自动控制原理简明教程 第四章 根轨迹法 习题答案

另一个闭环极点为 S3 ，则
(S S3 )(S 1)2 S (S 3)2 4
则解得：
(S S3 )(S 1)2 S (S 1)2 4(S 1)2 (S 4)(S 1)2
则 (S S3) S 4 S3 4 （另外一个闭环极点） 临界阻尼时的闭环传递函数为
(S)
(S
4(S 1) 4)(S 1)2
d d 2 d 1 j d 1 j
n
(
1
m
1 ) 求分离点的坐标公式
i1 d Pi i1 d Zi
解得：d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
此时对应为T值：
（应使用模值方程求得）
T S S2 1T 1
S 1 j S 1 j
P1(-1,j)
T=0
Z2
Z1
-2
-1
0
T=∞
传递函数（写成零极点乘积形式） 解：系统结构图如下：
R(S) -
G(S)
C(S)
如果没有特别强调是正反馈，则单位反馈系统都 是单位负反馈系统。该题为参量根轨迹。 根轨迹方程：1 G(S) 1 4(S k) 0
S(S 1)(S 5)
特征方程：
D(S) S 3 6S 2 9S 4k 0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
4k S(S
3)2
1
4k S (S 3)2
0
开环零点： m 0
开环极点： n 3, P1 0, P2 3, P3 3 则根轨迹有3条分支，有3条渐近线。
根轨迹与实轴的交点：
n
m
a
Pi Zi
i 1
i 1
nm
3 3 2 3
渐近线与实轴正方向夹角
a 2 2 0
2
2 3 0
a4
存在复数极点 有起始角
m
n
P2 (2k 1) P2 Zi P2 Pi
i 1
i 1
i2
1800 1350 900 450
P3 450 对称的 由以上信息，可以绘制系统的闭环根轨迹图。
2.由根轨迹图可知系统稳定的a值范围为：0 a 4 而当 r(t) 1.2t 时，系统的开环传递函数为：
(2
j) (2 3
j)
4 3
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 2 j d 2 j
整理得：3d 2 8d 5 0
解得：d1,2
8 6
2
d1 1 d2 1.67
分离角
l
180 l
180 2
900
把 S j 代入特征方程：
1
k*
a
(2k 1)
nm
,
3
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 4
解得： d 1
分离角： l
180 l
180 2
900
根轨迹与虚轴的交点 : S j 代入特征方程
( j)3 6( j)2 9 j 4k 0
4k 6 2 0 3
9 3 0
k 13.5
根轨迹如图：
解：1.系统开环传递函数为：
G(S)
Sa
S(S 2)(S 4)
单位负反馈系统，闭环传递函数为：
Sa
(S
)
G(S) 1 G(S
)
S 1
(S
2)(S Sa
4)
S3
Sa 6S 2 9S
a
S(S 2)(S 4)
闭环特征方程为：S3 6S 2 9S a 0
整理得：1
S3
a 6S 2
开环零点（闭环零点）不变，仍为：
S k 即 S 1
六.系统结构如下图所示，要求：
1.绘制 K *从 0 ~ 变化的根轨迹（要计算分离
点，渐近线，根轨迹与虚轴交点，起始角） 2.确定三个闭极点均为负实数的k *值范围。 3.当一个特征根为 S1 1时，求另2个特征根。
R(S)
K*
C(S)
-
S(S+2+j)(S+2-j)
3(k=13.5)
P2,P3 -3 -2
-1
0 K=0
-3
2.由根轨迹图可以看出，只有根轨迹都位于S平 面时系统才是稳定的，所以系统稳定的k值范 围为 0 k 13.5 ，而临界阻尼时，也即分离 点处有重根（重闭环极点）S1,2 1
则代入特征方程：
(1)(1 3)2 4k 0 k 1
记住画根轨迹的八条法则。注：实轴上的根轨迹
非常重要（如果实轴上的根轨迹画错了，整个根
轨迹就全错了）。
一.已知单位负反馈系统的开环传递函数为：
G(S)
Sa
S(S 2)(S 4)
1.当 a从 0 时，绘制系统的闭环根轨迹图。 2.求系统为欠阻尼时的a值范围。 3.确定a值范围，使系统在单位斜坡信号作用下 的稳态误差 ess 0.5
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
(3) (3) 3
2
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
, ,
33
分离点： 1 1 1 0
d d 3 d 3
解得：d 1, a S (S 3)2 (1) 4 4
分离点处系统为临界阻尼。
分离角：l
180 2
900
令 S j 代入闭环特征方程：
R(S)
k*(S+3)
-
(S+2)2(S-1)
C(S)
解：开环传递函数
G开
(S)
(S
k*(S 3) 2)2 (S 1)
开环零点： m 1, Z1 3
开环极点： n 3, P1 P 2, P3 1
则根轨迹有3条分支，有n-m=2条渐近线
求渐近线与实轴的交点坐标
n
m
a
i 1
Pi Zi
1
S(S 1) (S 2)(S
1)
S(S
(S 2)(S 1) 1) (S 2)(S
1)
S(S 1)
(S 2)(S 1) 2(S 1)(S 1)
(S 2)(S 1) 2(S 1)2
三.绘制下图所示系统的概略根轨迹，并用根轨迹 的模值方程确定使系统的三个根均为负实根的 k * 取值范围。
a 1) 2
1]
1
则开环极点：n 3, P1 0, P2 1 j, P3 1 j
开环零点： m 0
则根轨迹分支有n=3条。
渐近线与实轴交点：
n
m
a
i 1
Pi Zi
i 1
nm
1
j 1 3
j
2 3
渐近线与实轴正方向夹角：
a
(2k 1)
nm
和
3
根轨迹与虚轴的交点 S j 代入特征方程： ( j)3 2( j)2 2 j a 0
22
根据对称性 S 2 j极点的起始角=63.50
可画出根轨迹图：
j
-2+j
-1.67 -1 0 -2-j
[S (1)](S S2 )(S S3) S 3 2S 2 2S 1 S 3 S 2 S 2 2S 1 S 2 (S 1) (S 1)2 (S 1)(S 2 S 1)
即： (S S2 )(S S3 ) S 2 S 1
则：
S2
1 j 2
3
1 j
S2
2
3 为系统另外两
P2
a=0
a=∞
3
-1
2 3
j
a=4 1
P1 0 (a=0)
a=0
P3
a=∞
G(S)
Sa S(S 1)2
a( S 1) a
S(S 1)2
为І型系统，开环增益为k=a
则：
ess
v0 k
1.2 a
0.6 a
2
则：a的取值范围：
a2
0a4 2a4
3.当系统的一个闭环极点为-1时
则代入特征方程：S 3 2S 2 2S a 0 a 1
它各个闭环极点的值。
解：系统结构图为：
R(S) -
G(S)
C(S)
特征方程为：1 G(S) 0
1
Sa S(S 1)2
0
S3 2S 2 S S a 0
S3 2S 2 2S a 0
整理：
1
S3
a 2S 2
2S
0
等效开环传递函数为：
G开 (S)
S(S 2
a 2S
2)
1
S[( S
系统有二重极点，有起始角
Pl
1 [(2k 2
Hale Waihona Puke 1)m i 1n
Pl Zi
i 1
Pl Pi ]
il
0和
从s=-2极点处，向右向左各引出一支根轨迹
这样，就可以画出根轨迹图：
j
k=∞ k=0 -3 -2
0 -1 -2+
k=0 1
要使系统的三个根均为负实根，则特征根均在负
实轴上，分离点 2 3 处对应的 k *值利用模值
R(S)
TS+1
S+2 S(S+1)
C(S)
解：1.系统的开环传递函数为：
参量根轨迹
G开
(S)
(S
2)(TS 1) S(S 1)
则闭环传递函数为
(S) G开(S) (S 2)(TS 1)
1 G开(S) S 2 2S 2 TS(S 2)
特征方程为： D(S) S 2 2S 2 TS (S 2) 0
G(S)
S
(S
Sa 2)(S
4)
8S (
a( S 1) a
S 1)(S
1)
24
则为Ⅰ型系统，开环增益为：k a
8
则：ess
1 k
8 a
0.5
则：a 16
a 的取值范围为 16 a 54
二.系统结构如下图所示：
1.绘制T从 0 变化的根轨迹。
2.确定系统在欠阻尼状态下T的取值范围。 3.求闭环极点出现重根时的闭环传递函数。
解：开环传递函数
G开 (S )
S(S
2
k* j )( S
2
j)
根轨迹方程：1 G开 (S) 0或G开 (S) 1均可 则系统有3个开环极点：n=3
S1 0, S2 2 j, S3 2 j, n 3 没有开环零点 m=0
根轨迹与实轴的交点坐标：
n
m
a
i 1
Pi
i 1
nm
Zi
( j )3 6( j )2 9( j ) a 0 解得： 3 a 54
闭环根轨迹如图所示。
3
-3
-1 0
3
2.当根轨迹在复平面上时，系统处于欠阻尼状态
闭环极点为共轭复根，则a的范围为：4 a 54 3.当 0 a 54时，闭环根轨迹在S的左半平面
系统稳定 输入为单位斜坡信号r(t) t，而开环传递函数为
个闭环极点的值。则此时系统的闭环传递函数为：
(S)
(S a)
S 1
(S S1)(S S2 )(S S3) (S 1)(S 1 j 3 )(S 1 j 3 )
2
2
五.某单位反馈系统，开环传递函数为
G(S) 4(S k) S(S 1)(S 5)
1. 试绘制系统的根轨迹：(k : 0 ) 2. 确定系统稳定的k值范围及临界阻尼时的闭环
1
TS(S S 2 2S
2) 2
0
则等效开环传递函数：
G(S)
TS (S 2) S 2 2S 2
(S
TS (S 1 j)(S
2) 1
j)
根轨迹方程：G(S) 1
开环零点：m 2, Z1 0, Z2 2
开环极点：n 2, P1 1 j, P2 1 j
分离点： 1 1 1 1
9S
0
（根轨迹方程）
令
G(S)
S3
a 6S 2
9S
a S(S 3)2
为等效的开环传递函数
根轨迹方程：G(S) 1
当 a 从0 时，开环零点：m 0 ，开环极点：
n 3, P1 0, P2 P3 3 (3,0) 及 (,3)
实轴上的根轨迹为：
-3
0
渐近线条数：n-m=3 渐近线与实轴的交点坐标：
0
S (S 2 j)(S 2 j)
则： S 3 4S 2 5S k* 0
j 3 4 2 5 j k* 0
k* 4 2 0
5
5 3 0
k* 20
求起始角：
m
n
Pl (2k 1) Pl Zi Pl Pi
i 1
i 1
il
(2k 1) ( arctg 1) 63.50
则所求的 k *的取值范围为 4 k* 3(3 3)
3
1 3
四.某单位负反馈系统的开环传递函数为：
(S a) G(S) S(S 1)2
1.绘制系统的闭环根轨迹图（a : 0 ~ ）
2.当 r(t) 1.2t 时，确定a 值范围，使系统的稳态
误差 ess 0.6 3.当系统的一个闭环极点为-1时，求出系统的其
方程求得。
k* 2 3 3
2
1
2 3 2 2 3 1
解得： k* 3(3 3)
1 3
特征根s=0处对应的 k * 值也利用模值方程求得：
k* 3 2 2 1
1
k*
4 3
满足稳定性时，k* 4 要使系统的三个根均为负
实根，则：
3
k* 4 3
0 k* 3(3 3) 1 3
0 k*
i 1
nm
(2) (2) 1 (3) 31
0
渐近线与实轴正方向夹角
a
(2k 1)
nm
2
也就是虚轴即为渐近线
分离点： 1 1 1 1
d 2 d 2 d 1 d 3
整理得： d 2 4d 1 0
d1 2 3
d2 2 3 舍掉，不在根轨迹上
分离角：
l
180 l
180 2
900
P2(-1,-j)
这即为 T 从0 变化时的根轨迹。
2.系统在欠阻尼状态下，也就是根轨迹在复平面
上变化，而不在实轴上变化 0 T 1
3.闭环极点出现重根时，也就是根轨迹在分离点
处，此时闭环极点 S1 S2 1 系统此时为临界
阻尼 T 1 。
则闭环传递函数为：
(S 2)(S 1)
(S)