5多元复合函数及隐函数的微分法

其结构图为:
在满足定理的相应条件下，有:
Q f u f v f w x u x v x w x Q f u f v f w y u y v y w y
Q f u f v f w z u z v z w z
例 设 z = eu cos v， u xy , v 2x y ,
求 z ， z . x y
Fx
Fy
dy dx
0
.
所以 dy Fx (x, y) ．此式称为一元隐函数的 dx Fy (x, y)
求导公式．
例 设 x2 y2 2x , 求 dy .
dx
解 令 F(x, y) x2 y2 2x , 则
Fx 2x 2 , Fy 2 y ,
由公式得
dy 2x 2 1 x .
.
z
F
同理可得
z y
y F
.
z
例 设函数z=f (x, y)由方程sinz=xyz确定，
求z , z x y
解法1
设F(x, y, z)=sinz－xyz,
则 F yz F xz F cos z xy
x
y
z
故
z yz x cosz xy
z xz y cosz xy
解法2
方程sinz=xyz两边分别对x求偏导，得
dx u dx v dx =2sinxcosx+2cosxsinx=2sin2x .
( 2°) 若z=f (u)可导，u = u (x, y)有连续偏导数， (结构如右下图)，则对复合函数z=f ［u(x, y)］有
z dz u x du x
z dz u y du y
( 3°) 若z=f (x, u), u = (x, y)
z y
x
f (x
y, x
y) xy f11
f2 (1)
x f (x y, x y) xy f1 f2.
2、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y),y (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
2(1 6z)2 6Biblioteka 2x y)2 (1 6z)3
故
2z x 2
(1,2,1)
2 5
例 设 (cx az , cy bz) 0 , 证明 a z
x
b z c , 其中 a , b , c 为常数，函数 可微
y
(a1 b2 0).
证 两边对 x 求导
1
(c
a
z x
)
2
(
b
解法2 利用一阶全微分形式不变性，方程组 两端分别微分，有
du dv dx dy, sin udy y cosudu sin vdx x cosvdv,
以du, dv为未知量，解此方程组得
du
1
(sin v x cos v)dx (sin u x cos v)dy
x cos v y cosu
多元复合函数的微分法 1° 基本形式的复合函数偏导数的链式法则
定理 : 设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)处可导，
在对应(x,y)的点(u,v)处，函数z=f (u,v)有连续偏
导数，则复合函数f［u(x,y),v(x,y)］在点(x,y)处
也可导，且
z f u f v x u x v x
eu( x cosv sinv)
exyxcos(2x y) sin(2x y).
2° 其它形式复合函数偏导数的链式法则 ( 1 。) 如果函数 u f ( x) 及 v y(x) 都在点 x 可
导,函数 z f (u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导 数，则复合函数 z f [f(x),y (x)] 在点 x 可导，
x cosv v , x
用消元法解此方程组得
u sin v x cosv v sin v y cosu x x cosv y cosu x x cosv y cosu
同理，方程组两端分别对y求偏导数，解相应的
未知量为 u , v 的线性方程组，可求得 y y
u x cosv sin u dy x cosv y cosu
均具有连续偏导数，则对复合函 数z=f［x,u (x, y)］，有
z f f u z f u x x u x y u y
例 3 设 z f ( y , x 2 y, y sinx)，求 z
x
x
与
z .
y
解 令 u y , v x 2 y, w y sinx, 于是
x
z f (u,v, w).
cos z z yz xy z
x
x
故 z
yz
x cos z xy
同理可得 z
xz
y cos z xy
例 设 x2 2y2 3z2 xy z 9 0
2z
求
解 : 欲求 2 z x 2
x 2 (1,2,1)
，应先求出
(1,2,1)
z x
,
再求
2z x 2
，
最后以x=1, y=－2, z=1代入即可.
dz d( eu sin v ) eu cos v dv
d (xy)
d (x y)
( yd x xdy)
exy[ y sin(x y) cos(x y)] d x
( dx dy)
dy
所以
5.2.4.隐函数微分法
一般地说，能用y=f (x), z=f (x, y)等已将因变量 解出的函数，称之为显函数；如果由方程形式： F(x, y)=0, F(x, y, z)=0, 能确定出函数y=f (x), z=f (x, y)，这种未解出因变量，只是由方程形式确定 的函数称为隐函数，对于隐函数的求导或求偏导， 有下面的：
解 因为
z eu cosv , u
u y , x u x , y
z eu sinv ; v v 2; x
v 1 . y
可得
z eu cosv y eu sinv 2
x eu( y cosv 2sinv)
exyycos(2x y) 2sin(2x y),
z eu cosv x eu sinv (1) y
定理 1 设 F (x, y) 0确定了 y 是 x的函数 y y(x)，且 Fx (x, y)，Fy (x, y)存在及 Fy (x0 , y0 ) 0，试求 dy ． dx
解 因为 F (x, y(x)) 0,所以，此式两端对 x 求导得
F dx F dy 0 x dx y dx
,即
且其导数可用下列公式计算： dz z du z dv ．
dx u dx v dx
以上公式中的导数 dz 称为全导数. dt
例
已知z u2 v2, u sinx, v cosx ,求 dz 。
dx
解: f 2u u
f 2v v
du cos x dx
dv sin x dx
故 dz f du f dv 2u cos x 2v sin x
dv
1
(sin v y cosu)dx (sinu y cosu)dy
x cosv y cosu
由全微分定义，可求得
u sin v x cosv x x cosv y cosu
v y cosu sin v x x cosv y cosu
u x cosv sin u y x cosv y cosu v sin u y cosu y x cosv y cosu
由z=f (x, y)是由方程确定的隐函数，
所以，设F= x2 2y2 3z2 xy z 9
故 F 2x y, F 6z 1
x
z
所以 z 2x y x 1 6z
2z z 2x y
x2
x
() x
( x 1 6z
)
2(1 6z) (2x y)(6) z
x
(1 6z)2
0, 0,
在满足一定条件下，确定了隐函数
求 u , v
u v
u(x, v(x,
y), y),
x x
利用复合函数求导法则，在方程F(x, y, u,v)=0及
G(x, y, u, v)=0两端同时对x求偏导数，但要注意
到u, v是自变量x, y的函数，我们得到
Fx
Fu
u x
Fv
v x
0
Gx
Gu
z x
)
0
.
解得
z c1
①
x a1 b2
同理
z c2
②
y a1 b2
a ① + b ② 于是有
即为所证.
a z b z c . x y
**隐函数的情况是多种多样的，例如求由方程组 确定的一元或多元隐函数的导数或偏导数，基本
例如，方程组
F ( x, G(x,
y, y,
u, u,
v) v)
以Δx≠0除上式两端，得
z f u f v o() (u)2 (v)2 x u x v x x x
当Δx→0时，对上式两端取极限，由定理条件即得
z f u f v x u x v x
同理可证
z f u f v y u y v y
上述复合函数求导法则可以推广到二元以上的 多元函数. 例如，对三元复合函数Q=f (u, v, w) ,其 中u=u(x, y, z)，v=v (x, y, z)，w=ω(x, y, z).
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
例 设z e xysin( x y), 利用全微分形式
不变性求
dz，并由此导出
z x
与
z y
.
解 设 u xy, v x y, 于是 z eu sinv
类似地，可求得
z
y
1 x
f1 2 f2 sin xf3 .
例 4 设 z xy f ( x y, x y), 求 z , z .
x y
解 在这个函数的表达式中， 乘法中有复合
函数，所以先用乘法求导公式.
z x
y
f (x
y, x
y)
xy f11
f2 1
y f ( x y, x y) xy f1 f2,
u x
Gv
v x
0
将 u , v 视为未知量，用消元法解上面的线性方程 x x
组，即可求得 u , v x x
同理可求得 u , v y y
**例 由
u v x y,
y
sin
u
x
sin
v,
求 u x
u y
v x
解法1 方程组两端分别对x求偏导数
u x
v x
1,
y
cosu
u x
sin v
因为
u y x x2 ,
v 1, x
w y cosx, x
u 1 , v 2, w sinx,
y x y
y
所以
z x
f
u
y x2
fv1 fw y cos x
y x2
f1
f2
y cos x
f3 ,
式中的 f i 表示 z 对第 i 个中间变量的偏导数 (i = 1 , 2 , 3)，有了这种记法， 就不一定要明显地写出中 间变量 u， v， w .
dx
2y
y
定理 2 （隐函数存在定理） 设函数 F (x, y, z)在 点 P0 (x0 , y0 , z0 ) 的某个邻域内连续且有连续的偏导数 Fx (x, y, z)， Fy (x, y, z)， Fz (x, y, z)，又 F (x0 , y0 , z0 ) 0， Fz (x0 , y0 , z0 ) 0，则存在惟一的函数 z f (x, y)在(x0 , y0 ) 的某个邻域内满足方程 F (x, y, z) 0，即
z f u f v y u y v y
证 将y固定，给自变量x以增量Δx, 从而函数z=f (u, v)也有相应增量Δz ， 于是函数u=(x, y), v=ψ(x, y)相应有增量Δu,Δv, 由于f (u, v)可微，所以
z f u f v o(),
u v
其中
(u)2 (v)2
F (x, y, f (x, y)) 0 . 而且 z0 f (x0 , y0 )，同时 z f (x, y)在此邻域内有连 续的偏导数．
试求 z 及 z ． x y
解 因为 F (x, y, z(x, y)) 0，所以此式两端对 x 求
导得
F F z 0, x z x
F
所以
z x
x F