信号与系统PPT-cp3-连续时间信号的频谱

（ 0, 2 ）内是一个正交函数集
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3.1 用完备正交函数集表示信号
（2）
n 1
n 1

2
0
sin t cos ntdt 0
sin t 在区间（ 0, 2 ）内与{cos nt }正交。故函数集 cosnt 在区间（0, 2 ）内不是完备正交函数集。
即 （3）

2
0

mn
T
2
1
为指数函数的公共周期
当n , e jn1t 为一完备的正交函数集


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3.1 用完备正交函数集表示信号
3)函数集： Sa [ ( t nT )] （其中n 0, 1, 2) T 对于有限带宽信号类来说是一个完备的正交函数集。
ir
ir

2
0
1 sin(i r )t sin(i r )t 2 cosit cosrtdt 0 2 ir ir 0
2

2
0
cosit cosrtdt
0
1 1 1 2 1 sin 2it dt t sin 2it 2 2 2i 0

m, n 为任意整数
mn
t 1T t 1T t1 cosm1t cosn1tdt t1 sinm1t sinn1tdt 0 t 1T t 1T 2 T 2 cos n tdt sin n tdt 1 1 t1 t1 2 2 T 三角函数的公共周期 1
在 (t1 , t2 ) 内构成归一化正交函数集。
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3.1 用完备正交函数集表示信号
正交复变函数集
设
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 是定义在 (t1 , t2 ) 区间上的两个复变函数 （信号），若在 (t1 , t2 ) 区间上有 i r 0 t2 xi (t ) x r (t )dt t1 k i i r 则称 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 (t1 , t2 ) 内构成正交函数集。
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3.2 周期信号的傅里叶级数
周期信号通常被表示（分解）为 ----- 无穷多个正弦信号之和； ----- 利用欧拉公式还可以将三角函数表示为复指数函数， 周期函数还可以展开成无穷多个复指数函数之和， 优点与三角函数级数相同。 ----- 用这两种基本函数表示的级数，分别称三角形式傅里 叶级数及指数形式傅里叶级数。 它们是傅里叶级数中两种不同的表达形式， 都简称傅氏级数。 ------利用傅氏级数表示信号 用于：研究周期信号的频域特性 建立信号频谱的概念
0 i r xi (t ) x r (t )dt t1 k i i r 则称 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 (t1 , t2 ) 内构成正交函数集。

t2

t2
t1
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )
0 i r xi (t ) x r (t )dt i r 1
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3.1 用完备正交函数集表示信号
4、典型的完备正交函数集
1)三角函数集： 1, cos1t , cos 21t , cos m1t , ,

sin 1t , sin 21t ,sin n1t ,
t 1T cosm1t sinn1tdt 0 t1
a0 1 T
2 an T

t0 T
t0 t0 T
x t dt x t cos n0tdt
t0
0
2 是基波角频率，有时也简称基波频率。 T
2 t0 T bn x t sin n0tdt T t0
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3.2 周期信号的傅里叶级数
利用三角函数的边角关系，可以将一般三角形式化为标准三角形式
cos n
an
2 2 a b 电气工程学院 n n
3.2 周期信号的傅里叶级数
信号的频谱
n 是频率 n0 的函数， cn 、
它们从频率的角度反映了信号的特性，称为信号的频谱。 信号的波形与频谱是同样客观存在的
示波器-----观察信号的波形
频谱分析仪----观察或度量信号的频谱
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3.1 用完备正交函数集表示信号
例: 已知余弦函数集
（1）证明该函数集在区间（0，2）内为正交函数集； （2）该函数集在区间（0，2 （3）该函数集在区间（ 0, ）内是正交函数集吗？ 解：（1） （n为整数） cost, cos2t,, cosnt
2
）内是完备正交函数集吗？

为自变量
振幅图
cn ~
线 图
每条线长度代表该频率振幅大小 每条线长代表该频率相位大小
j t
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第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换
无论采取何种方式对信号进行分解、逼近或变换，最终的目的是 要寻求一种方法既能方便地求解系统的响应，又能使获得的结果 具有明显的物理意义，并用于解释或设计实际系统。 如果已知LTI系统对正弦信号的响应，利用LTI系统的叠加、比
例与时不变性就可以得到任意信号的响应。
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3.2 周期信号的傅里叶级数
3.2.1 周期信号x(t)表示为傅里叶级数 由数学分析知，当周期信号x(t)满足狄氏条件时，可展开为 三角傅里叶级数或复指数傅里叶级数。 狄氏条件： （1）在一周期内，间断点的数目有限； （2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；
（3）在一周期内， t 1
x (t ) 都可以精确地表示为 x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 的线性组合。即
x(t ) C1 x1 (t ) C 2 x2 (t ) C n xn (t )
Ci 为加权系数，且有
Ci

t2
t1
x(t ) xi (t )dt
t2

正交展开式， 也称为欧拉一傅里叶公式 或广义傅里叶级数， 傅里叶级数系数
x t a0 an cosn0t bn sin n0t
a0
n 1


bn a b
2 n 2 n
n 1
a b
2 n
2 n

an a b
2 n 2 n
cosn0t
sin n0t

a0 cn cosn cosn0t sin n sin n0t
n 0,1,2但sin0o 0不记在三角函数集内 电气工程学院
3.1 用完备正交函数集表示信号
jn1t 2)复指数函数集： e
（其中n 0, 1, 2)

e e
t 1T t1 t 1T t1
jm1t jn1t
e e
jn1t jn1t
dt 0 dt T
n 1

n 次谐波初相位
1
c0 cn cosn0t n
n 1

直流幅度
bn a0 c0 , n tan an 2 2 cn a n bn n 次谐波振幅；
an cn cos n bn cn sin n
sin n
bn
2 2 an bn
通过频谱，更容易理解耳朵的听觉过程
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3.2 周期信号的傅里叶级数
频谱图的引入
傅里叶级数准确地反映了周期信号分解的结果，但直观性差，
为了简单、直观地表示信号所包含主要频率分量的振幅、相 位随频率变化的情况，人们借助频谱图来描述信号的频率及 相位特性。周期信号的频谱图是以频率 频谱图 两部分组成
如果在正交函数集
则称该函数集为完备正交函数集。否则为不完备正交函数集。 有两个重要定理
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3.1 用完备正交函数集表示信号
定理3-1 设 x1 (t ), x2 (t ),, xn (t )在 (t1 , t2 ) 区间内是某一类
信号（函数）的完备正交函数集，则这一类信号中的任何一个信号
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第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换
#3.1 用完备正交函数集表示信号
3.2 周期信号的傅里叶级数
3.3 周期矩形脉冲的频谱分析
3.4 非周期信号的频谱——傅里叶变换
3.5 傅里叶变换的性质
3.6 周期信号的傅里叶变换
#3.7 能量谱和功率谱--帕塞瓦尔定理
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3.1 用完备正交函数集表示信号
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3.2 周期信号的傅里叶级数
三角函数集是最重要的基本正交函数集，正、余弦函数 都属于三角函数集。它具信号，建立了时间与频率两个基本物 理量之间的联系； (3) 单频三角函数是简谐信号，简谐信号容易产生、传输、 处理； (4) 三角函数信号通过线性时不变系统后，仍为同频三角 函数信号，仅幅度和相位有变化，计算方便。

t 1T
x(t ) dt
电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件，当x(t)满足 狄氏条件时， an, bn, cn 才存在。
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3.2 周期信号的傅里叶级数
xt xt nT
xt a0 an cosn0t bn sin n0t
n 1
第三章
连续信号的频谱 —傅里叶变换
第三章 连续信号的频谱——傅里叶变换
LTI系统分析的一个基本任务，是求解系统对任意激励信 号的响应，基本方法是将信号分解为多个基本信号元。 频域分析是将正弦函数或虚指数函数 e 作为基本信号元， 任意信号可以由不同频率的正弦函数或虚指数信号之和表示。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在 的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系， 从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等 重要概念。

t1
xi (t ) dt
2
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3.1 用完备正交函数集表示信号
定理3-2 （帕塞瓦尔定理）在
x(t ) C1 x1 (t ) C 2 x2 (t ) C n xn (t ) 条件下，满足

t2
t1
x(t ) dt
2

i
t2
2
t1
C i xi (t ) dt
x (t ) 的能量等于各个分量的能量之和，即反映能量守恒。
sin t cos tdt 0
ir
1 cosit cos rtdt 2 i r2 i r i r i sin cos r cos sin 2 2 2 2

2
0
对于任意整数 i , r , 此式并不恒等于零。该函数集{cos nt }在区间
(0, ) 内不是正交函数集。 2
3.1.1 正交矢量
平面空间两个矢量正交的条件是
A1 A2 0
A C1 A1 C2 A2
推广：
A C1 A1 C2 A2 C3 A3
A C1 A2 C2 A2 Cn An
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3.1 用完备正交函数集表示信号
3.1.2 正交函数与正交函数集
正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析，信号常以 时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。 仿照矢量正交概念，也可定义函数的正交。 1、实函数的正交 设 x1 (t ) 和 x 2 (t ) 是定义在 (t1 , t2 ) 区间上的两个实变函数 （信号），若在 (t1 , t2 ) 区间上有

i r 0 * t1 xi (t ) xr (t )dt 1 i r x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 (t1, t2 ) 内构成归一化正交函数集。
t2
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3.1 用完备正交函数集表示信号
3、完备正交函数集
x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ) 之外， 找不到另外一个非零函数与该函数集 xi (t ) 的每一个函数正交，

t2
t1
x1 (t ) x2 (t )dt 0
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则称 x1 (t ) 和 x 2 (t ) 在 (t1 , t2 ) 内正交。
3.1 用完备正交函数集表示信号
2、正交函数集
设 x1 (t ), x 2 (t ), , x n (t )是定义在 (t1 , t2 ) 区间上的两个实变函数 （信号），若在 (t1 , t2 ) 区间上有