大学线性代数课件相似矩阵及二次型5.2

把 P 用 其 列 向 量 表 示 为P p1, p2 ,, pn .
由P 1 AP , 得AP P,
1
即 A p1, p2,, pn p1, p2,, pn
2
n
1 p1, 2 p2 ,, n pn .
A p1, p2 ,, pn Ap1, Ap2 ,, Apn
于是有
2 1 2
(1) A 2 2 4 (2)A 5 3 3
2 4 2
1 0 2
解
1 2
2
(1)由 A E 2 2
4
2
4 2
22 7 0
得 1 2 2, 3 7.
将 1 2 2代入A 1E 0, 得方程组
2xx1124xx2224xx33
这与至少有一个ai0 j0 0(i0 j0)矛盾, 故A不可 对 角 化.
思考题
判断下列两矩阵A, B是否相似.
1
A
1
1 1
1 1 ,
n
B
1
0 0
0 0 .
1 1 1
1 0 0
思考题解答
解 因 det( A E) (n )( )n1, A的特征值为
1 n, 2 n 0.又A是实对称矩阵, 存在可逆 矩阵P1,使得
2
1 1 ,
0
0
2 0.
1
将3 2代 入A E x 0, 得 方 程 组 的
基 础 解 系 3 1,1,1T .
由 于1 ,2 ,3 线 性 无 关. 所以 A 可对角化.
2 0 1
令
P
1
,
2
,
3
1
0
1
0 1 1
1 0 0
则有
P 1 AP 0
1
0
.A 1 2 3
X3 1,1, 2T ,求A和A1.
解： 1,2,3互异
1 1 1
可取P 1/ 2
X1
3/2
,
X2, X3 1/ 2
1 0
0 1
1 2
,
P 1
1 1/ 2
1 1/ 2
0
1/ 2
(P 1 AP A PP 1 ) ( A1 PP1 1 P1P1 )
1
9 7 3
A
P
§5.2 矩阵的相似对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵,若有可逆矩阵P, 使 P 1 AP B,
则 称B是A的 相 似 矩 阵, 或 说 矩 阵A与B相 似.
对A进行运算P 1 AP称为对A进行相似变换, 可 逆 矩 阵P称 为 把A变 成B的 相 似 变 换 矩 阵. （回忆等价矩阵的概念） 相似→等价
1 1.
容易算出
A与B的 特征 多项 式 均为 (1 )2
但 A是 一个 单位 阵， 对 任给的 可逆 阵P, 有
P1AP P1IP P1P I
因此，若B与A相似，则B必是单位阵. 而现在
B不 是 单 位 阵.
推论 若 阶n方阵A与对角阵
1
2
n
相 似,则1, 2 ,, n即 是A的n个 特 征 值.
２．相似变换与相似变换矩阵
相似变换是对方阵进行的一种运算，它把 A 变成 P1 AP，而可逆矩阵 P 称为进行这一变换的 相似变换矩阵．
这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种 运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与 之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从 而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对 角矩阵的运算．
矩阵A的每个特征值的代数重数等于几何重数。
定理3 设 A为n阶实对称矩阵,则 (1) A的特征值均为实数;
(2) 若 是A的 r重特征值,则对应特征值
恰有 r 个线性无关的特征向量.
(即对称矩阵特征值的代数重数等于几何重数,
从而对称矩阵一定可以相似对角化）
例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？
1 2 2
P11 A P1 diag(n,0,,0),
还可求得
det(B E) (n )( )n1,
即B与A有 相 同 的 特 征 值.
且B对应特征值2 n 0, 有n 1个线性无关的
特征向量, 故存在可逆矩阵P2 , 使得
P
1 2
B
P
2
,
从而
P 1 1
A
P1
P
1 2
B
P2,
即
P2
P 1 1
二、相似矩阵与相似变换的性质
１．相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多
良好的性质。 等价关系：
(1)反身性 A与A本身相似.
(2)对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3)传递性 若A与B相 似, B与C相 似,
则A与C相 似.
性质：直接由定义容易推出 (1)A与B相似,则det(A) det(B);
值为2和1(二重), 那么B的特征值为
例5.已
知
矩
阵A
2 0
0 0
0 1
与B
2 0
0 y
0 0
相 似,
0 1 x
0 0 1
则x , y
例 6 设A是n阶 下 三 角 阵.
(1)在 什 么 条 件 下A可 对 角 化?
(2)如 果a11 a22 ann , 且 至 少 有 一ai0 j0 0 (i0 j0), 证 明A不 可 对 角 化.
A
P1
P 1 2
B,
故A与B相 似.
练习： 3.(10分) 设A为n阶实方阵,证明:
(1)若A 0,但Ak 0,则A不可相似于对角阵; (2) 若Ak E,则A相似于对角阵.
§5.3 Jordan 标准形介绍
定理 ：任意n方阵A都存在n阶可逆矩阵P，使得
P1AP J -----Jordan矩阵。
1 2 3
0 0 2
注意
1 2
若 令P
3 ,1 ,2
1
1
1 0
0 0 , 1
则有
2 0 P 1 AP 0 1 0 0
0 0 . 1
即矩阵P 的列向量和对角矩阵中特征值的
位置要相互对应．可见 P 未必唯一。
例3 三阶方阵A的三个特征值 1 1,2 3,3 4,
且对应的特征向量分别是 X1 1,1,0T , X2 1,0,1T ,
1 p1, p2,, pn Api i pi i 1,2,, n.
可见i 是A的特征值,而P 的列向量pi 就是 A的 对 应 于 特 征 值i的 特 征 向 量.
又 由 于P可 逆,所 以p1,p2 , ,pn线 性 无 关. 反 之, 若A恰 好 有n个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,
J1(1)
J
J2 (2 )
i
,
其中
Ji
(i
)
1
i
0
1
J
s
(s
)
0
i
称为Jordan块矩阵。
1, 2 , , s 为A的特征值,可以是多重的。
例如 1 0 0 0 0 0
J
1
1 1
0 1 1
0 0 0 2
0
0 0
1
J1
1
0
J2 1
0
0
.
J3 2
2
Ji i 称为Jordan块.
则求出可逆矩阵P, 使 P 1 AP为 对 角 阵.
解
4 6
A E 3 5
0
0 12 2
3 6 1
所 以A的 全 部 特 征 值 为1 2 1, 3 2.
将1 2 1代入A E x 0得方程组
33xx1 166xx2
0 2 0
3 x1 6 x2 0
解之得基础解系
定理1 若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征 多项式相同, 从而A与B的特征值亦相同.
证明: A与B相似 可 逆 阵P, 使 得P 1 AP B
B E P1 AP P1EP P1A EP
P1 A E P A E .
说明 此结论只是两个矩阵相似的必要条件.
例如
，A
1 0
0 1 1, B 0
时, A可对角化. (2)用 反 证 法. 若A可对角化,则存在可逆矩阵P, 使
P1 AP diag(1 , 2 ,, n), i (1 i n)
是A的 特 征 值.
由(1)可知 i aii a11 ,所以
a11
P1 AP
a11
a11
E.
a11
A P a11 E P1 a11 P P1 a11 E,
(2)若A与B相似, 且A可逆,则B也可逆, 且A1与 B 1相 似;
(3) A与B相 似,则kA与kB相 似, k为 常 数; (4)若A与B相似,而f (x)是一多项式,则f (A)与
f (B)相似.
f x am x m am1 x m1 a1 x a0
f A am Am am1 Am1 a1 A a0 I
J1 1
J
2
1
称为子Jordan阵。
Jordon标准形相似变换矩阵P的求法
P1AP J AP PJ
1
以三阶矩阵为例来分析说明：设A相似于
J
1
由 AP PJ AP AX1 X2 X3 AX1 AX2 AX3
1
PJ X1
X2
X
3
1
X1
X1 X2
X2 X3
则这n个特征向量即可构成可逆矩阵P, 使得 AP P. 即 P 1 AP .
命题得证.
推论1如果 n阶矩阵 的A 个n特征值互不相等， 则 A与对角阵相似（充分条件 ) ．
不能对角化的矩阵一定具有多重特征值 。
说明如果n阶方阵 A的特征方程有重根，又没
有 n个线性无关的特征向量，则矩阵 不A 能 相似对角化；但如果存在 n个线性无关的特
则 Ak P k P 1 , ( A) P ()P 1.
对于对角矩阵, 有
k 1
k
k 2
(1 )
()
(2 )
,
(n
)
,
k n
利用上 述结论可以
很方便地计
算矩阵A 的
多项式 ( A).
例4.
设A
1 4
1 3
0
1
0, B 1
4 3
1 0
且A的
特
征
1 0 2 0 0 2
1 0 2
2 1
2
A E 5 3 3 13
1
0 2
所 以A的 特 征 值 为1 2 3 1.
把 1代入A Ex 0, 解之得基础解系
(1,1,1)T , 几何重数 < 代数重数,
故 A不能化为对角矩阵.
例2
设
A
4 3
6 5
0 0,
3 6 1
A能否对角化？若能对角化，
I 1 2 n
三、利用相似变换将方阵对角化
对 n 阶方阵A ,若可找到可逆矩阵P , 使 P 1 AP 为对角阵,这就称为把方阵A对角化. 定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.
证明: 设 存 在 可逆 阵P, 使P 1 AP 为 对 角 阵,
AX1 AX 2
X1
X1
X
2
A A
I I
X1 X2
0 X
1
AX3 X1 X 2 X3 A I X 3 X 2
A I X Y. 分别取 Y 0, X1 X 2 ,
解得 X1, X2, X3 P X1 X2 X3.
解 (1) A 可对角化的充分条件是 A有 n 个互异的
特征值．下面求出 A 的所有特征值．
a11
0
A
a22
, f A( ) E A
ann ( a11)( a22)( ann).
令 f A ( ) 0, 即( a11)( a22)( ann) 0,
得A的 所 有 特 征 值 i aii (1 i n). 当i j (i j, i, j 1,2,, n)时,即当aii a jj
(2) A的多项式 ( A) a0 An a1 An1 an1 A an I
a0 PBn P1 a1 PBn1 P1 an1 PBP1 an PIP 1
P(a0 Bn a1 Bn1 an1B an I )P 1
P(B) P1.
特 别 地,若 上 述 的B 为对角矩 阵,
征向量，A还是能对角化．
设 1 s s n 是n阶矩阵A的互异特征值，即
I A 1 n1 2 n2 s ns n1 n2 ns n 称ni 是特征值i 的代数重数；i 所对应的线性无关 特征向量的个数称为i的几何重数。
结论：几何重数 代数重数。
推论2 n阶矩阵A可对角化的充要条件是
34 P 1 Nhomakorabea1 23 3
1 2
3 8
1 A1 P 3
1 P 1
4
1 P
1 3
1 4
P
1
1 24
1 9 2
25 33 2
9 9. 6
利用对角矩阵计算矩阵多项式
若A PB P1 , 则
k个
(1) Ak PB P1 PB P1 PB P1PB P1 P Bk P1.
0 0
2x1 4x2 4x3 0
解之得基础解系
2
0
1 0 , 2 1.
1
1
同理, 对3 7,由A E x 0,
求得基础解系 3 1,2,2T
所
以
1
,
2
,
线
3
性
无
关.
即A有3个 线 性 无 关 的 特 征 向 量,因 而A可 对 角 化.
2 1 2 (2) A 5 3 3