矢量分析知识点
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工程电磁场导论
电工基础教研室 金钊
哈尔滨工业大学
K 1.基本概念：标量 ϕ ( x, y, z ) 和矢量 A( x, y, z )
2.几何表示：
矢量分析知识点（2014.02.21）
ϕ ( x, y , z ) = C 标量场的等值面： K K 矢量场的矢量线：dl × F = 0 Fx Fy Fz = = dx dy dz
2 2 2
∂ ∂ ∂ ∇ =∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
2014-2-26 电工基础教研室金钊 6
矢量分析知识点（2014.02.21）
5.拉普拉斯算子：
2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ u ∂ u ∂ u 2 ∇ u =( 2 + 2 + 2 )u = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z K K K 2 2 2 2 2 2 K ∂ ∂ ∂ K ∂ A ∂ A ∂ A 2 ∇ A=( 2 + 2 + 2 ) A = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问 题；
2014-2-26
电工基础教研室金钊
13
谢谢聆听！
矢量分析知识点（2014.02.21）
4.关于哈密顿算子：
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ∇ϕ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z K ∂ K ∂ K ∂ K K K K ∇ ⋅ A=( ex + ey + ez ) ⋅ ( Ax ex + Ay ey + Az ez ) ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z
矢量分析知识点（2014.02.21）
10. 矢量场的旋度
K K rotA = ∇ × A
K 旋度的大小是矢量 A 在P点处的最大环量面
密度。
K 旋度的方向是矢量 A 在P点处取得最大环量
面密度的方向。
2014-2-26
电工基础教研室金钊
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矢量分析知识点（2014.02.21）
11. 亥姆霍兹定理的意义
∂ Ay ∂ Ay ∂ Ay K ∂ Ax ∂ Ax ∂ Ax K =( 2 + + 2 )ex + ( 2 + + )e y 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az K +( 2 + 2 + 2 )ez ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2 2 2
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矢量分析知识点（2014.02.21）
6. 矢量场的通量
Φ =∫
S
K K K K A ⋅ dS = ∫ A ⋅ en dS
S
Φ =v ∫
S
K K K K A ⋅ dS = v ∫ A ⋅ en dS
S
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矢量分析知识点（2014.02.21）
7. 矢量场的散度
K Φ v ∫ S divA = lim = lim V →0 V V →0 V
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8. 矢量场的环量
Ψ =v ∫
9. 环量面密度
L
K K A ⋅ dl
K K A ⋅ dl S
S P L
K en
lim
S →0
Байду номын сангаас
Ψ
S
v ∫ = lim
S →0
L
K K 环量面密度反映了矢量 A 在P点沿 en方向旋转
的强弱情况。
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4.关于哈密顿算子：
矢量分析知识点（2014.02.21）
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ∇ϕ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
K ∂Ax ∂Ay ∇ ⋅ A= + ∂x ∂y K K ex ey K ∂ ∂ ∇ × A= ∂x ∂y Ax Ay ∂Az + ∂z K ez
∂ ∂z Az
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矢量分析知识点（2014.02.21）
5.拉普拉斯算子：
∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∇ ⋅∇ = ( ex + ey + ez ) ⋅ ( ex + ey + ez ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
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矢量分析知识点（2014.02.21）
3.梯度：
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ex + ey + ez = ∇ϕ ∂x ∂y ∂z
方向：是使函数 ϕ 的方向导数取最大值 的方向。 模：等于最大方向导数的值。
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K K A ⋅ dS
K = ∇⋅ A
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量。 散度就是通量的体密度，即单位体积发出的 通量。
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7. 矢量场的散度 K divF > 0
K divF < 0
K divF = 0
P
P
P
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K 1.基本概念：标量 ϕ ( x, y, z ) 和矢量 A( x, y, z )
2.几何表示：
矢量分析知识点（2014.02.21）
ϕ ( x, y , z ) = C 标量场的等值面： K K 矢量场的矢量线：dl × F = 0 Fx Fy Fz = = dx dy dz
2 2 2
∂ ∂ ∂ ∇ =∇ ⋅∇ = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2
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5.拉普拉斯算子：
2 2 2 2 2 2 ∂ ∂ ∂ ∂ u ∂ u ∂ u 2 ∇ u =( 2 + 2 + 2 )u = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z K K K 2 2 2 2 2 2 K ∂ ∂ ∂ K ∂ A ∂ A ∂ A 2 ∇ A=( 2 + 2 + 2 ) A = 2 + 2 + 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
本课程的研究任务：场矢量的散度和旋度； 本课程的研究任务：场矢量的位函数； 本课程的研究任务：场矢量位函数的边值问 题；
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4.关于哈密顿算子：
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ∇ϕ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z K ∂ K ∂ K ∂ K K K K ∇ ⋅ A=( ex + ey + ez ) ⋅ ( Ax ex + Ay ey + Az ez ) ∂x ∂y ∂z ∂Ax ∂Ay ∂Az = + + ∂x ∂y ∂z
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10. 矢量场的旋度
K K rotA = ∇ × A
K 旋度的大小是矢量 A 在P点处的最大环量面
密度。
K 旋度的方向是矢量 A 在P点处取得最大环量
面密度的方向。
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11. 亥姆霍兹定理的意义
∂ Ay ∂ Ay ∂ Ay K ∂ Ax ∂ Ax ∂ Ax K =( 2 + + 2 )ex + ( 2 + + )e y 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az K +( 2 + 2 + 2 )ez ∂x ∂y ∂z
2 2 2 2 2 2
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6. 矢量场的通量
Φ =∫
S
K K K K A ⋅ dS = ∫ A ⋅ en dS
S
Φ =v ∫
S
K K K K A ⋅ dS = v ∫ A ⋅ en dS
S
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7. 矢量场的散度
K Φ v ∫ S divA = lim = lim V →0 V V →0 V
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8. 矢量场的环量
Ψ =v ∫
9. 环量面密度
L
K K A ⋅ dl
K K A ⋅ dl S
S P L
K en
lim
S →0
Байду номын сангаас
Ψ
S
v ∫ = lim
S →0
L
K K 环量面密度反映了矢量 A 在P点沿 en方向旋转
的强弱情况。
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4.关于哈密顿算子：
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∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ∇ϕ = ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z
K ∂Ax ∂Ay ∇ ⋅ A= + ∂x ∂y K K ex ey K ∂ ∂ ∇ × A= ∂x ∂y Ax Ay ∂Az + ∂z K ez
∂ ∂z Az
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5.拉普拉斯算子：
∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∂ K ∇ ⋅∇ = ( ex + ey + ez ) ⋅ ( ex + ey + ez ) ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
∂ ∂ ∂ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z
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3.梯度：
∂ϕ K ∂ϕ K ∂ϕ K gradϕ = ex + ey + ez = ∇ϕ ∂x ∂y ∂z
方向：是使函数 ϕ 的方向导数取最大值 的方向。 模：等于最大方向导数的值。
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K K A ⋅ dS
K = ∇⋅ A
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量。 散度就是通量的体密度，即单位体积发出的 通量。
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7. 矢量场的散度 K divF > 0
K divF < 0
K divF = 0
P
P
P
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