人教版数学九年级上册《配方法》课件
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整理得
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
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配方法.
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元ห้องสมุดไป่ตู้次方程降次，转化
为一元一次方程求解．
典例精析
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
即 由此可得
( x－4)2=15
x 4 １5,
x1 4 15, x2 4 15.
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2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是
负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+ 1 )+ 1 －1
44 = (x+ 1)2 3 ,
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a 32 b 42 c 5 0,
由代数式的性质可知
a 32 0, b 42 0, c 5 0,
a 3，b 4，c 5, a2 b2 32 42 52 c2 ,
所以，△ABC为直角三角形.
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思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
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典例精析
配方法的应用
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0
x 2, y 3, z 2.
xyz 2 32 62 36.
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2
1 16
,
由此可得
x 3 1, 44
1
x1
1, x2
. 2
移项和二次项 系数化为1这 两个步骤能不 能交换一下呢?
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归纳新知
配方法的应用
类别
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
解题策略
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方 式中的配方
3.利用配方 构成非负数 和的形式
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一 次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
24
(x+ 1 )2 0, (x+ 1)2 3 ＜0,
2
24
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当 x= 1 时，－x2－x－1有最大值 3 .
2
4
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典例精析
例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？
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巩固练习
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m 的值为（ C ）
A. 1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4
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x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x1=6, x2=5
∴这个两位数为36或25， ∵周瑜30岁还攻打过东吴， ∴周瑜去世的年龄为36岁.
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（3）4x2-6x-3=0；
解：x2 3 x 3 0， 24
(x 3)2 21. 4 16
x1 3 4 21 ,
x2
3 4
21 ；
（4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
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人教版数学九年级上册
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
学习目标
1．掌握配方法和指导过程，能使用 配方法解一元二次方程。
2．通过降次的思想解方程，掌握一 些转化的技能。
导入新知
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
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2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得
x2 3 x 1 , 22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
探究新知
配方的方法
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=( a+b )2；
(2)a2-2ab+b2=(
a-b
)2.
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
想一想： p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
探究新知
用配方法解方程
怎样解方程: x2+6x+4=0
(1)
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方.
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课堂检测
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；
（2）x(x+4)=8x+12；
解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2；
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－ 2)2=0,即a=0，b=2.
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解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x2=10(x-3)+x x2-11x=-30
总结规律
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p. ①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
x1 n p, x2 n p ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
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（1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+ 42 = ( x+ 4 )2
（4）x2- 4
3
x+
( 2 )2 3
= ( x-
2 3
)2
你发现了什么规律？
归纳新知
配方的方法 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
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4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两 条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积 为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850，
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
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例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0,
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
x2 2x 4 , 3
配方，得 即
x2 2x 12 4 12, 3
x 12 1.
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都
不成立，所以原方程无实数根．
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左
边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方法归纳
方程配方的方法： 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次 项系数为1的前提下进行的.
归纳新知
配方法的定义 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做
x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）, x2=1.
答：道路的宽为1m.
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配方法.
配方法解方程的基本思路
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元ห้องสมุดไป่ตู้次方程降次，转化
为一元一次方程求解．
典例精析
例1 解下列方程：
1 x2 8x 1 0；
解：（1）移项，得 x2－8x=－1,
配方，得 x2－8x+42=－1+42 ,
即 由此可得
( x－4)2=15
x 4 １5,
x1 4 15, x2 4 15.
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2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是
负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+ 1 )+ 1 －1
44 = (x+ 1)2 3 ,
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得 a 32 b 42 c 5 0,
由代数式的性质可知
a 32 0, b 42 0, c 5 0,
a 3，b 4，c 5, a2 b2 32 42 52 c2 ,
所以，△ABC为直角三角形.
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思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
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典例精析
配方法的应用
例2.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =（k－2）2＋1
因为（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.
3.若 x2 4x y2 6 y z 2 13 0 ，求(xy)z 的值.
解：对原式配方，得 x 22 y 32 z 2 0
由代数式的性质可知
x 22 0, y 32 0, z 2 0
x 2, y 3, z 2.
xyz 2 32 62 36.
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2
1 16
,
由此可得
x 3 1, 44
1
x1
1, x2
. 2
移项和二次项 系数化为1这 两个步骤能不 能交换一下呢?
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归纳新知
配方法的应用
类别
1.求最值或 证明代数式 的值为恒正 （或负）
解题策略
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2 ＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时， 可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
2.完全平方 式中的配方
3.利用配方 构成非负数 和的形式
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一 次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
24
(x+ 1 )2 0, (x+ 1)2 3 ＜0,
2
24
所以－x2－x－1的值必定小于零.
当 x= 1 时，－x2－x－1有最大值 3 .
2
4
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典例精析
例4.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）
大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？
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巩固练习
1. 方程2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为x = 0，则
m 的值为（ C ）
A. 1
B.1
C.1或2
D.1或-2
2.应用配方法求最值.
(1) 2x2 - 4x+5的最小值； (2) -3x2 + 5x +1的最大值.
解：原式 = 2(x - 1)2 +3 当x =1时有最小值3
解：原式= -3(x - 2)2 - 4 当x =2时有最大值-4
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x2-11x+5.52=-30+5.52 (x-5.5)2=0.25
x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5 x1=6, x2=5
∴这个两位数为36或25， ∵周瑜30岁还攻打过东吴， ∴周瑜去世的年龄为36岁.
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（3）4x2-6x-3=0；
解：x2 3 x 3 0， 24
(x 3)2 21. 4 16
x1 3 4 21 ,
x2
3 4
21 ；
（4） 3x2+6x-9=0. 解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
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第二十一章 一元二次方程
21.2.1 配方法 第2课时 配方法
学习目标
1．掌握配方法和指导过程，能使用 配方法解一元二次方程。
2．通过降次的思想解方程，掌握一 些转化的技能。
导入新知
1.用直接开平方法解下列方程:
(1) 9x2=1 ； (2) (x-2)2=2.
2.下列方程能用直接开平方法来解吗?
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2 2x2 1 3x；
解：移项，得 2x2－3x=－1,
二次项系数化为1，得
x2 3 x 1 , 22
配方，得
x2
3 2
x
3 4
2
1 2
3 4
2
,
即
x
3 4
(1) x2+6x+9 =5； (2)x2+6x+4=0.
把两题转化成
(x+n)2=p(p≥0)的
形式，再利用开平方
探究新知
配方的方法
问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.
(1)a2+2ab+b2=( a+b )2；
(2)a2-2ab+b2=(
a-b
)2.
问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.
想一想： p
p
x2+px+( 2 )2=(x+ 2 )2
探究新知
用配方法解方程
怎样解方程: x2+6x+4=0
(1)
问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？
解： x2+6x+4=0
移项
x2+6x=-4
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
二次项系数为1的完全 平方式： 常数项等于一次项系数 一半的平方.
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课堂检测
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；
（2）x(x+4)=8x+12；
解：x2+2x+2=0， (x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6,x2=-2；
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数 的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式 得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，
从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,则a2＋(b－ 2)2=0,即a=0，b=2.
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解：设个位数字为x，十位数字为(x-3) x2=10(x-3)+x x2-11x=-30
总结规律
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p. ①当p>0时,则 x n p ,方程的两个根为
x1 n p, x2 n p ②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
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（1）x2+4x+ 22 = ( x + 2 )2
（2）x2-6x+ 32 = ( x- 3 )2
（3）x2+8x+ 42 = ( x+ 4 )2
（4）x2- 4
3
x+
( 2 )2 3
= ( x-
2 3
)2
你发现了什么规律？
归纳新知
配方的方法 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方.
移项时需注意改变符号. 思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1； ②左边配成完全平方式； ③左边写成完全平方形式； ④降次； ⑤解一次方程.
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4.如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两 条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积 为850m2，道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为xm, 根据题意得 （35-x)(26-x)=850，
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
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例3.若a,b,c为△ABC的三边长，且 a2 6a b2 8b c 5 25 0,
3 3x2 6x 4 0.
解：移项，得 3x2 6x 4,
二次项系数化为1，得
x2 2x 4 , 3
配方，得 即
x2 2x 12 4 12, 3
x 12 1.
3
为什么方程 两边都加12？
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都
不成立，所以原方程无实数根．
问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？
不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左
边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
方法归纳
方程配方的方法： 在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次 项系数为1的前提下进行的.
归纳新知
配方法的定义 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做