大田县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

大田县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N 1（90，86）和ξ2：N 2（93，79），则以下结论正确的是（ ）
A ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，也比第二次成绩稳定
B ．第一次测试的平均分比第二次测试的平均分要高，但不如第二次成绩稳定
C ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定
D ．第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，但不如第一次成绩稳定
2． f
（）
=，则f （2）=（ ） A ．3
B ．1
C ．2
D
．
3． 己知y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）=x+2，那么不等式2f （x ）﹣1＜0的解集是（ ） A
． B
．
或
C
． D
．
或
4．
是首项
，公差的等差数列，如果
，则序号等于（ ）
A ．667
B ．668
C ．669
D ．670 5． 设函数f （x ）在x 0
处可导，则等于（ ）
A ．f ′（x 0）
B ．f ′（﹣x 0）
C ．﹣f ′（x 0）
D ．﹣f （﹣x 0）
6． 有下列关于三角函数的命题 P 1：∀x ∈R ，x ≠k π
+（k ∈Z ），若tanx ＞0，则sin2x ＞0；
P 2：函数y=sin （x
﹣）与函数y=cosx 的图象相同；
P 3：∃x 0∈R ，2cosx 0=3；
P 4：函数y=|cosx|（x ∈R ）的最小正周期为2π，其中真命题是（ ） A ．P 1，P 4
B ．P 2，P 4
C ．P 2，P 3
D ．P 1，P 2
7． 已知x ＞0，y ＞0
，
+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ） A ．（﹣∞
，] B ．（﹣∞
，] C ．（﹣∞
，
] D ．（﹣∞
，
]
8． 已知椭圆C
：
+y 2=1，点M 1，M 2…，M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这五点作斜率为k （k ≠0）
的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…，AP 10这10条直线的斜率乘积为（ ） A
．﹣ B
．﹣
C
．
D
．﹣
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N （105，102），已知P （95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2﹣b 2=bc ，sinC=2sinB ，则A=（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 11．已知双曲线
的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支
有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A ．（1，2] B ．（1，2） C ．[2，+∞） D ．（2，+∞）
12．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A 、2865+ B 、3065+ C 、56125+ D 、 60125+
二、填空题
13．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a 和b ，在a+b 为偶数的条件下，|a ﹣b|＞2发生的概率是 ．
14．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．
15．过抛物线y 2=4x 的焦点作一条直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的横坐标为2，则|AB|等于 ． 16．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
17．下列结论正确的是 ①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N （1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则
ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；
②以模型y=ce kx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny ，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e 4；
③已知命题“若函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是增函数，则m ≤1”的逆否命题是“若m ＞1，则函数f （x ）=e x ﹣mx 在（0，+∞）上是减函数”是真命题；
④设常数a ，b ∈R ，则不等式ax 2﹣（a+b ﹣1）x+b ＞0对∀x ＞1恒成立的充要条件是a ≥b ﹣1．
18．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
三、解答题
19．已知m ≥0，函数f （x ）=2|x ﹣1|﹣|2x+m|的最大值为3． （Ⅰ）求实数m 的值；
（Ⅱ）若实数a ，b ，c 满足a ﹣2b+c=m ，求a 2+b 2+c 2
的最小值．
20．已知f （x ）=|﹣x|﹣|+x|
（Ⅰ）关于x 的不等式f （x ）≥a 2
﹣3a 恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）若f （m ）+f （n ）=4，且m ＜n ，求m+n 的取值范围．
21．（本题满分15分）
设点P 是椭圆14
:2
21=+y x C 上任意一点，
过点P 作椭圆的切线，与椭圆)1(14:22222>=+t t y t x C 交于A ，B 两点．
PA=；
（1）求证：PB
∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
（2）OAB
【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
22．已知集合A={x|x2+2x＜0}，B={x|y=}
（1）求（∁R A）∩B；
（2）若集合C={x|a＜x＜2a+1}且C⊆A，求a的取值范围．
23．已知函数f（x）=的定义域为A，集合B是不等式x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0的解集．
（Ⅰ）求A，B；
（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．
24．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于E点，F，G分别为AD，BC的中点，AB=2，∠DAB=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使得AC=．
（1）求证：平面ABD⊥平面BCD；
（2）求二面角F﹣DG﹣C的余弦值．
大田县第一高级中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：∵某市两次数学测试的成绩ξ1和ξ2分别服从正态分布ξ1：N1（90，86）和ξ2：N2（93，79），∴μ1=90，▱1=86，μ2=93，▱2=79，
∴第二次测试的平均分比第一次测试的平均分要高，也比第一次成绩稳定，
故选：C．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
2．【答案】A
【解析】解：∵f（）=，
∴f（2）=f（）==3．
故选：A．
3．【答案】B
【解析】解：因为y=f（x）为奇函数，所以当x＞0时，﹣x＜0，
根据题意得：f（﹣x）=﹣f（x）=﹣x+2，即f（x）=x﹣2，
当x＜0时，f（x）=x+2，
代入所求不等式得：2（x+2）﹣1＜0，即2x＜﹣3，
解得x＜﹣，则原不等式的解集为x＜﹣；
当x≥0时，f（x）=x﹣2，
代入所求的不等式得：2（x﹣2）﹣1＜0，即2x＜5，
解得x＜，则原不等式的解集为0≤x＜，
综上，所求不等式的解集为{x|x＜﹣或0≤x＜}．
故选B
4．【答案】C
【解析】
由已知，由得，故选C
答案：C
5．【答案】C
【解析】解：=﹣=﹣f′（x0），
故选C．
6．【答案】D
【解析】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx
==＞0，则P1为真命题；
对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；
对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；
对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），
则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．
故选D．
【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．
7．【答案】D
【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，
所以（x+y）（+）=10+≥10=16，
当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；
故m的取值范围是（﹣]；
故选D．
8．【答案】B
【解析】解：如图所示，
由椭圆的性质可得==﹣=﹣．
由椭圆的对称性可得，，
∴=﹣，
同理可得===﹣．
∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积==﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质可得=﹣及椭圆的对称性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
9．【答案】B
【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，
∵P（95≤ξ≤105）=0.32，
∴P（ξ≥115）=（1﹣0.64）=0.18，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9
故选：B．
【点评】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=105对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．
10．【答案】A
【解析】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，
∵a2﹣b2
=bc，∴cosA===
∵A是三角形的内角
∴A=30°
故选A．
【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．
11．【答案】C
【解析】解：已知双曲线的右焦点为F，
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
∴≥，离心率e2=，
∴e≥2，故选C
【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
12．【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，
所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
====
S S S S
10,10,10,
后右左
底
S=+，故选B．
因此该几何体表面积30
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P==
故答案为：
【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．
14．【答案】12π
【解析】
考点：球的体积与表面积．
【方法点晴】本题主要考查了球的体积与表面积的计算，其中解答中涉及到正方体的外接球的性质、组合体的
结构特征、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中仔细分析，得出正方体的体对角线的长就外接球的直径是解答的关键．
15．【答案】6．
【解析】解：由抛物线y2=4x可得p=2．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
∵线段AB的中点M的横坐标为2，∴x1+x2=2×2=4．
∵直线AB过焦点F，
∴|AB|=x1+x2+p=4+2=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了抛物线的过焦点的弦长公式、中点坐标公式，属于基础题．
16．【答案】4．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2﹣=1，
∴a2=1，b2=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
17．【答案】①②④
【解析】解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，
②∵y=ce kx，
∴两边取对数，可得lny=ln（ce kx）=lnc+lne kx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴lnc=4，
∴c=e4．故②正确，
③已知命题“若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，
则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，
若函数f（x）=e x﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e x﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e x，
∵x＞0，∴e x＞1，
则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误，
④设f（x）=ax2﹣（a+b﹣1）x+b，
则f（0）=b＞0，f（1）=a﹣（a+b﹣1）+b=1＞0，
∴要使∀x＞1恒成立，
则对称轴x=，
即a+b﹣1≤2a，即a≥b﹣1，
即不等式ax2﹣（a+b﹣1）x+b＞0对∀x＞1恒成立的充要条件是a≥b﹣1．故④正确，
故答案为：①②④
18．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f（x）=2|x﹣1|﹣|2x+m|=|2x﹣2|﹣|2x+m|≤|（2x﹣2）﹣（2x+m）|=|m+2|
∵m≥0，∴f（x）≤|m+2|=m+2，当x=1时取等号，
∴f（x）max=m+2，又f（x）的最大值为3，∴m+2=3，即m=1．
（Ⅱ）根据柯西不等式得：（a2+b2+c2）[12+（﹣2）2+12]≥（a﹣2b+c）2，
∵a﹣2b+c=m=1，∴，
当，即时取等号，∴a2+b2+c2的最小值为．
【点评】本题考查绝对值不等式、柯西不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）关于x的不等式f（x）≥a2﹣3a恒成立，即|﹣x|﹣|+x|≥a2﹣3a恒成立．
由于f（x）=|﹣x|﹣|+x|=，故f（x）的最小值为﹣2，
∴﹣2≥a2﹣3a，求得1≤a≤2．
（Ⅱ）由于f（x）的最大值为2，∴f（m）≤2，f（n）≤2，
若f （m ）+f （n ）=4，∴m ＜n ≤
﹣，∴m+n ＜﹣5．
【点评】本题主要考查分段函数的应用，求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
.
∴点P 为线段AB 中点，PB PA =；…………7分 （2）若直线AB 斜率不存在，则2:±=x AB ，与椭圆2C 方程联立可得，)1,2(2--±t A ，)1,2(2-±t B ，故122-=∆t S OAB ，…………9分
若直线AB 斜率存在，由（1）可得
148221+-=+k km x x ，144422221+-=k t m x x ，1
41141222212+-+=-+=k t k x x k AB ，…………11分 点O 到直线AB 的距离2221141k k k m d ++=+=
，…………13分 ∴122
12-=⋅=∆t d AB S OAB ，综上，OAB ∆的面积为定值122-t ．…………15分 22．【答案】
【解析】解：（1）A={x|x 2+2x ＜0}={x|﹣2＜x ＜0}， B={x|y=}={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}，
∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}，
∴（∁R A ）∩B={x|x ≥0}；…
（2）当a ≥2a+1时，C=∅，此时a ≤﹣1满足题意；
当a ＜2a+1时，C ≠∅，
应满足，
解得﹣1＜a ≤﹣；
综上，a 的取值范围是
．…
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵，化为（x ﹣2）（x+1）＞0，解得x ＞2或x ＜﹣1，∴函数f （x ）=的定义域A=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）；
由不等式x 2﹣（2a+1）x+a 2+a ＞0化为（x ﹣a ）（x ﹣a ﹣1）＞0，又a+1＞a ，∴x ＞a+1或x ＜a ，
∴不等式x 2﹣（2a+1）x+a 2+a ＞0的解集B=（﹣∞，a ）∪（a+1，+∞）；
（Ⅱ）∵A ∪B=B ，∴A ⊆B ．
∴，解得﹣1≤a ≤1．
∴实数a 的取值范围[﹣1，1]．
24．【答案】
【解析】（1）证明；在菱形ABCD 中，AB=2，∠DAB=60°，∴△ABD ，△CBD 为等边三角形，
∵E 是BD 的中点，∴AE ⊥BD ，AE=CE=
，
∵AC=，∴AE 2+CE 2=AC 2， ∴AE ⊥EC ，∴AE ⊥平面BCD ，
又∵AE ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD ；
（2）解：由（1）可知建立以E 为原点，EC 为x 轴，ED 为y 轴，EA 为z 轴的空间直角坐标系E ﹣xyz ，
则D （0，1，0），C （，0，0），F （0，，）G （﹣，1，），
平面CDG 的一个法向量=（0，0，1），
设平面FDG 的法向量=（x ，y ，z ），=（0，﹣，），=（﹣，1，）
∴，即，令z=1，得x=3，y=
，
故平面FDG 的一个法向量=（3，
，1），
∴cos ==，
∴二面角F ﹣DG ﹣C 的余弦值为﹣．
【点评】本题考查平面垂直，考查平面与平面所成的角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。