中考数学第一轮复习 二次函数的图象与性质(一)

中考数学一轮复习
第13课时
二次函数的图象与性质(一)
课标要求
1.会用描点法画出二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
2.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得
到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
顶点坐标
③

x≤-
增
当④
减

小;当⑤ x>-
性
大
-
- ,

时,y 随 x 的增大而减
当⑥

x≤-
时,y 随 x 的增大而增 大;当⑦
时,y 随 x 的增大而增

x>-
时,y 随 x 的增大
而减小



-
最值
(续表)
当 x=⑧
-
值=⑨

时,y 取最小值,y 最小 当 x=
若已知二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0),设所求二次函数表达
式为y=a(x-x1)(x-x2),将第三个点(m,n)的坐标(其中m,n为常数)或其他已知条件代
当y=0时,x=2或x=-4,即图象与x轴的交点坐标为(2,0)和(-4,0),故选项C错误;
当x=-1时,该函数取得最小值-9,故选项D正确.故选D.
■ 知识梳理
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
a>0
a<0
图象
开口方向 抛物线开口向上
对称轴
抛物线开口向下

x=
直线②
大值=


-
-

时,y 取最大值,y 最
考点三
抛物线的平移
4.[2020·绥化]将抛物线y=2(x-3)2+2向左
[答案]C
平移3个单位,再向下平移2个单位,得到抛 [解析] 原抛物线的顶点是(3,2),平移
物线的函数表达式是
(
A.y=2(x-6)2
B.y=2(x-6)2+4
C.y=2x2
y=x
是
.
8.[2020·威海]下表中y与x的数据满足我们初中学过的某种函数关系.其函数表达
式为
.
x
…
-1
0
1
3
…
y
…
0
3
4
0
…
[答案] y=-x2+2x+3
[解析] 根据表中 y 与 x 的数据设函数表达式为 y=ax2+bx+c.
将表中(1,4),(-1,0),(0,3)代入函数表达式,得
+ + = 4,
(1)等号右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2.
(2)二次项系数a≠0.
考点二
二次函数的图象与性质
2.[2019·衢州]二次函数y=(x-1)2+3的图象的顶点坐标是 ( A )
A.(1,3)
B.(1,-3)
C.(-1,3)
D.(-1,-3)
3.[2020·成都]关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是
个点的坐标代入,求出a,b,c的值.
2+k(a≠0)
a(x-h)
2.顶点式:y=⑮
若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值),设所求二次函
数表达式为y=a(x-h)2+k,将已知条件代入,求出待定系数a,最后将表达式化为一般
式.
3.交点式:y=⑯ a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
A.图象的对称轴在y轴的右侧
B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)
C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)
D.y的最小值为-9
(
)
[答案]D
[解析] ∵二次函数y=x2+2x-8=(x+1)2-9=(x+4)(x-2),
∴该函数图象的对称轴是直线x=-1,在y轴的左侧,故选项A错误;
当x=0时,y=-8,即该函数图象与y轴交于点(0,-8),故选项B错误;
4.(选学)知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.
考点一
二次函数的定义
1.若 y=(m-1)
2 +2-1
+2mx-1 是二次函数,则 m 的值是
-3
.
■ 知识梳理
1.定义:形如y=ax2+bx+c(a① ≠0
)的函数叫二次函数,其中a,b,c为常数.
2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征
= -1,
- + = 3,
∴函数表达式为 y=-x2+2x+3.
当 x=3 时,y=-x2+2x+3=0,∴(3,0)也适合所求得的函数表达式.
故答案为:y=-x2+2x+3.
■ 知识梳理
2
1.一般式:y=⑭ ax +bx+c(a≠0)
若已知条件是图象上的三个点,则设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c,将已知三
D.向右平移8个单位
■ 知识梳理
任何抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)都可以通过抛物线y=ax2平移得到.如图13-1所示,其
中h>0,k>0.
图13-1
考点四
抛物线的位置与a,b,c的符号关系
6.[2019·益阳]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图13-2所示,下列结论:①ac<0;
同号;若对称轴是 y 轴,即
b=0.
3.c的符号看与y轴的交点:
抛物线与y轴交于正半轴,则c>0;抛物线与y轴交于负半轴,则c<0;抛物线经过原点,
则c=0.
考点五
用待定系数法求二次函数的表达式
7.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(3,0)和(4,0),则这个二次函数的表达式
2-7x+12
②b-2a<0;③b2-4ac<0;④a-b+c<0.正确的是(
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
)
图13-2
[答案]A
[解析] ∵抛物线开口向下,且与 y 轴的正半轴相交,
∴a<0,c>0,∴ac<0,故①正确;
∵对称轴与

x 轴交点的横坐标在-1 至-2 之间,∴-2<-2 <-1,
∴4a<b<2a,∴b-2a<0,故②正确;
∵抛物线与 x 轴有两个交点,∴Δ=b2-4ac>0,故③错误;
∵当 x=-1 时,y=a-b+c>0,∴④错误.
∴正确的结论是①②.故选 A.
■ 知识梳理
1.a的符号看开口:
开口向上,则⑫
a>0
;开口向下,则⑬ a<0
.
2.b 的符号看对称轴:

2

x=-2 =0,则

2
若对称轴在 y 轴右侧,即 x=- >0,则 a,b 异号;若对称轴在 y 轴左侧,即 x=- <0,则 a,b
D.y=2x2+4
)
后的顶点是(0,0),因此平移后所得抛
物线的函数表达式是y=2x2.故选C.
5.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线
y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是
( B )
A.向左平移2个单位
B.向右平移2个单位
C.向左平移8个单位