2017-2018学年山东省菏泽市高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（5分）已知集合A＝{x|x2＞5x}，B＝{﹣1，3，7}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{7}C．{﹣1，3}D．{﹣1，7} 2．（5分）复数z的共轭复数，则z＝（）
A．﹣5i B．5i C．1+5i D．1﹣5i
3．（5分）某校连续12天对同学们的着装进行检查，着装不合格的人数用茎叶图表示，如图，则该组数据的中位数、众数、极差分别是（）
A．24，33，27B．27，35，28C．27，35，27D．30，35，28 4．（5分）已知，，则tan（π+2α）＝（）A．B．C．D．
5．（5分）南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶，算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f（x）＝2018x2017+2017x2016+…+2x+1，下列程序框图设计的是求f （x0）的值，在“”中应填的执行语句是（）
A．n＝i B．n＝i+1C．n＝2018﹣i D．n＝2017﹣i 6．（5分）将函数f（x）＝sin x﹣cos x+1的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）的图象的一个对称中心为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知等边△AOB（O为坐标原点）的三个顶点在抛物线Γ：y2＝2px（p＞0）上，且△AOB的面积为，则p＝（）
A．B．3C．D．
8．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，b＞c，则＝（）
A．B．2C．3D．
9．（5分）函数，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．2πD．3π
11．（5分）在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，且△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，则直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，A是双曲线的左顶点，双曲线C的一条渐进线与直线交于点P，，且F1P⊥AM，则双曲线C的离心率为（）
A．3B．C．2D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知的展开式中的常数项为8，则a＝．
14．（5分）平行四边形ABCD中，AB＝2AD＝4，，，则＝．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，若z＝2x+y的最小值为8，则x2+y2
的取值范围是．
16．（5分）若不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，则a的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}，满足a1＝1，2a n a n+1+3a n+1＝3a n；
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若，求{c n}的前2n项的和T2n
18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1B1B是正方形，AC⊥侧面AA1B1B，AC＝AB，点E是B1C1的中点．
（1）求证：C1A∥平面EBA1；
（2）若EF⊥BC1，垂足为F，求二面角B﹣AF﹣A1的余弦值．
19．（12分）2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图所示：
（1）估计该组数据的中位数、众数；
（2）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（μ，210），μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分
布，求P（50.5＜Z＜94）；
（3）在（2）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（ⅰ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次；
（ⅱ）每次赠送的随机话费和对应概率如下：
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列和数学期望．
附：，
若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544
20．（12分）已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，且过点A（2，2），椭圆
的离心率为，点B为抛物线C与椭圆D的一个公共点，且．
（1）求椭圆D的方程；
（2）过椭圆内一点P（0，t）的直线l的斜率为k，且与椭圆C交于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意k，存在实数λ，使得k1+k2＝λk，求实数λ的取值范围．
21．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣m﹣xlnx﹣（m﹣1）x；
（1）若m＝1，求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）若g（x）＝f'（x），试讨论g（x）零点的个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以平
面直角坐标系的原点为极点，正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．
（1）求直线l和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，且|OA|＜|OB|，求
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．
（1）若不等式f（x）≤|a+1|恒成立，求a的取值范围；
（2）求不等式|f（x）﹣|x+2||＞3的解集．
2017-2018学年山东省菏泽市高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．【解答】解：由集合A中的不等式变形得：x（x﹣5）＞0，
解得：x＜0或x＞5
即A＝{x|x＜0或x＞5}，
B＝{﹣1，3，7}，则A∩B＝{﹣1，7}
故选：D．
2．【解答】解：∵＝2﹣2+i+4i＝5i，
∴z＝﹣5i．
故选：A．
3．【解答】解：由茎叶图得：
该组数据的中位数为：＝27，
众数为：35，
极差为：38﹣10＝28．
故选：B．
4．【解答】解：∵，＝cosα，
∴sinα＝﹣＝﹣，tanα＝＝﹣2，
∴tan（π+2α）＝tan2α＝＝＝．
故选：A．
5．【解答】解：由题意，n的值为多项式的系数，由2018，2017…直到1，由程序框图可知，输出框中“”处应该填入n＝2018﹣i．
故选：C．
6．【解答】解：将函数f（x）＝sin x﹣cos x+1＝sin（x﹣）+1的图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得y＝sin（x﹣）+1的图象；
再向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝sin（x+﹣）+1＝sin（x﹣）+1的图象的图象的图象．
令﹣＝kπ，求得x＝2kπ+，可得函数y＝g（x）的图象的对称中心为（2kπ+，1），k∈Z，
故选：B．
7．【解答】解：设A（x A，y A），B（x B，y B），
∵|OA|＝|OB|，∴AB⊥x轴，且∠AOx＝30°．
∴＝tan30°＝，又y A2＝2px A，
∴y A＝2p，∴|AB|＝2y A＝4p．
∴S△AOB＝×（4 p）2＝9 ，解得p＝．
故选：C．
8．【解答】解：根据题意，△ABC中，，
则有a×﹣c﹣＝0，变形可得：a2﹣b2﹣c2﹣bc＝0，
又由a2＝，则有2b2+2c2﹣5bc＝0，
即可得：（）2﹣×（）+1＝0，
解可得：＝2或＝，
又由b＞c，则＝2；
故选：B．
9．【解答】解：函数，
则f（﹣x）＝＝＝＝f（x）；
∴f（x）是偶函数，排除B．
当x从0→时，x3→，sin3x→＜1
∴＞1，排除A．
当x＞1时，显然x3＞sin3x，
同样：＞1．排除D．
∴f（x）是递增的趋势．
故选：C．
10．【解答】解：根据三视图知，该几何体是半圆柱、半圆锥与球体的组合体；
如图所示，
根据三视图中的数据，计算该几何体的体积为
V＝π•12•2+×π•12•2+••13＝．
故选：A．
11．【解答】解：取B1C1的中点D，连结AD、BD，
∵AA1⊥平面AB1C1，AA1∥BB1，
∴BB1⊥平面AB1C1，∴BB1⊥AD，
又∵△AB1C1是等边三角形，∴B1C1⊥AD，
又B1C1∩BB1＝B1，∴AD⊥平面B1C1CB，
∴∠ABD是AB与平面B1C1CB所成角，
∵△AB1C1为等边三角形，B1C1＝2AA1＝2，
∴AD＝，BD＝，∴tan．
故直线AB与平面B1C1CB所成角的正切值为．
故选：D．
12．【解答】解：双曲线C的左顶点A（﹣a，0），F1（﹣c，0），
∵，
∴M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，可得|AP|＝|AF1|，
OP为渐近线方程：y＝﹣x，
P（﹣，y p），即为P（﹣，），
即＝c﹣a，
即有a2（c﹣a）2+a2b2＝c2（c﹣a）2，
（c2﹣a2）（c﹣a）2＝a2b2，
可得c﹣a＝a，即c＝2a，
则e＝＝2，
即双曲线的离心率为2，
故选：C．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：二项式的展开式的通项为．由2r﹣10＝﹣2，得r＝4，由2r﹣10＝0，得r＝5．
∴的展开式中的常数项为，解得a＝3．
故答案为：3．
14．【解答】解：∵AB＝2AD＝4，，
∴＝2×4×cos＝﹣4，＝16，＝4，
又＝＝﹣﹣＝﹣﹣，
＝＝﹣，
∴＝（﹣﹣）•（﹣）＝﹣﹣+＝﹣3+2+4＝3．故答案为：3．
15．【解答】解：实数x，y满足不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，则由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，
此时z最小，为2x+y＝8
由，解得A（3，2），
此时A在x＝k上，
则k＝3．
则x2+y2的几何意义是可行域内的点与原点连线距离的平方，
由可行域可知A处取得最小值，C处取得最大值，
t＝y﹣x经过可行域A，B时，分别取得最值，由：，解得C（4，4）
可得x2+y2的取值范围：[13.32]；
故答案为：[13，32]．
16．【解答】解：不等式（x+1）1n（x+1）＜ax2+2ax在（0，+∞）上恒成立，即有a＞在x＞0恒成立，
设g（x）＝，
由y＝lnx﹣x+1的导数为y′＝﹣1＝，
x＞1时，函数y递减；0＜x＜1时，函数y递增，
可得y＝lnx﹣x+1的最大值为0，
即lnx≤x﹣1，
则g（x）﹣＝，
由y＝2（x+1）ln（x+1）﹣x（x+2），x＞0的导数为
y′＝2（1+ln（x+1））﹣2（x+1）＝2[ln（x+1）﹣x]，
由ln（x+1）＜x，即ln（x+1）﹣x＜0，（x＞0），
可得g（x）﹣＜0，即g（x）＜，
可得a≥，
则a的范围是[，+∞）．
故答案为：[，+∞）．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）由2a n a n+1+3a n+1＝3a n，得，所以，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，
所以，即．
（2）设＝，
所以，
即，
＝＝．
18．【解答】解：（1）证明：如图，连结BA1，AB1交于O，连结OE，由AA1B1B是正方形，易得O为AB1的中点，
从而OE为△C1AB1的中位线，所以EO∥AC1，
因为EO⊂面EBA1，C1A⊄面EBA1，
所以C1A∥平面EBA1．
（2）由已知AC⊥底面AA1B1B，得A1C1⊥底面AA1B1B，
得C1A1⊥AA1，C1A1⊥A1B1，又A1A⊥A1B1，
故A1A，A1B1，A1C1两两垂直，
如图，分别以A1A，A1B1，A1C1所在直线为x，y，z轴，A1为原点建立空间直角坐标系，设AA1＝2，则A1（0，0，0），A（2，0，0，），C1（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
则，，，
设F（x0，y0，z0），，则由，
得（x0，y0，z0﹣2）＝λ（2，2，﹣2），即得，
于是F（2λ，2λ，2﹣2λ），所以，
又EF⊥C1B，所以2λ×2+（2λ﹣1）×2+（1﹣2λ）×（﹣2）＝0，解得，
所以，，，
设平面A1AF的法向量是，则，即，
令z＝1，得．
又平面ABF的一个法向量为，则，即
，
令z1＝1，得，
设二面角B﹣AF﹣A1的平面角为θ，则，
由A1A⊥AB，面F A1B⊥面AA1B，可知θ为锐角，
即二面角B﹣AF﹣A1的余弦值为．
19．【解答】解：（1）由（0.0025+0.0050+0.0100+0.0150+a+0.0225+0.0250）×10＝1，得a ＝0.0200，设中位数为x，
由（0.0025+0.0150+0.0200）×10+（x﹣60）×0.0250＝0.5000，
解得x＝65，由频率分布直方图可知众数为65．
（2）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为μ＝35×0.025+45×0.15+55×0.20
+65×0.25+75×0.225+85×0.1+95×0.05
＝0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75＝65
因为由于得分Z服从正态分布N（65，210），
所以P（50.5＜Z＜94）＝P（60﹣14.5＜Z＜60+14.5×2）＝．（3）设得分不低于μ分的概率为p，则，X的取值为10，20，30，40，P（X＝10）＝＝，
，
，
，
所以X的分布列为：
所以．
20．【解答】解：（1）由点A（2，2）在抛物线上，得22＝2p×2，解得p＝1．所以抛物线C的方程为x2＝2y，其焦点，
设B（m，n），则由抛物线的定义可得，解得n＝1，
代入抛物线方程可得m2＝2n＝2，解得，所以，
椭圆C的离心率，所以，
又点在椭圆上，所以，解得a＝2，，
所以椭圆D的方程为．
（2）设直线l的方程为y＝kx+t．
由，消元可得（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，
而＝，由k1+k2＝λk，得
，
因为此等式对任意的k都成立，所以，即．
由题意得点P（0，t）在椭圆内，故0≤t2＜2，即，解得λ≥2．21．【解答】解：（1）m＝1时，f（x）＝e x﹣1﹣xlnx，f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1，要证f（x）在（0，+∞）上单调递增，只要证：f'（x）≥0对x＞0恒成立，
令i（x）＝e x﹣1﹣x，则i'（x）＝e x﹣1﹣1，当x＞1时，i'（x）＞0，
当x＜1时，i'（x）＜0，故i（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以i（x）≥i（1）＝0，即e x﹣1≥x（当且仅当x＝1时等号成立），
令j（x）＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则，
当0＜x＜1时，j'（x）＜0，当x＞1时，j'（x）＞0，
故j（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以j（x）≥j（1）＝0，即x≥lnx+1（当且仅当x＝1时取等号），
f'（x）＝e x﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣（lnx+1）≥0（当且仅当x＝1时等号成立）
f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）由g（x）＝e x﹣m﹣lnx﹣m有，显然g'（x）是增函数，令g'（x 0）＝0，得，，，
则x∈（0，x0]时，g'（x）≤0，x∈[x0，+∞）时，g'（x）≥0，
∴g（x）在（0，x0]上是减函数，在[x0，+∞）上是增函数，
∴g（x）有极小值，，
①当m＝1时，x0＝1，g（x）极小值＝g（1）＝0，g（x）有一个零点1；
②m＜1时，0＜x0＜1，g（x0）＞g（1）＝1﹣0﹣1＝0，g（x）没有零点；
③当m＞1时，x0＞1，g（x0）＜1﹣0﹣1＝0，又，
又对于函数y＝e x﹣x﹣1，y'＝e x﹣1≥0时x≥0，
∴当x＞0时，y＞1﹣0﹣1＝0，即e x＞x+1，
∴g（3m）＝e2m﹣ln3m﹣m＞2m+1﹣ln3m﹣m＝m+1﹣lnm﹣ln3，
令t（m）＝m+1﹣lnm﹣ln3，则，
∵m＞1，∴t'（m）＞0，∴t（m）＞t（1）＝2﹣ln3＞0，∴g（3m）＞0，
又e﹣m＜1＜x0，3m＝3x0+3lnx0＞x0，∴g（x）有两个零点，
综上，当m＜1时，g（x）没有零点；
m＝1时，g（x）有一个零点；
m＞1时，g（x）有两个零点．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．【解答】解：（1）由消去参数t，得y＝2x，
由，得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ+1＝0，
所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1．
即曲线C是圆心为（1，1），半径r＝1的圆．
（2）联立直线l与曲线C的方程，
得，
消去θ，得，
设A、B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则，ρ1•ρ2＝1，
所以＝．
[选修4-5：不等式选讲]
23．【解答】解：（1）因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，所以由f（x）≤|a+1|恒成立得|a+1|≥3，
即a+1≥3或a+1≤﹣3，
解得a≥2或a≤﹣4；
（2）不等式||x﹣1|﹣2|x+2||＞3，
等价于|x﹣1|﹣2|x+2|＞3或|x﹣1|﹣2|x+2|＜﹣3，
设g（x）＝|x﹣1|﹣2|x+2|＝，
画出g（x）的图象如图所示
由图可知，不等式的解集为{x|x＜﹣8或x＞0}．。