第五讲三角函数的图像及性质

第五讲三角函数的图像及性质

一走进高考：

(1)下列函数中，最小正周期为2

π的是 A ．)32sin(π-=x y B ．)3

2tan(π-=x y C ．)62cos(π+=x y D ．)6

4tan(π+=x y (2)将函数x y 4sin =的图象向左平移12

π个单位，得到)4sin(ϕ+=x y 的图象，则ϕ等于 A ．12π- B ．3π- C ．3π D ． 12

π （3）)23

sin(2x y -=π单调增区间为 A ．]125,12[ππππ+-k k B ．]12

11,125[ππππ++k k C ．]6,3[ππππ+-k k D ．Z k k k ∈++其中]3

2,6[ππππ （4）要得到函数y=sinx 的图像，只需将函数cos()3

y x π=-的图像向_____平移_____单位 （5）函数sin(2)cos(2)63

y x x ππ=+++的最小证周期和最大值分别为_______________ (6)若函数f(x)=sin 2x-12

(x ∈R),则f(x)是（ ） A.最小正周期为2

π的奇函数 B. 最小正周期为π的奇函数 C. 最小正周期为2π的偶函数 D. 最小正周期为π的偶函数

二、典例分析：

考点1;有关三角函数解析式问题

例1：已知函数)20,0,0( )sin(πϕωϕω<≤>>++=A b x A y 在同一周期内有最高点)1,12(π和最低点)3,127(

-π，求此函数的解析式

变式练习：若,sin ),(sin ,0)(0),a x x b x ωωωω==>r r f(x)=()a b b k +•+r r r 若f(x)的最小正周期为π，且当x ∈,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

时，f(x)的最大值是12，求f(x)的解析式。 考点2：三角函数单调性、奇偶性、周期性问题

例2：已知函数f(x)=)x cos x (sin log 2

1-

（1）求它的定义域和值域； （2）求它的单调区间；

（3）判断它的奇偶性； （3）判断它的周期性。

考点3：三角函数的对称性

例3： 关于函数f(x)=4sin(2x+3

π) (x ∈R),有下列命题： ① 由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1-x 2必是π的整数倍； ② ②y=f(x)的表达可以改写为y=4cos(2x-

6π)； ③y=f(x)的图像关于点(-6π ,0)对称；④y=f(x)的图像关于直线x=-6

π对称； 其中正确命题的序号是___________.(注：把你认为正确的命题序号都填上) 考点4：三角函数的最值问题：

例4：(1)若y=acosx+b 的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx 的最大值。

(2)求y=cosx

-2sinx -2的最值 (3)设函数y=-2sin 2x-2cosx-2a+1的最小值是f(a)，①写出f(a)的表达式；

②试确定能使f(a)=

2

1的a 的值。 (4)求f(x)=cosx

sinx 1cos sin ++x x 的值域 (5)己知sinxsiny=21，求cosxcosy 的取值范围 (6)己知3sin 2α+2sin 2β=2sin α，求cos 2α+cos 2β的最值

考点5：三角函数性质综合应用

例5：已知函数f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1 ,x ∈R

(1) 求函数f(x)的最小正周期；

(2) 求函数f(x)在3[,]84ππ

上的最大值和最小值。

变式练习：已知f(x)=2cos 2∈R 为常数)

（1） 若x ∈R,求f(x)的单调递增区间；

（2） 若x ∈[0，

2

π]时，f(x)的最大指为4，求a 的值。

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（一）选择题

1、下列函数中，既是（0，

2π）上的增函数，又是以π为周期的偶函数是 A 、y=lgx 2 B 、y=|sinx| C 、y=cosx D 、y=x 2sin 2

2、如果函数y=sin2x+acos2x 图象关于直线x=-8

π对称，则a 值为 A 、 -2 B 、-1 C 、1 D 、2 3、函数y=Asin(ωx+φ)（A>0，φ>0），在一个周期内，当x=8

π时，y max =2； 当x=π8

5时，y min =-2，则此函数解析式为 A 、)42x sin(2y π+= B 、)4x 2sin(2y π+= C 、)4x sin(2y π+= D 、)8

x 2sin(2y π+-= 4、方程sinx=lgx 的实根个数是( )

(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都错

5、函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )

6、若f(sinx)=sin3x,则cos3x 等于( )

(A)f(cosx) (B)-f(cosx) (C)f(sinx) (D)-f(sinx)

7、对于函数y=cos(sinx)，正确的命题是( )

(A)它的定义域是［-1，1］(B)它是奇函数(C)y ∈［cos1,1］(D)不是周期函数

8．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA ·sinB( )

A.有最大值21和最小值0

B.有最大值2

1但无最小值 C.既无最大值也无最小值 D 有最大值1但无最小值.

9.函数y=sin(2x+

2

5π)的图像中的一条对称轴方程是( ) (A)x=-4π (B)x=-2π (C)x=8π (D)x=45π 10.已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x ＞0)，则

sin α(sin α+ctg α)+cos 2α的值是( )

(A)51 (B) 52 (C) 58 (D) 5

9 （二）填空题

11．函数y=2sinxcosx-3(cos 2x-sin 2x)的最大值与最小值的积为________。