．
【解答】解：由题意可得：的展开式的通项为
=（﹣1）r26﹣r C6r x3﹣r
令3﹣r=2得r=1
故展开式中x2项的系数是T2=﹣25C61=﹣192．
故答案为：﹣192．
14．已知平面向量，，，满足||=||=|﹣|=|+﹣|=1，则||的最大值为M=
+1．
【考点】向量的模．
【分析】由题意，设=，=，根据||=||=|﹣|=1，可得△ABC是等边三角形．设
=，=，则E在以D为圆心的单位圆上，如图，即可得出．
【解答】解：由题意，设=，=，
∵||=||=|﹣|=1，则△ABC是等边三角形，
设=，=，
则E在以D为圆心的单位圆上，如图
∴的最大值为M=+1=+1，
故答案为：．
15．已知f（x+1）是周期为2的奇函数，当﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），则f（﹣）
的值为．
【考点】函数的值．
【分析】f（x+1）是周期为2的奇函数，可得f（x）为周期为2的函数，即f（x+2）=f（x）．由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），即f（x）=﹣f（2﹣x），即可得出．
【解答】解：∵f（x+1）是周期为2的奇函数，
∴f（x）为周期为2的函数，
即f（x+2）=f（x）．
由f（x+1）是奇函数，有f（﹣x+1）=﹣f（x+1），
即f（x）=﹣f（2﹣x），
故f（﹣）=f（）=﹣f（）=﹣f（﹣），
而﹣1≤x≤0时，f（x）=﹣2x（x+1），
∴f（﹣）=﹣2××=，
∴f（﹣）=．
故答案为：．
16．等差数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}是等比数列，且满足a1=3，b1=1，b2+S2=10，
a5﹣2b2=a3，数列{}的前n项和T n，若T n＜M对一切正整数n都成立，则M的最小值
为10．
【考点】数列的求和．
【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式分别求出{a n}以及{b n}和{}的通项公式，
利用错位相减法进行求和，利用不等式恒成立进行求解即可．
【解答】解：设数列{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q，
由b2+S2=10，a5﹣2b2=a3．
得，解得
∴a n=3+2（n﹣1）=2n+1，．
则=，
T n=3+++…+，
所以T n=+++…++，
两式作差得T n=3+++++…+﹣
=3+（1+++…+）﹣=3+﹣=3+2﹣2•（）n﹣1﹣，
即T n=10﹣（）n﹣3﹣＜10，
由T n＜M对一切正整数n都成立，
∴M≥10，
故M的最小值为10，
故答案为：10
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b﹣c）cosA．（1）求角A的大小；
（2）求cos（﹣B）﹣2sin2的取值范围．
【考点】正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB≠0，可求，结合A为内角即可求得A的值．
（Ⅱ）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B﹣）﹣1，由可求B﹣的范
围，从而可求，即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，
从而可得，，即sinB=2sinBcosA，
又B为三角形的内角，所以sinB≠0，于是，
又A亦为三角形内角，因此，．…
（Ⅱ）∵，
=，
=，
由可知，，所以，从而
，
因此，，
故的取值范围为．…
18．深圳市于2018年12月29日起实施小汽车限购政策．根据规定，每年发放10万个小汽车名额，其中电动小汽车占20%，通过摇号方式发放，其余名额通过摇号和竞价两种方式
（2）在（1）中选出的10个人中随机抽取4人，求其中恰有2人有竞价申请意向的概率；（3）用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量及其分布列；分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）求出每个人被抽到的概率为P==，按比例求解得出各种意向人数；
（2）运用：选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，其中恰有2人有竞价申请意向
的有：=90，根据古典概率求解即可．
（3）在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为p==，判
断出此问为二项分B（4，），运用几何分布求解即可．
【解答】解：（1）采取分层抽样的方式从30至50岁的人中抽取10人，
∵从30至50岁的有500人，
∴每个人被抽到的概率为P==，
根据题意得出：电动小汽车，摇号的有50×=1，
非电动小汽车，摇号的有150×=3，
竞价的有300×=6，
（2）设电动小汽车，摇号的为a1，非电动小汽车，摇号的为b1，b2，b3；
竞价的为：c1，c2，c3，c4，c5，c6，
∵选出的10个人中随机抽取4人总共有=210，
其中恰有2人有竞价申请意向的有：=90，
∴其中恰有2人有竞价申请意向的概率为：P==．
（3）根据题意得出：样本总人数1000人
电动小汽车，摇号的有200人，非电动小汽车，摇号的有400人，竞价的有400，
总共有1000人，
用样本估计总体，在全体市民中任意选取4人，其中摇号申请电动小汽车意向的概率为
p==，
服从二项分布B（4，），摇号申请电动小汽车意向的人数记为ξ=0，1，2，3，4
∴P（ξ=0）=×（）0×（）4=．
P（ξ=1）=××（）3=．
P（ξ=2）=×（）2×（）2=．
P（ξ=3）=×（）3×（）=．
P（ξ=4）=×（）4×（）0=．
E（ξ）=0×+1×+2×+3×+4×=．
19．如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．
（Ⅰ）求证：A1B⊥AD；
（Ⅱ）若AD=AB=2BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ）通过已知条件易得=、∠DAB=∠DAA1，利用=0即得
A1B⊥AD；
（Ⅱ）通过建立空间直角坐标系O﹣xyz，平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值即为平面ABB1A1的法向量与平面DCC1D1的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．
【解答】（Ⅰ）通过条件可知=、∠DAB=∠DAA1，利用=即得A1B
⊥AD；
（Ⅱ）解：设线段A1B的中点为O，连接DO、AB1，
由题意知DO⊥平面ABB1A1．
因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1⊥A1B，
故可分别以射线OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴
的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．
设AD=AB=2BC=2a，由∠A1AB=60°可知|0B|=a，，
所以=a，从而A（0，a，0），B（a，0，0），
B1（0，a，0），D（0，0，a），所以==（﹣a，a，0）．
由可得C（a，a，a），所以=（a，a，﹣a），
设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），
由•=•=0，得，
取y0=1，则x0=，z0=，所以=（，1，）．
又平面ABB1A1的法向量为=D（0，0，a），
所以===，
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．
20．椭圆+=1（a＞b＞0）的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段，称为该直径的共轭直径，已知椭圆的方程为+y2=1．
（1）若一条直径的斜率为，求该直径的共轭直径所在的直线方程；
（2）若椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，证明：四边形ACBD 的面积为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），该弦中
点为（x，y），利用平方差法即可求出该直径的共轭直径所在的直线方程．
（2）椭圆的两条共轭直径为AB和CD，它们的斜率分别为k1，k2，设与AB平行的弦的端点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），表示出斜率，点的坐标代入椭圆方程，利用平方差法求
出斜率关系，然后求出A ，B ，C ，D 坐标，设点C 到直线AB 的距离为d ，求出距离的表达式，即可求解四边形ACBD 的面积是否是定值．
【解答】解：（1）设斜率为的与直径平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
该弦中点为（x ，y ），则有
，
，
相减得：，
由于，，且，所以得：3x +4y=0，
故该直径的共轭直径所在的直线方程为3x +4y=0．
（2）椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为k 1，k 2， 四边形ACBD 显然为平行四边形，
设与AB 平行的弦的端点坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），
则
，
，而
，
，
，
故，
由得A ，B 的坐标分别为，
故，
同理C ，D 的坐标分别为，
设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，
所以，，
则
=
=8
=4．
为定值．
21．设函数f（x）=lnx﹣x2+ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=xe1﹣x，若对于任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]内有两个不同的实数根，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）首先确定定义域，再由导函数的正负确定原函数的单调区间
（2）由f（x）和g（x）的单调性，通过讨论临界值x1的范围，分情况讨论各自可能的情形，中间需要构造新的函数h（x），再求导的过程．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
f′（x）=﹣2x+a=
令f′（x）=0 得：x1=，x2=（舍去）
∴当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，）上单调递增
当x∈（x1）+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（，+∞）上单调递减
∴函数f（x）的递增区间是（0，），递减区间是（，+∞）．
（2）g′（x）=（1﹣x）e1﹣x
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增
当x∈（1，e）时，g′（x）＜0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递减
而g（0）﹣1=﹣1，g（1）﹣1=0，g（e）﹣1=e2﹣e﹣1∈（﹣1，0）
∴当x∈（0，e]时，g（x）∈（﹣1，0]
由（1）知，f′（x）=且f′（x）=0在定义域内只有一个根：x1=
①若x1≥e，则f′（x）在区间（0，e]内无解，
∴函数f（x）在区间（0，e]是上单调函数
显然f（x）+1=g（x0）至多有一个根，不符合题意．
②若x1＜e，则函数f（x）在区间（0，x1）上单调递增，在区间（x1，+∞）上单调递减由题意，对任意给定的x0∈（0，e]，方程f（x）+1=g（x0）在（0，e]有两个不同的根
∴f（x1）＞0，且f（e）≤﹣1
由f（e）≤﹣1，得ae﹣e2+lne≤﹣1
解得：a≤e﹣
∵x1是方程﹣2x2+ax+1=0的根
∴﹣2+ax1+1=0，即a=2x1﹣
故由f（x1）＞0，得ax1﹣+lnx1＞0
得（2x1﹣）x1﹣+lnx1＞0
整理得：﹣1+lnx1＞0
设h（x）=x2﹣1+lnx，x∈（0，e），则h′（x）=2x+＞0
∴函数h（x）在区间（0，e）上单调递增
而h（1）=1﹣1+ln1=0
∴不等式﹣1+lnx1＞0的解为1＜x1＜e
又函数y=2x﹣在（1，e）上单调递增
∴1=2×1﹣1＜a=2x1﹣＜2e﹣
显然e﹣＜2e﹣
∴1＜a≤e﹣
故实数a的取值范围为（1，e﹣]
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交线段BC于点E，BE=3AD．
（1）求证：AB=3AC；
（2）当AC=4，AD=3时，求CD的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1）证明△BDE∽△BCA，则，利用三角形的角平分线的性质，结合条件，
得出AB=3AC；
（2）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，证明DE∥AC，在等腰梯形ACED中，求得CD的长．
【解答】（1）证明：因为四边形ACED为圆内接四边形，所以∠BDE=∠BCA，
又∠DBE=∠CBA，所以△BDE∽△BCA，则，
在圆内接四边形ACED中，CD是∠ACE的平分线，
所以DE=AD，，
而BE=3AD，所以BA=3CA，即AB=3AC．
（2）解：由（1）得AB=3AC=12，而AD=3，所以DE=3，BD=9，BE=3AD=9，
根据割线定理得BD•BA=BE•BC，所以BC=12，EC=BC﹣BE=3，
在圆内接四边形ACED中，由于AD=EC，所以∠ACD=∠EDC，DE∥AC，
在等腰梯形ACED中，求得．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），当t=0时，曲线C1上对应的点为P，
以原点O为极点，以x轴的正半轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
（Ⅰ）求证：曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；
（Ⅱ）设曲线C1与曲线C2的公共点为A，B，求|PA|•|PB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（t为参数），得直角坐标方程，从而可得
极坐标方程；
（Ⅱ）当t=0时，得P（0，﹣1），由（Ⅰ）知曲线C1是经过P的直线，可曲线C1的参数
方程，由，可得曲线C2的直角坐标方程，再代入x、y得21T2﹣30T﹣50=0，由韦达定理可得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：∵曲线C1的参数方程为（t为参数），
∴曲线C1的直角坐标方程为3x﹣4y﹣4=0，
所以曲线C1的极坐标方程为3ρcosθ﹣4ρsinθ﹣4=0；
（Ⅱ）解：当t=0时，x=0，y=﹣1，所以P（0，﹣1），
由（Ⅰ）知：曲线C1是经过P的直线，
设它的倾斜角为α，则tanα=，从而，cos，
所以曲线C1的参数方程为，T为参数，
∵，∴ρ2（3+sin2θ）=12，
所以曲线C2的直角坐标方程为3x2+4y2=12，
将，代入3x2+4y2=12，
得21T2﹣30T﹣50=0，
所以|PA|•|PB|=|T1T2|=．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|
（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；
（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；
（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；
当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；
当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．
综上可得，x≥1或x≤﹣3．
则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；
（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，
2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），
由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，
即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，
则2（a+b）＜ab+4．
2018年9月14日。