2011年全国高中数学联合竞赛试题与答案(A卷)

.
解答
x−1
设 x = tan θ, θ ∈
ππ −2, 4
ππ
π
3π
, 42
⇒θ− 4 ∈
− 4 ,0
π 0,
，
4
于是
f (x)
=
sec θ tan θ −
1
=
sin θ
1 −
cos √
θ
=
√ 2
sin
1 θ
−
π 4
.
√
由于 sin
π θ− 4
∈ [−1, 0)
2
2
0, 2√
⇒ f (x) ∈
−∞, − 2
π 5π ,
.
44
5. 现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项
目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排
方案数为
.(用数字作答)
解答
依题意，各运动项目参加的人数为 2, 2, 1, 1, 1 或 3, 1, 1, 1, 1.
当各运动项目参加的人数为
⇒
a+b
2
⩾
8
⇒
1
+
1
⩾
√ 22
⇒
1
+
1
=
√ 2 2.
上述等号成立时
ab ab = 1,
a a
=
b √
2
+
1,
a a
b =
√ 2
−
1,
a
+
b
=
√ 22
⇒
b
=
√ 2
−
1
或
b
=
√ 2+
1
⇒ loga b = −1.
4. 如果 cos5 θ − sin5 θ < 7(sin3 θ − cos3 θ), θ ∈ [0, 2π)，那么 θ 的取值范围是
aa11
+ +
a2 a2
+ +
a3 a4
= =
−1, 3,
aa12
= =
−3, 0,
a1 + a3 + a4 = 5,
⇒ a1 + a2 + a3 + a4 = 5 ⇒ a3 = 2,
⇒ A = {−3, 0, 2, 6}.
a2 + a3 + a4 = 8
a4 = 6
√
2. 函数 f (x) = x2 + 1 的值域为
2011年全国高中数学联合竞赛试题 (A 卷)
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分. 把答案填在横线上.
1. 设集合 A = {a1, a2, a3, a4}，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合
为 B = {−1, 3, 5, 8}，则集合 A =
.
解答
依题意，不妨设 a1 < a2 < a3 < a4，则有
2, 2, 1, 1, 1
时，不同的安排方案数为
C72 · C52 2!
· A55，
此时甲、乙两同学参加同一个项目的安排方案数为 C52 · A55；
当各运动项目参加的人数为 3, 1, 1, 1, 1 时，不同的安排方案数为 C73 · A55，此时
甲、乙两同学参加同一个项目的安排方案数为 C51 · A55.
+
114 22
+···+
114 26
= 110.
于是 C28060 中含 2 的幂次为 197 − 82 − 110 = 5，所以 a86 是整数.
√ 3.
7. 直线 x − 2y − 1 = 0 与抛物线 y2 = 4x 交于 A、B 两点，C 为抛物线上的一
点，∠ACB = 90◦，则点 C 的坐标为
.
解答 设 A(x1, y1), B(x2, y2), C
t2 ,t
4
y2 = 4x, ，联立 x = 2y + 1 ⇒ y2 − 8y − 4 = 0.
的个数为
.
解答
an = C2n00 ·
√ 36
200−n ·
1 √
2
n
=
C2n00
·
3 200−n 3
·
2 ， 400−5n 6
当
200
−
n ,
400 − 5n
均为整数时，经检验得
n
=
6k
− 4.
3
6
结合 n ⩽ 95 ⇒ k = 1, 2, · · · , 16，由于 k = 15, 16 ⇒ n = 86, 92.
则
y1
+
y2
=
8, x1
+
x2
=
2(y1
+
y2)
+
2
=
18, y1y2
=
−4, x1x2
=
y12y22 16
=
1.
于是
#» CA
·
#» CB
=
y12 − t2
44
y22 − t2 44
+ (y1 − t)(y2 − t)
1 = (y1 − t)(y2 − t) 16(y1 + t)(y2 + t) + 1 = 0 ⇒ (y1 + t)(y2 + t) + 16 = 0
a86
=
C28060
·
338
·
2−5
=
200! 86! · 114!
·
338
·
2−5，其中
200!
中含
2
的幂次为
200 200
200
2 + 22 +· · ·+ 27
= 197，86! 中含 2 的幂次为
86 86
86
2 + 22 +· · ·+ 26
= 82，114! 中含 2 的幂次为
114 2
(1, +∞)，
所以函数 f (x) 的值域为
2 −∞, − 2
(1, +∞).
3.
设
a, b
为正实数， 1 a
+
1 b
⩽
√ 2 2, (a
− b)2
=
4(ab)3，则
loga b
=
.
解答
(a − b)2 = (a + b)2 − 4ab = 4(ab)3 ⇒ (a + b)2 = 4ab[(ab)2 + 1] ⩾ 8(ab)2
⇒ y1y2 + t(y1 + y2) + t2 + 16 = 0 ⇒ t2 + 8t + 12 = 0 ⇒ t = −2 或 −6.
综上，点 C 的坐标为 (1, −2) 或 (9, −6).
8. 已知 an = C2n00 ·
√ 36
200−n ·
√1 2
n
(n = 1, 2, · · · , 95)，则数列 {an} 中整数项
. 解答
cos5 θ − sin5 θ < 7(sin3 θ − cos3 θ) ⇒ cos5 θ + 7 cos3 θ < sin5 θ + 7 sin3 θ.
构造函数 f (x) = x5 + 7x3 ⇒ f ′(x) = 5x4 + 21x2 ⩾ 0 ⇒ f (x) 为 R 上的单调递
增函数，结合 θ ∈ [0, 2π)，所以 cos θ < sin θ ⇒ θ ∈
所以满足要求的不同安排方案数为
C72 · C52 2!
−
C52
+
C73
−
C51
A55 = 15000.
6. 在四面体 ABCD 中，已知 ∠ADB = ∠BDC = ∠CDA = 60◦, AD = BD =
3, CD = 2，则四面体 ABCD 的外接球的半径为
.
解答
如图，作棱长为 3 的正四面体 ABC′D. 设底面
ABD 的中心为 O，连接 DO 交 AB 于点 E，作
C′H ⊥ DO 于点 H. 则四面体 ABCD 的外接球
球心在直线 C√′O 上.
√
由于 DE = 3
3
√
⇒ OD = 3 ⇒ OH =
3，
2
√
3
C′O
=
√ 6
⇒
CH
=
2
6
⇒
OC
=
√ 3
பைடு நூலகம்
=
OD.
于是
O
为四面体
3 AB C D
的外接球的球心，且外接球的半径为