有限元基础及应用-课件

虚功原理
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两 个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过 程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可 以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。 还要注意，当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力 方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约 束力叫做被动力。 ( 如图中的反力 Rc ，由于支点 C 没有位移，故 所作的虚功对于零)。反之，如图的 P 和 是在位移过程中作功 PB A 的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力， 哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力 是不作虚功的。
为什么采用有限元方法就可以针对具有任 意复杂几何形状的结构进行分析，并能够 得到准确的结果呢？
有限元方法是基于“离散逼近”的基本策略，可以采用较 多数量的简单函数的组合来“近似”代替非常复杂的原 函数。 一个复杂的函数，可以通过一系列的基函数的组合来“近 似” ，也就是函数逼近，其中有两种典型的方法： (1)基于全域的展开(如采用傅立叶级数展开)； (2)基于子域的分段函数组合(如采用分段线性函数的连接)
二、有限元法的基本思想
有限元法的基本思想是：“分与合”。
“分”是为了划分单元，进行单元分析； “合”则是为了集合单元，对整体结构进 行综合分析。
结构离散->单元分析->整体求解
三、有限元法的基本步骤
无论对于什么样的结构，有限元分析 过程都是类似的。其基本步骤为： （1）研究分析结构的特点，包括结构形状 与边界、载荷工况等； （2）将连续体划分成有限单元，形成计算 模型，包括确定单元类型与边界条件、 材料特性等；
虚功原理
进一步分析。当杠杆处于平衡状态时， A 和 这两个位移 B 是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一 定满足上式的关系。
将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和 计算结构。 对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否 真正发生了位移，而假想它发生了位移， ( 由于是假想，故称为虚 位移 ) ，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。 这 就 叫 做 虚 位 移 原 理 ， 也 称 虚 功 原 理 。 在 图 中 的 PA 和 PB所作的功就不是发生在它本身 (状态a)的位移上，(因为它本身是 平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这 个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
（二）应用实例 有限元法已经成功地应用在以下一些领域： 固体力学：包括强度、稳定性、振动和瞬态问 题的分析； 传热学； 电磁场； 流体力学 ； 。。。。。。
转向机构支架的强度分析
基于ANSYS的齿轮啮合仿真
1.2 有限元法在汽车工程中的应用 随着大型有限元通用程序的推广和普及以 及计算机硬件技术的飞速发展，有限元已成为 汽车设计中的重要环节，无论在车型改造，还 是在新车开发阶段，就产品中的强度、疲劳、 振动、噪声等问题进行设计计算分析，可提高 设计质量，缩短开发周期，节省开发费用，从 而真正形成自主的产品开发能力。
2D、3D问题的单元）构造出相应的单元刚度矩阵；
（5）当然，如果采用直接法来进行构造，会非常烦琐，而采用能量原理 （如：虚功原理或最小势能原理）来建立相应的平衡关系则比较简单，
这种方法可以针对任何类型的单元进行构建，以得到相应的刚度矩阵，
推导单元刚度矩阵的方法的力学基础在后面介绍。
第3章 杆梁结构分析的有限元方法
有限元基础及应用
课程介绍
一、课程内容： 1、有限元法理论基础； 2、应用ANSYS有限元软件对汽车/机械结构进 行分析。 二、学习方法： 理论与实践相结合，即通过应用有限元分析实 际问题来掌握有限元理论。 三、学时数：54学时（36学时理论+18学时实 验） 四、考核方式：平时成绩+上机考试+笔试成绩
2.2 一维阶梯杆结构问题的求解
以 1D阶梯杆结构为例，详细给出各种方法求 解的过程，直观地引入有限元分析的基本思 路，以此逐步介绍有限元分析的过程。
方法一：材料力学求解
（1）求内力
（2）求应力
（4）求伸长量
（5）求位移 （3）求应变
计算结果图示
讨论：
（1）求解的基本力学变量是力（或应力），由 于以上问题非常简单，而且是静定问题，所以 可以直接求出； （2）对于静不定问题，则需要变形协调方程， 才能求解出应力变量，在构建问题的变形协调 方程时，则需要一定的技巧； （3）若采用位移作为首先求解的基本变量，则 可以使问题的求解变得更规范一些，下面就基 于 A、B、C 三个点的位移 来进行以上问题的 求解。
方法二：节点位移求解及平衡关系
要求分别针对每个连接节点，基于节点的位移来构建 相应的平衡关系，然后再进行求解。
首先分析杆内部的受 力及变形状况
节点 A、B、C的受力 状况，分别建立它们 各自的平衡关系
写成矩阵形式
代入已知数值
已知
求解得：
回代求出应变和应力
讨论：
物理含义就是内力与外力的平衡关系。 内力表现为各个节点上的内力，并且可 以通过节点位移来获取。
方法三：基于位移求解的通用形式
此方程的左端就是杆件①的内力 表达和杆件②的内力表达之和， 这样就将原来的基于节点的平衡 关系，变为通过每一个杆件的平 衡关系来进行叠加。
标准化过程
单元节点内力
单元节点的内力与外力平衡：
单元节点位移 即：
单元节点外力
或
其中
为单元的刚度矩阵
例：三连杆结构的有限元分析过程
例：一个一维函数的两种展开方式的比较
两百度文库方法特点
第一种方法（经典瑞利-里兹方法(Rayleigh-Ritz ) 的思想）： 所采用的基本函数非常复杂，而且是在全域上定 义的，但它是高次连续函数，一般情况下，仅采 用几个基底函数就可以得到较高的逼近精度； 第二种方式（有限元方法的思想）：
所采用的基本函数非常简单，而且是在子域上定 义的，它通过各个子域组合出全域 ，但它是线性函 数，函数的连续性阶次较低，因此需要使用较多的 分段才能得到较好的逼近效果，则计算工作量较大。
（3）以单元节点位移作为未知量，选择适当的 位移函数来表示单元中的位移，再用位移函数 求单元中的应变，根据材料的物理关系，把单 元中的应力也用位移函数表示出来，最后将作 用在单元上的载荷转化成作用在单元上的等效 节点力，建立单元等效节点力和节点位移的关 系。这一过程就是单元特性分析。
（4）利用结构力的平衡条件和边界条件把各个 单元按原来的结构重新连接起来，集合成整体 的有限元方程，求解出节点位移。 重点：对于不同的结构，要采用不同的单元，但 各种单元的分析方法又是一致的。
(1)节点编号和单元划分
(2)计算各单元的单元刚度方程
(3)组装各单元刚度方程
(4)处理边界条件并求解
(5)求支反力
由方程组的最后一行方程，可求出支反力为
(6)求各个单元的其它力学量（应变、应力）
有限元分析的基本流程
总结：
（1）有限元分析的最主要内容，就是研究单元，即首先给出单元的节点
位移和节点力； （2）然后，基于单元节点位移与节点力的相互关系可以直接获得相应的 刚度系数，进而得到单元的刚度方程； （3）再针对实际的复杂结构，根据实际的连接关系，将单元组装为整体 刚度方程，这实际上也是得到整体结构的基于节点位移的整体平衡方程。 （4）因此，有限元方法的主要任务就是对常用的各种单元（包括 1D、
软件名称 MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS 简介 著名结构分析程序，最初由NASA研制 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件
ADINA
ABAQUS
非线性分析软件
非线性分析软件
另外还有许多针对某类问题的专用有限元软件，例 如金属成形分析软件Deform、Autoform，焊接与热 处理分析软件SysWeld等。
车辆结构由不同的材料组成，其结构也非 常复杂，包括板、梁、轴、块等通过铆接或焊 接而成。 车辆结构承受的载荷也十分复杂，其中包 括自重，路面激励、惯性力及构件之间的约束 力。
各种汽车结构件都可以应用有限元进行静态分析、模态 分析和动态分析。现代汽车设计中，已从早期的静态分 析为主转化为以模态分析和动态分析为主。 汽车结构有限元分析的应用主要体现在以下几方面： 1.整车及零部件强度和疲劳寿命分析 2.整车及零部件刚度分析 3.整车及零部件模态及动态分析 4.汽车NVH（噪声、振动、声振粗糙度）分析 5.整车碰撞安全性分析 6.设计优化分析 7.气动或流场分析 8.热结构耦合分析
第一章 绪论 1.1 有限元法概述 有限元法诞生于20世纪中叶（1943 年），随着计算机技术和计算方法的发 展，已成为计算力学和计算工程科学领 域里最为有效的方法，它几乎适用于求 解所有连续介质和场的问题。
一、什么是有限元法？
有限元法是将连续体理想化为有 限个单元集合而成，这些单元仅在 有限个节点上相连接，即用有限个 单元的集合来代替原来具有无限个 自由度的连续体。
判断（强度， 刚度，稳定 性等）
合理
设计
计算 不合理
结束
学习有限元需要的基础知识
1. 2. 3. 4.
线性代数
数值计算：数值代数、数值逼近、数值积分等 弹性力学 变分原理
第 2章 有限元分析过程的概要
2.1 有限元分析的目的和概念
描述可承力构件的力学信息一般有三类： (1)位移：构件因承载在任意位置上所引起的移动； (2)应变：构件因承载在任意位置上所引起的变形状态； (3)应力：构件因承载在任意位置上所引起的受力状态。
四、有限元法的学习路线 从最简单的杆、梁及平面结构入 手，由浅入深，介绍有限元理论以 及应用。利用ANSYS软件分析问题。
五、有限元法的发展与应用 有限元法不仅能应用于结构分析，还 能解决归结为场问题的工程问题，从二 十世纪六十年代中期以来，有限元法得 到了巨大的发展，为工程设计和优化提 供了有力的工具。
基于分段的函数描述具有非常明显的优势：
(1)可以将原函数的复杂性“化繁为简” ，使得描述 和求解成为可能 (2)所采用的简单函数可以人工选取，因此，可取最简 单的线性函数，或取从低阶到高阶的多项式函数 (3)可以将原始的微分求解变为线性代数方程。 但分段的做法可能会带来的问题有： (1) 因采用了“化繁为简”，所采用简单函数的描述 的能力和效率都较低， (2) 由于简单函数的描述能力较低，必然使用数量众 多的分段来进行弥补，因此带来较多的工作量。
一、杆件有限元分析的标准化表征与算例
1 杆件分析的基本力学原理 连接它的两端一般都是铰接接头，因此，它主要 是承受沿轴线的轴向力，它不传递和承受弯矩。
（1）1D问题的基本变量
（2）1D问题的基本方程
平衡方程
几何方程
物理方程
位移边界条件 力边界条件
（3） 虚功原理及虚功方程
PA
A Rc a b C B
PB
图（a）所示一平衡的杠杆，对C点写力矩 平衡方程：
(a)
PB b PA a
B
图（b）表示杠杆绕支点C转动时的刚体位 移图： b
A
综合可得：

a
A'
A
C A B
B
(b)
即：
PA b B PB a A
PA A PB B 0
B'
上式是以功的形式表述的。表明：图 a 的 平衡力系在图 b 的位移上作功时，功的总 和必须等于零。这就叫做虚功原理。
（一）算法与有限元软件 从二十世纪60年代中期以来，进行了大 量的理论研究，不但拓展了有限元法的应 用领域，还开发了许多通用或专用的有限 元分析软件。 理论研究的一个重要领域是计算方法的研 究，主要有： 大型线性方程组的解法； 非线性问题的解法； 动力问题计算方法。
目前应用较多的通用有限元软件如下表：

有限元应用实例

接触问题

有限元应用实例

冲压成型

有限元应用实例

汽车安全气囊计算

有限元应用实例

汽车碰撞1

有限元应用实例

汽车碰撞2

有限元应用实例

超弹性
总之，在工业产品设计开发的各个阶段，有 限元的引入对降低开发成本，缩短研制周期， 实施优化设计等都非常关键且效果显著。