集合(题型战法)备战2023年高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)(解析版)
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6.补集的概念
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作 UA，读作A在U中的补集.
7.补集运算的性质
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
（1）A∪（ UA）=U；（2）A∩（ UA）=∅；（3） U（ UA）=A.
题型战法
题型战法一 元素与集合
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ．
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ．
4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母 、 、 、 、 来表示．
5．集合的分类
（1）空集：不含任何元素，记作 .
（2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素.
6.集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、数轴法、韦恩图法.
二集合的基本关系
1.子集
一般地，如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，那么集合 称为集合 的子集.记作： .
2.真子集
一般地，如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作：A B或B A.
类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：
（1）A∪B＝B∪A；（2）A∪A＝A；（3）A∪∅=∅∪A＝A；
（4）如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.
5.全集的概念
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.
【解析】
【分析】
根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.
【详解】
对于A， ，所以A错误；
对于B， 不是整数，所以 ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D，因为 不含任何元素，则 ，所以D错误.
故选：C.
变式1-3．若集合 ，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【详解】
，且 ， 或
⑴、当 即 或 ，
①、当 时， ， ，此时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当 时， ， ，此时 ，符合题意；
⑵、当 即 时，此时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数 的值为1.
故选：B
变式2-1．下面能构成集合的是（）
A．中国的小河流B．大于5小于11的偶数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系判断.
【详解】
因为集合 是奇数集，
所以 ， ， ， A，
故选：C
变式1-4．若集合 ，则下列四个命题中，正确的命题是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，所以A错误，
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，由韦恩图可知阴影部分表示 ；
故选：A
变式6-2．记全集 ， ， ，图中阴影部分所表示的集合是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可.
【详解】
由题图知，阴影部分所表示的集合是 ，
3.集合的相等
一般地，如果集合 和集合 的元素完全相同，则称集合 与集合 相等.记作A＝B.
4.子集或真子集的个数
（1）集合元素个数为n,子集个数为 （2）集合元素个数为n,真子集个数为
（3）集合元素个数为n,非空子集个数为 （4）集合元素个数为n,非空真子集个数为
三集合的基本运算
1．交集的概念
一般地，给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.
典例1．若M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是（）
A．0⊆MB．{0}∈MC．∅∈MD．{0}⊆M
【答案】D
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系求解.
【详解】
因为M＝{x|x>－1}，
所以{0}⊆M，
故选：D
变式1-1．给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（）
故选：C
变式5-2．设集合 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集和交集的定义可求得结果.
【详解】
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
变式5-3．已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合U，再求 .
【详解】
.
因为 ， ，
所以 .
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则 ，正确；
③空集是任意集合的子集，故 ，正确；
④空集没有任何元素，故 ，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故 为不同集合，错误；
故选：D
变式5-4．记全集 ，设集合 则 （）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题只要在数轴上画出相应的区间，再求交集即可.
【详解】
对于集合A： ，∴ 即是 或 ；
对于集合B： ，即是 或者 ；
在数轴上作图如下：
故选：A.
题型战法六 韦恩图的应用
典例6．如图所示，阴影部分表示的集合是（）
A． 源自文库． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用韦恩图的定义直接表示.
【详解】
由图可知阴影部分属于A，不属于B，
故阴影部分为 ，
故选：A.
变式6-1．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出 ，依题意阴影部分表示 ，再根据补集的定义计算可得；
对于B，因为 是集合，且 ，所以 ，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为1是元素， ，所以D错误，
故选：C
题型战法二 集合中元素的特征
典例2．已知集合 ，若 ，则实数 的值为（）．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出 的值.
【详解】
解：集合 ， ，
当 ，即 时，显然满足条件 ；
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ；
综上，实数 的取值组成的集合是 .
故选：D.
变式4-2．已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果.
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
题型战法四 根据集合的包含关系求参数
典例4．已知集合 ， ，若 ，则实数a满足（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由并集结果得到 ，分 和 讨论，得到实数a的取值范围.
【详解】
因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，满足题意；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 的一个真子集可以为 ．
故选：C
变式3-2．已知集合 ， ，则（）
A．A BB．B AC． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，得到 ，进而判断两集合的关系.
【详解】
，解得： ，所以 ，故B A，其他选项均不正确.
故选：B.
变式3-3．下列集合与集合 相等的是()
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.
故选：B.
变式2-2．若 ，则 的可能值为（）
A．0，2B．0，1
C．1，2D．0，1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，分 ， ， 讨论求解.
【详解】
因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，当 时，集合为 ，成立；
A． B． C．.0D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个集合相等，元素相同，得到 ，进而求出答案.
【详解】
由题意得： ，所以
故选：A
题型战法五 集合的交并补运算
典例5．已知集合 或 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的性质得到不等式，解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
A．(1,2022)B．
C． D．{(2022,1)}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等，元素相同即可求解.
【详解】
(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；
集合 的元素是点，与集合A不相等，B不符；
，故C符合题意；
集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.
故选：C.
变式3-4．下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .正确的个数是（）
【详解】
， ， ，
且 ，解得： ，即 的取值范围为 .
故选：D.
变式4-3．已知集合 ， ， ，则实数a的取值集合为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出集合A，再根据 确定集合B的元素，可得答案.
【详解】
由题意得， ，∵ ， ，
∴实数a的取值集合为 ,
故选:C.
变式4-4．设 ， ， ，若P=Q，则 （）.
当 时，若 ，则 或4，当 时， ，满足题意；当 时， ，满足题意；
若 ，则-2,2是方程 的两根，显然 ，故不合题意，
综上：实数a满足 .
故选：D
变式4-1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
集合 ，根据 ，分 和 两种情况讨论即可得答案.
2.交集运算的性质
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
（1）A∩B＝B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A＝∅；
（4）如果A⊆B，则A∩B=＝A，反之也成立.
3.并集的概念
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B
4.并集运算的性质
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.
【详解】
∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，
∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，
∴正确的个数为1 .
故选:D.
变式1-2．下列关系中，正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
∴ 或 .
故选：A
变式2-3．若 ，则a的值为（）
A． 或1或2B． 或1C． 或2D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.
【详解】
因为 ，
所以 或3或 ，
当 时，即 ，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，即 ，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，解得 或 （舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故选：D
变式2-4．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（）
A．3 B．2 C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可得 或 ，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】
解：因为 ，且 ，所以 或 ，解得 或 或 ，当 时 ，即集合 不满足集合元素的互异性，故 ，当 时集合 不满足集合元素的互异性，故 ，当 时 满足条件；
【详解】
解：因为 ，所以 ，即 ，解得 或 ，所以 ，所以 ，又 或 ，所以 ，所以 ；
故选：A
变式5-1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 或 ，即 或 ，所以 ，又 ，所以 ；
故选：A
题型战法三 集合的基本关系
典例3．集合 的子集个数为（）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 后可得其子集的个数.
【详解】
,
故该集合的子集的个数为： .
故选：C.
变式3-1．集合 的一个真子集可以为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式，即可求出集合 ，再根据选项判断即可；
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
1.1.1集合（题型战法）
知识梳理
一集合及其表示方法
1．元素与集合的概念
（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合．
（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性.
3．元素与集合的关系
C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】
【分析】
结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.
【详解】
由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为 ，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作 UA，读作A在U中的补集.
7.补集运算的性质
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下性质：
（1）A∪（ UA）=U；（2）A∩（ UA）=∅；（3） U（ UA）=A.
题型战法
题型战法一 元素与集合
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ．
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ．
4．实数集、有理数集、整数集、正整数集、自然数集、分别用字母 、 、 、 、 来表示．
5．集合的分类
（1）空集：不含任何元素，记作 .
（2）非空集合：有限集：含有有限个元素；无限极：含有无限个元素.
6.集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、数轴法、韦恩图法.
二集合的基本关系
1.子集
一般地，如果集合 的任意一个元素都是集合 的元素，那么集合 称为集合 的子集.记作： .
2.真子集
一般地，如果集合 是集合 的子集，并且 中至少有一个元素不属于 ，那么集合 称为集合 的真子集，记作：A B或B A.
类比交集运算的性质，探索得出并集运算的性质，对于任意两个集合A，B，都有：
（1）A∪B＝B∪A；（2）A∪A＝A；（3）A∪∅=∅∪A＝A；
（4）如果A⊆B，则A∪B＝B，反之也成立.
5.全集的概念
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用U表示.
【解析】
【分析】
根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.
【详解】
对于A， ，所以A错误；
对于B， 不是整数，所以 ，所以B错误；
对于C， ，所以C正确；
对于D，因为 不含任何元素，则 ，所以D错误.
故选：C.
变式1-3．若集合 ，则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
【详解】
，且 ， 或
⑴、当 即 或 ，
①、当 时， ， ，此时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
②、当 时， ， ，此时 ，符合题意；
⑵、当 即 时，此时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
综上所述：实数 的值为1.
故选：B
变式2-1．下面能构成集合的是（）
A．中国的小河流B．大于5小于11的偶数
【答案】C
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系判断.
【详解】
因为集合 是奇数集，
所以 ， ， ， A，
故选：C
变式1-4．若集合 ，则下列四个命题中，正确的命题是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系，集合与集合的关系逐个分析判断
【详解】
对于A，因为 ，所以 ，所以A错误，
【详解】
解：因为 ， ，所以 ，由韦恩图可知阴影部分表示 ；
故选：A
变式6-2．记全集 ， ， ，图中阴影部分所表示的集合是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
理解题目所给图形的含义，按交并补的定义计算即可.
【详解】
由题图知，阴影部分所表示的集合是 ，
3.集合的相等
一般地，如果集合 和集合 的元素完全相同，则称集合 与集合 相等.记作A＝B.
4.子集或真子集的个数
（1）集合元素个数为n,子集个数为 （2）集合元素个数为n,真子集个数为
（3）集合元素个数为n,非空子集个数为 （4）集合元素个数为n,非空真子集个数为
三集合的基本运算
1．交集的概念
一般地，给定两个集合A，B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，读作A交B.
典例1．若M＝{x|x>－1}，则下列选项正确的是（）
A．0⊆MB．{0}∈MC．∅∈MD．{0}⊆M
【答案】D
【解析】
【分析】
利用元素与集合，集合与集合的关系求解.
【详解】
因为M＝{x|x>－1}，
所以{0}⊆M，
故选：D
变式1-1．给出下列四个关系：π∈R，0∉Q，0.7∈N，0∈∅，其中正确的关系个数为（）
故选：C
变式5-2．设集合 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由补集和交集的定义可求得结果.
【详解】
由题设可得 ，故 ，
故选：B.
变式5-3．已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出集合U，再求 .
【详解】
.
因为 ， ，
所以 .
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】
①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则 ，正确；
③空集是任意集合的子集，故 ，正确；
④空集没有任何元素，故 ，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故 为不同集合，错误；
故选：D
变式5-4．记全集 ，设集合 则 （）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题只要在数轴上画出相应的区间，再求交集即可.
【详解】
对于集合A： ，∴ 即是 或 ；
对于集合B： ，即是 或者 ；
在数轴上作图如下：
故选：A.
题型战法六 韦恩图的应用
典例6．如图所示，阴影部分表示的集合是（）
A． 源自文库． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用韦恩图的定义直接表示.
【详解】
由图可知阴影部分属于A，不属于B，
故阴影部分为 ，
故选：A.
变式6-1．已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分所表示的集合为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出 ，依题意阴影部分表示 ，再根据补集的定义计算可得；
对于B，因为 是集合，且 ，所以 ，所以B错误，
对于C，因为 ，所以 ，所以C正确，
对于D，因为1是元素， ，所以D错误，
故选：C
题型战法二 集合中元素的特征
典例2．已知集合 ，若 ，则实数 的值为（）．
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
【分析】
根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出 的值.
【详解】
解：集合 ， ，
当 ，即 时，显然满足条件 ；
当 时， ，
因为 ，所以 或 ，即 或 ，解得 或 ；
综上，实数 的取值组成的集合是 .
故选：D.
变式4-2．已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由集合包含关系可直接构造不等式组求得结果.
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；
∴②③正确.
故选：B.
题型战法四 根据集合的包含关系求参数
典例4．已知集合 ， ，若 ，则实数a满足（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由并集结果得到 ，分 和 讨论，得到实数a的取值范围.
【详解】
因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，满足题意；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 的一个真子集可以为 ．
故选：C
变式3-2．已知集合 ， ，则（）
A．A BB．B AC． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式，得到 ，进而判断两集合的关系.
【详解】
，解得： ，所以 ，故B A，其他选项均不正确.
故选：B.
变式3-3．下列集合与集合 相等的是()
对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.
故选：B.
变式2-2．若 ，则 的可能值为（）
A．0，2B．0，1
C．1，2D．0，1，2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，分 ， ， 讨论求解.
【详解】
因为 ，
当 时，集合为 ，不成立；
当 时，集合为 ，成立；
当 时，则 （舍去）或 ，当 时，集合为 ，成立；
A． B． C．.0D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两个集合相等，元素相同，得到 ，进而求出答案.
【详解】
由题意得： ，所以
故选：A
题型战法五 集合的交并补运算
典例5．已知集合 或 ， ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据对数函数的性质得到不等式，解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
A．(1,2022)B．
C． D．{(2022,1)}
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合相等，元素相同即可求解.
【详解】
(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；
集合 的元素是点，与集合A不相等，B不符；
，故C符合题意；
集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.
故选：C.
变式3-4．下列各式中：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .正确的个数是（）
【详解】
， ， ，
且 ，解得： ，即 的取值范围为 .
故选：D.
变式4-3．已知集合 ， ， ，则实数a的取值集合为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先解出集合A，再根据 确定集合B的元素，可得答案.
【详解】
由题意得， ，∵ ， ，
∴实数a的取值集合为 ,
故选:C.
变式4-4．设 ， ， ，若P=Q，则 （）.
当 时，若 ，则 或4，当 时， ，满足题意；当 时， ，满足题意；
若 ，则-2,2是方程 的两根，显然 ，故不合题意，
综上：实数a满足 .
故选：D
变式4-1．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值组成的集合是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
集合 ，根据 ，分 和 两种情况讨论即可得答案.
2.交集运算的性质
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
（1）A∩B＝B∩A；（2）A∩A=A；（3）A∩∅=∅∩A＝∅；
（4）如果A⊆B，则A∩B=＝A，反之也成立.
3.并集的概念
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作A并B
4.并集运算的性质
A．4B．3C．2D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系.
【详解】
∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，
∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，
∴正确的个数为1 .
故选:D.
变式1-2．下列关系中，正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
∴ 或 .
故选：A
变式2-3．若 ，则a的值为（）
A． 或1或2B． 或1C． 或2D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可.
【详解】
因为 ，
所以 或3或 ，
当 时，即 ，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，即 ，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当 时，解得 或 （舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意.
故选：D
变式2-4．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（）
A．3 B．2 C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【解析】
【分析】
依题意可得 或 ，求出方程的根，再代入集合中检验即可；
【详解】
解：因为 ，且 ，所以 或 ，解得 或 或 ，当 时 ，即集合 不满足集合元素的互异性，故 ，当 时集合 不满足集合元素的互异性，故 ，当 时 满足条件；
【详解】
解：因为 ，所以 ，即 ，解得 或 ，所以 ，所以 ，又 或 ，所以 ，所以 ；
故选：A
变式5-1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式求出集合 ，再根据补集、交集的定义计算可得；
【详解】
解：由 ，即 ，解得 或 ，即 或 ，所以 ，又 ，所以 ；
故选：A
题型战法三 集合的基本关系
典例3．集合 的子集个数为（）
A．4B．8C．16D．32
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合 后可得其子集的个数.
【详解】
,
故该集合的子集的个数为： .
故选：C.
变式3-1．集合 的一个真子集可以为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解一元二次不等式，即可求出集合 ，再根据选项判断即可；
第一章集合与常用逻辑用语、不等式
1.1.1集合（题型战法）
知识梳理
一集合及其表示方法
1．元素与集合的概念
（1）集合：把一些能够确定的、不同的对象汇聚在一起，就说由这些对象组成一个集合．
（2）元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素.
2．集合的元素具有以下特点：确定性、互异性、无序性.
3．元素与集合的关系
C．高一年级的优秀学生D．某班级跑得快的学生
【答案】B
【解析】
【分析】
结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案.
【详解】
由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；
对于B，大于5小于11的偶数为 ，可以构成集合；
对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；